% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,hyperref}
\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage{tikz}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}
\def\half{{1\over2}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\R{{\bf R}}
\def\C{{\bf C}}
\def\N{{\cal N}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\Arsh{\mathop{\rm Arsh}\nolimits}
\def\Arch{\mathop{\rm Arch}\nolimits}
\def\Arth{\mathop{\rm Arth}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\tsigma{{\tilde\sigma}}
\def\ve{\varepsilon}
%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.2truecm> [0.15,0.4] from #1 #2 to #3 #4 }
%\def\ln#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.01truecm> [0,0] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf Лекция~10}
\centerline{\bf Алгебраический анзац Бете. Решение уравнений Бете}
\bigskip


Вернемся к определению $L$"=оператора:
\eq$$
L(u)=R_{0N}(u)\ldots R_{02}(u)R_{01}(u)=\pMatrix{A(u)&B(u)\\C(u)&D(u)}.
\label{Ludef}
$$
Рассмотрим матричный элемент $B(u)=L(u)^+_-$. Этот элемент уменьшает спин на единицу:
\eq$$
[S^z,B(u)]=-B(u).
\label{SzBcommut}
$$
Подействуем этим оператором на псевдовакуум $|\Omega_+\rangle$. Мы получим плоскую волну
\eq$$
B(u)|\Omega_+\rangle=\sum_j b^{j-1}(u)c(u)a^{N-j}(u)|j\rangle
={a^N(u)c(u)\over b(u)}\sum_j\left(b(u)\over a(u)\right)^j|j\rangle.
\label{B1states}
$$
Роль импульса здесь играет параметр $u$, определяющий отношение $z=b(u)/a(u)$. Несколько сложнее получить следующее состояние:
\eq$$
B(u_1)B(u_2)|\Omega_+\rangle
={a_1^Na_2^Nc_1c_2\over b_1b_2}\sum_{j_1<j_2}\left({a_{21}\over b_{21}}z_1^{j_1}z_2^{j_2}
+{a_{12}\over b_{12}}z_1^{j_2}z_2^{j_1}\right)|j_1,j_2\rangle,
\label{B2states}
$$
где $a_i=a(u_i)$, $a_{ij}=a(u_i-u_j)$ и т.~п., $z_i=b_i/a_i$. Прямым вычислением можно показать, что
\eq$$
S(z_1,z_2)={a(u_1-u_2)b(u_2-u_1)\over b(u_1-u_2)a(u_2-u_1)},
\qquad
z_i={b(u_i)\over a(u_i)}.
\label{Sz1z2-ab}
$$

Исходя из этих примеров можно предположить, что состояния вида
\eq$$
|u_1,u_2,\ldots,u_n\rangle
=B(u_1)B(u_2)\ldots B(u_n)|\Omega_+\rangle
\label{Bstates}
$$
имеют структуру волновых функций Бете с $z_j=b(u_j)/a(u_j)$. Выражение (\ref{Bstates}) именуется {\it алгебраическим анзацем Бете}. Чтобы понять, действительно ли это выражение дает собственные векторы, рассмотрим коммутационные соотношения, следующие из уравнения Янга"--~Бакстера:
$$
R_{12}(u_1-u_2)L_1(u_1)L_2(u_2)=L_2(u_2)L_1(u_1)R_{12}(u_1-u_2).
$$
Во"=первых, ${}^{++}_{--}$"=компонента этого соотношения дает
\eq$$
B(u_1)B(u_2)=B(u_2)B(u_1).
\label{BBcommut}
$$
Это значит, что состояния (\ref{Bstates}) симметричны по $u_1,\ldots,u_n$. Во"=вторых, из компонент ${}^{++}_{-+}$ и ${}^{-+}_{--}$ имеем соотношения
\Align$$
a(u_1-u_2)B(u_1)A(u_2)
&=c(u_1-u_2)B(u_2)A(u_1)+b(u_1-u_2)A(u_2)B(u_1),
\label{ABcommut}
\\
a(u_2-u_1)B(u_1)D(u_2)
&=c(u_2-u_1)B(u_2)D(u_1)+b(u_2-u_1)D(u_2)B(u_1).
\label{DBcommut}
$$
Из этих соотношений можно вывести тождества
\eq$$
\Aligned{
A(u)|u_1,\ldots,u_n\rangle
&=\alpha(u;u_1,\ldots,u_n)|u_1,\ldots,u_n\rangle
\\
&\quad
-\sum_{i=1}^n{c(u_i-u)\over b(u_i-u)}
\alpha(u_i;u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_n)
|u,u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_n\rangle,
\\
D(u)|u_1,\ldots,u_n\rangle
&=\delta(u;u_1,\ldots,u_n)|u_1,\ldots,u_n\rangle
\\
&\quad
-\sum_{i=1}^n{c(u-u_i)\over b(u-u_i)}
\delta(u_i;u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_n)
|u,u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_n\rangle,
}\label{ABaction}
$$
где
\eq$$
\alpha(u;u_1,\ldots,u_n)
=a^N(u)\prod_{i=1}^n{a(u_i-u)\over b(u_i-u)},
\qquad
\delta(u;u_1,\ldots,u_n)
=b^N(u)\prod_{i=1}^n{a(u-u_i)\over b(u-u_i)}.
\label{alphadeltadef}
$$
Соотношения (\ref{ABaction}) доказываются по индукции.

Из соотношений (\ref{ABaction}) получаем
$$
T(u)|u_1,\ldots,u_n\rangle
=(\alpha(u;u_1,\ldots,u_n)+\delta(u;u_1,\ldots,u_n))
|u_1,\ldots,u_n\rangle+\hbox{плохие члены}.
$$
Чтобы вектор $|u_1,\ldots,u_n\rangle$ был собственным, сумма плохих членов должна быть равна нулю. В этом случае собственное значение трансфер"=матрицы будет равно
\eq$$
\Lambda(u;u_1,\ldots,u_n)
=a^N(u)\prod_{i=1}^n{a(u_i-u)\over b(u_i-u)}
+b^N(u)\prod_{i=1}^n{a(u-u_i)\over b(u-u_i)}.
\label{Lambda}
$$
Отметим, что плохие члены, по сути, набегают в точках $n=1,N$ и условие их сокращения эквивалентно условию периодичности.

Так как  ${c(u)\over b(u)}=-{c(-u)\over b(-u)}$, плохие члены сокращаются, если
$$
\alpha(u_i;u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_n)
=\delta(u_i;u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_n)
$$
или
\eq$$
\left(b(u_i)\over a(u_i)\right)^N
=\prod_{\scriptstyle j=1\atop\scriptstyle j\ne i}^n
{a(u_j-u_i)b(u_i-u_j)\over b(u_j-u_i)a(u_i-u_j)},
\label{Betheeq}
$$
Это и есть уравнения Бете. Каждому решению уравнений Бете соответствует некоторый собственный вектор трансфер"=матрицы (и гамильтониана), так что состояния можно нумеровать наборами $\{u_i\}_{i=1}^n$.

Более явно перепишем уравнения Бете в виде
\Align$$
\left(\sin u_i\over\sin(\lambda-u_i)\right)^N
&=\prod_{\scriptstyle j=1\atop\scriptstyle j\ne i}^n
{\sin(u_i-u_j+\lambda)\over\sin(u_i-u_j-\lambda)}
\qquad\hbox{при $c<a+b$ и т.~д.\ ($|\Delta|<1$)},
\label{Bethegapless}
\\
\left(\sh u_i\over\sh(\lambda-u_i)\right)^N
&=\prod_{\scriptstyle j=1\atop\scriptstyle j\ne i}^n
{\sh(u_i-u_j+\lambda)\over\sh(u_i-u_j-\lambda)}
\qquad\hbox{при $c>a+b$ ($\Delta<-1$)}.
\label{Betheantifer}
$$
Режим $\Delta<-1$ соответствует наличию двух основных конфигураций шестивершинной модели, для которых конфигурации вокруг всех вершин имеют $c$"=тип, и двукратному (в термодинамическом пределе) вырождению основного состояния XXZ"=модели. Возбужденные состояния в XXZ"=модели отделены от основного щелью. В этом случае говорят об антисегнетоэлектрическом упорядочении шестивершинной модели и антиферромагнитном основном состоянии XXZ"=модели. В режиме $|\Delta|<1$ имеется бесконечно много (на бесконечной решетке) основных конфигураций шестивершинной модели (неупорядоченное критическое состояние) и бесщелевой спектр вблизи основного состояния в XXZ"=модели. В обоих случаях основному состоянию отвечают состояния с $S^z=0$ или $S^z=\pm\half$ в зависимости от четности $n$.

Покажем, как найти наибольшее собственное значение $\Lambda_{\rm max}(u)$ в этой модели в термодинамическом пределе. Сделаем следующие предположения:

1) В основном состоянии плоские волны не содержат ни экспоненциально растущих, ни экспоненциально спадающих членов, так что $|z_i|\equiv|b(u_i)/a(u_i)|=1$ или $u_i=\lambda/2+iv_i$ с вещественными~$v_i$.

2) В основном состоянии $v_i$ сгущаются в термодинамическом пределе, образуя непрерывные зоны без дырок и отдельно стоящих значений.

3) В основном состоянии $S^z/N\to0$.

Для определенности будем рассматривать случай $|\Delta|<1$.

Уравнения Бете удобно прологорифмировать. Введем обозначения
\eq$$
e^{ip(v)}={\sin(\lambda/2+iv)\over\sin(\lambda/2-iv)},
\qquad
e^{i\theta(v)}={\sin(\lambda+iv)\over\sin(\lambda-iv)}.
\label{p-theta-def}
$$
Мы выбираем ветвь логарифма, такую что $p(0)=\theta(0)=0$. Уравнения Бете записываются в виде
$$
e^{iNp(v_i)}=(-)^{n-1}\prod_{j=1}^ne^{i\theta(v_i-v_j)}.
$$
Прологарифмировав, получим
$$
Np(v_i)=2\pi I_i+\sum_{j=1}^n\theta(v_i-v_j),
$$
где $I_i$ "--- целое либо полуцелое в зависимости от четности $n$. Условие~2) мы можем теперь уточнить:

2') В основном состоянии все $I_i$ образуют набор последовательных целых при нечетных $n$ и полуцелых при четных $n$ чисел.

В этом виде утверждение, по"=видимому, верно не только в термодинамическом пределе. При малых $n$ можно также показать, что

2а) Наибольшее собственное значение трансфер"=матрицы в секторе с данным $S^z$ достигается при симметричном распределении $I_i$ (и $v_i$) вокруг нуля.

Найдем интервал, в котором будет изменяться $v$ в непрерывном пределе. Для этого удобнее пользоваться гамильтонианом $H_{XXZ}$. Как мы уже говорили в прошлой лекции энергия состояния складывается из энергий псевдочастиц $\epsilon(z)=2\Delta-z-z^{-1}=2\Delta-2\cos p(v)$. Наименьшей энергии отвечает значение $p=0$, то есть $v=0$. Псевдочастицы должны плотно заполнять область $-p_F\le p(v)\le p_F$, где $p_F$ "--- импульс Ферми, $\epsilon(e^{\pm ip_F})=\epsilon_F$. Поскольку функция $p(v)$ нечетна и монотонна, спектральный параметр $v$ должен заметать область от $-v_F$ до $v_F$, где $p(v_F)=p_F$.

Имеем для основного состояния
$$
p(v_{i+1})-p(v_i)
={2\pi\over N}+{1\over N}\sum_{j=1}^n(\theta(v_{i+1}-v_j)-\theta(v_i-v_j)).
$$
В пределе $N\to\infty$ имеем
\eq$$
p'(v)=\rho(v)+\int^{v_F}_{-v_F}{dv'\over2\pi}\,\theta'(v-v')\rho(v')
\label{inteq}
$$
или
\eq$$
\rho(v)={2\sin\lambda\over\ch2v-\cos\lambda}
-\int^{v_F}_{-v_F}{dv'\over2\pi}\,
{2\sin2\lambda\over\ch2(v-v')-\cos2\lambda}\,\rho(v'),
\tag{$\ref{inteq}'$}
$$
где $p'(v)$, $\theta'(v)$ "--- производные от $p(v)$, $\theta(v)$ по $v$, а $\rho(v)=\lim_{N\to\infty}{2\pi\over N(v_{i+1}-v_i)}$ "--- плотность корней вблизи точки $v$, которая и будет неизвестной функцией в этом уравнении. Интервал $[-v_F,v_F]$ определяется из условия
\eq$$
\int^{v_F}_{-v_F}{dv\over2\pi}\,\rho(v)={n\over N}.
\label{rhonorm}
$$
Далее надо минимизировать энергию по $n/N$.

Уравнение (\ref{inteq}) нетрудно решить методом Фурье при $v_F=\infty$. Положим
\eq$$
\rho(v)=\int dk\,\rho_ke^{ikv},
\qquad
p'(v)=\int dk\,p'_ke^{ikv},
\qquad
\theta'(v)=\int dk\,\theta'_ke^{ikv}.
\label{Fourier}
$$
Тогда
$$
\rho_k=p'_k-\theta'_k\rho_k,
$$
т.~е.
$$
\rho_k={p'_k\over1+\theta'_k}.
$$
Нетрудно проверить, что
\eq$$
p'_k={\sh\half(\pi-\lambda)k\over\sh\half\pi k},
\qquad
\theta'_k={\sh\half(\pi-2\lambda)k\over\sh\half\pi k}.
\label{p-theta-k}
$$
Отсюда получаем
\eq$$
\rho_k={1\over2\ch\half\lambda k}.
\label{rhokfin}
$$
Очевидно
$$
\int^\infty_{-\infty}{dv\over2\pi}\,\rho(v)=\rho_0=\half,
$$
а, значит, $n=N/2$ и $S^z/N\ll1$. Таким образом, это решение соответствует основному состоянию системы.

В пределе $N\to\infty$ можно ожидать, что одно из слагаемых в (\ref{Lambda}) много больше другого, поэтому (минус) свободная энергия на одну вершину равна
\Align$$
\log\kappa(u)\equiv\lim_{N\to\infty}{\log\Lambda(u)\over N}
&=\max\biggl(
\log a(u)+\int^{v_F}_{-v_F}{dv\over2\pi}\,\rho(v)
\log{a(iv-u+\lambda/2)\over b(iv-u+\lambda/2)},
\notag
\\
&\qquad\qquad\qquad
\log b(u)+\int^{v_F}_{-v_F}{dv\over2\pi}\,\rho(v)
\log{a(u-iv-\lambda/2)\over b(u-iv-\lambda/2)}
\biggr).
\label{fe}
$$
Логарифмы правых частей легко выражаются через $p(v)$:
\Align$$
\log\kappa(u)
&=\max\biggl(
\log a(u)-i\int^{v_F}_{-v_F}{dv\over2\pi}\,\rho(v)p(iu+v),
\notag
\\
&\qquad\qquad\qquad
\log b(u)-i\int^{v_F}_{-v_F}{dv\over2\pi}\,\rho(v)p(i(\lambda-u)+v)
\biggr).
\label{fe-p(v)}
$$
В терминах фурье"=образов это выглядит как
\eq$$
\log\kappa(u)=\max\left(\log a(u)+\int{dk\over k}\rho_{-k}p'_ke^{ku},
 \log b(u)+\int{dk\over k}\rho_kp'_ke^{k(\lambda-u)}\right).
\label{fe-fourier}
$$
Подставляя (\ref{p-theta-k}) и (\ref{rhokfin}), мы находим, что оба значения под знаком максимума в (\ref{fe}) совпадают и свободная энергия дается выражением
\Align$$
\log\kappa(u)
&=\log a(u)+\int^\infty_{-\infty}dk\,
{\sh uk\sh{\pi-\lambda\over2}k\over2k\sh{\pi\over2}k\ch{\lambda\over2}k}
\notag
\\
&=\log b(u)+\int^\infty_{-\infty}dk\,
{\sh(\lambda-u)k\sh{\pi-\lambda\over2}k
  \over2k\sh{\pi\over2}k\ch{\lambda\over2}k}.
\label{feglfin}
$$

В случае $\Delta<-1$ синусы заменяются на гиперболические синусы и функции $p'(v)$ и $\theta'(v)$ оказываются периодическими по $v$ с периодом $\pi$. Это значит, что интеграл Фурье в (\ref{Fourier}) заменяется на ряд Фурье:
$$
\int{dk\over2\pi}\to{1\over\pi}\sum_{k\in2\Z}.
$$
Фурье"=компоненты равны
\eq$$
p'_k=2\pi e^{-\lambda|k|/2},
\qquad
\theta'_k=2\pi e^{-\lambda|k|}.
\label{p-theta-k-af}
$$
Плотность опять выражается в виде (\ref{rhokfin}), но с целыми четными~$k$. Поэтому окончательная формула для свободной энергии имеет вид ряда:
\Align$$
\log\kappa(u)
&=\log a(u)+u+\sum_{m=1}^\infty{e^{-\lambda m}\sh2um\over m\ch\lambda m}
\notag
\\*
&=\log b(u)+\lambda-u
+\sum_{m=1}^\infty{e^{-\lambda m}\sh2(\lambda-u)m\over m\ch\lambda m}.
\label{feaffin}
$$

Отметим, что при общих значениях $v_F<\infty$ (при $|\Delta|<1$) или $v_F<{\pi\over2}$ (при $\Delta<-1$) уравнение (\ref{inteq}) описывает основное состояние шестивершинной модели общего вида с, вообще говоря, различными $a,a',b,b'$ (отличное от единицы отношение $c/c'$ вообще не влияет на модель). Уравнение не имеет аналитического решения, но может быть решено численно. При этом два слагаемых под знаком максимума в свободной энергии будут различны.

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

{\bf1.}~Выведите (\ref{B2states}) и~(\ref{Sz1z2-ab}).

{\bf2.}~Докажите соотношения (\ref{ABaction}) индукцией по~$k$.

{\bf3.}~Покажите, что анзац Бете (\ref{Betheeq}) можно получить из формулы (\ref{Lambda}) для собственных значений и требования, чтобы для любого собственного значения $\Lambda(u)$ произведение $\Lambda(u)\sin^N(\lambda-u)$ (при $|\Delta|<1$) или $\Lambda(u)\sh^N(\lambda-u)$ (при $\Delta<-1$) было целой аналитической функцией $u$.

{\bf4.}~Введите переменную $t$, имеющую смысл $(T-T_c)/T_c$ вблизи критической точки $\Delta=-1$. Покажите, что вблизи этой точки свободная энергия регулярна в антисегнетоэлектрической области и имеет слабую сингулярность в неупорядоченной области:
$$
f_{\textrm{sing}}\sim e^{-c/(-t)^{1/2}}
$$
с некоторой константой~$c$.

{\bf5$^*$.}~В асимметричной шестивершинной модели с $E_v=0$ в области $\Delta<1$ найдите значение $E_h$, при котором насыщается электрическая поляризация: $n=0$. Найдите соответствующее магнитное поле насыщения в $XXZ$ модели.%
%
\footnote{При $\Delta<-1$ в системе имеется еще одно критическое поле, ограничивающее антисегнетоэлектрическую (или антиферромагнитную) область. Однако вычисление границы этой области несколько сложнее и требует вычисления энергии одночастичных возбуждений.}



\end{document}
