% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Обобщенная теорема Остроградского"--~Гаусса}{Obobschennaja teorema Ostrogradskogo-Gaussa}}
\setcounter{page}1
\label{expl-gauss}

Пусть $a=a^{\mu_1\ldots\mu_k}\,\d_{\mu_1}\otimes\cdots\otimes\d_{\mu_k}$ "--- полностью антисимметричное тензорное поле на $d$"=мерном (псевдо)римановом многообразии, а
\eq$$
df_{\mu_1\ldots\mu_l}={1\over(d-l)!}\epsilon_{\mu_1\ldots\mu_d}\,dx^{\mu_{l+1}}\wedge\ldots\wedge dx^{\mu_d}
\label{area-element}
$$
"--- элемент $(d-l)$"=мерной поверхности. Пусть $U$ "--- замкнутое подмножество в $(d-k+1)$"=мерном подмногообразии $M$, а $\d U$ "--- $(d-k)$"=мерная граница этой области в подмногообразии $M$. Мы хотим доказать формулу
\eq$$
\int_U df_{\mu_1\ldots\mu_{k-1}}\,\d_{\mu_k}(\sqrt{|g|}a^{\mu_1\ldots\mu_k})={1\over k}\int_{\d U} df_{\mu_1\ldots\mu_k}\,\sqrt{|g|}a^{\mu_1\ldots\mu_k}.
\label{gen-Gauss}
$$
Мы будем доказывать для случая, когда область $U$ покрывается одной картой. В случае, когда это не так, мы можем разбить область $U$ на несколько подобластей, покрываемой одной картой каждая, и воспользоваться аддитивностью интегралов.

Прежде всего заметим, что левая и правая части равенства (\ref{gen-Gauss}) не зависят от системы координат. Действительно, форма объема
$$
dV=\sqrt{|g|}\epsilon_{\mu_1\ldots\mu_d}\,dx^{\mu_1}\otimes\cdots\otimes dx^{\mu_d}
$$
является инвариантным объектом, а правая часть (\ref{gen-Gauss}) является сверткой формы объема с контравариантным тензором ранга~$k$, то есть объектом инвариантным. Левая же часть является сверткой той же формы объема с тензором
$$
{1\over\sqrt{|g|}}\d_{\mu_k}(\sqrt{|g|}a^{\mu_1\ldots\mu_k})\,\d_{\mu_1}\otimes\cdots\otimes\d_{\mu_{k-1}}
=(\nabla_{\mu_k}a)^{\mu_1\ldots\mu_k}\,\d_{\mu_1}\otimes\cdots\otimes\d_{\mu_{k-1}}.
$$
Это равенство, обобщающее (\ref{nabla-sqrtg-a}) на произвольный антисимметричный тензор, нетрудно проверяется. Таким образом, левая часть тоже не зависит от системы координат.

Выберем систему координат на карте, покрывающей $U$ так, чтобы подмногообразие $M$ задавалось уравнением вида
$$
x^a=0\quad(a=1,\ldots,k-1).
$$
(Мы здесь будем нумеровать индексы $\mu$ от~1 до~$d$.) Тогда на $M$ единственные отличные от нуля компоненты это компонента $df_{1\ldots k-1}$ и все компоненты, получаемые из нее перестановкой индексов. Действительно, все $dx^a=0$, так что все ненулевые $dx^\mu$, входящие в правую сторону (\ref{area-element}) имеют $\mu>k-1$. Их как раз $d-k+1$ штука. При этом набор $\mu_1,\ldots,\mu_d$ для ненулевых слагаемых является перестановкой чисел $1,\ldots,d$. Это значит, что индексы $\mu_1,\ldots,\mu_{k-1}$ должны быть перестановками числе $1,\ldots,k-1$.

Из антисимметричности $df$ и $a$ получаем
$$
I=\int df_{\mu_1\ldots\mu_{k-1}}\,\d_{\mu_k}(\sqrt{|g|}a^{\mu_1\ldots\mu_k})=(k-1)!\int df_{1\ldots(k-1)}\,\d_\mu(\sqrt{|g|}a^{1\ldots(k-1)\mu}).
$$
Очевидно, $\mu$ можно ограничить областью $k,\ldots,d$, то есть номерами координат на подмногообразии~$M$. Это значит, что к последней формуле можно применить теорему Гаусса:
$$
I=(k-1)!\int df_{1\ldots(k-1)\mu}\,\sqrt{|g|}a^{1\ldots(k-1)\mu}.
$$
Теперь заметим, что все остальные ненулевые элементы $df_{\mu_1\ldots\mu_k}$ получаются перестановкой $k$ индексов $1,\ldots,k-1,\mu$ (подумайте сами, почему). Ввиду все той же антисимметричности наших объектов, получаем
$$
I={(k-1)!\over k!}\int df_{\mu_1\ldots\mu_k}\,\sqrt{|g|}a^{\mu_1\ldots\mu_k}.
$$

Можно сделать два замечания. Во"=первых, утверждение (\ref{gen-Gauss}) можно также получить из обобщенной теоремы Стокса для антисимметричных форм
\eq$$
\int_U d\omega=\int_{\d U}\omega,
\label{gen-Stokes}
$$
которая верная для любых гладких многообразий, даже без всякой связности или метрики. Для доказательства достаточно взять
$$
\omega=\sqrt{|g|}\epsilon_{\mu_1\ldots\mu_d}a^{\mu_1\ldots\mu_k}\,dx^{\mu_{k+1}}\otimes\cdots\otimes dx^{\mu_d}
={1\over(d-k)!}\sqrt{|g|}\epsilon_{\mu_1\ldots\mu_d}a^{\mu_1\ldots\mu_k}\,dx^{\mu_{k+1}}\wedge\cdots\wedge dx^{\mu_d}.
$$
Нетрудно увидеть, что внешний дифференциал формы сведется к дивергенции из левой части~(\ref{gen-Gauss}).

Во"=вторых, теорема применима не только к антисимметричным тензорам, но и к любым антисимметричным символам $a^{\mu_1\ldots\mu_k}$. Действительно, определим тензор $\tilde a$, компоненты которого $\tilde a^{\mu_1\ldots\mu_k}$ равны $a^{\mu_1\ldots\mu_k}$ в данной системе координат. Для него, как мы видели, верна теорема Остроградского"--~Гаусса. Но в левой и правой части (\ref{gen-Gauss}) этот тензор находится в одной и той же системе координат и поэтому его компоненты совпадают с компонентами символа $a^{\mu_1\ldots\mu_k}$. Иными словами, те преобразования, с помощью которых мы доказывали, следует применять к компонентам тензора $\tilde a$. А поскольку в конце рассуждения мы возвращаемся к исходной системе координат, то и компоненты тензора снова становятся равными компонентам символа $a$.
