% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Основные понятия дифференциальной геометрии и пространство"=время}{Osnovnye poniatiya differencialnoy geometrii i prostarnstvo-vremia}}
\label{lec-maindifgeom}
\setcounter{page}1

В специальной теории относительности мир представлял собой плоское (аффинное) пространство, и у нас не было принципиальной необходимости вводить криволинейные координаты на нем. Законы физики удобно было связывать с плоскими координатами, причем временн\'{а}я координата отвечала некоторой инерциальной системе отсчета, а пространственные координаты были произвольными координатами в одновременном слое. В общей теории относительности инерциальные системы отсчета никак не выделены. Более того, мир описывается как некоторое многообразие с (псевдоримановой) метрикой, и законы физики должны быть сформулированы так, чтобы их можно было записать в произвольных координатах. В этой и следующей лекции я введу основные геометрические понятия, которые нам будут нужны на протяжении всего курса.

Дадим сначала определения. Пусть на множестве $M$ задано множество его подмножеств $\cT$, удовлетворяющее трем условиям:
\begin{enumerate}
\item Объединение элементов произвольного подмножества множества $\cT$ принадлежит~$\cT$.
\item Пересечение элементов произвольного \emph{конечного} подмножества $\cT$ принадлежит~$\cT$.
\item $\varnothing,M\in\cT$.
\end{enumerate}
Тогда $\cT$ называется \emph{топологией} на множестве $M$, элементы $U\in\cT$ "--- \emph{открытыми} множествами, а пара $(M,\cT)$ "--- \emph{топологическим пространством}.

Для пары топологических пространств $(M,\cT)$ и $(M',\cT')$ отображение $f:M\to M'$ называется \emph{непрерывным}, если прообраз любого открытого множества открыт: $U\in\cT'\Rightarrow f^{-1}(U)\in\cT$.

Отображение $f:M\to M'$ называется \emph{гомеоморфизмом} топологических пространств, если оно взаимно"=однозначно и оба отображения $f$ и $f^{-1}$ непрерывны.

Если любой элемент множества $\cT$ можно получить объединением элементов некоторого его подмножества $\cB\subset\cT$, то такое подмножество называется \emph{базой топологии}.

Открытое множество $U$, содержащее точку $x$, называют \emph{открытой окрестностью} точки~$x$. Топологическое пространство $(M,\cT)$ (для простоты будем писать $M$) называется \emph{хаусдорфовым} если топология удовлетворяет \emph{сильной аксиоме отделимости}: для любой пары точек имеются непересекающиеся окрестности:
$$
\forall x,y\in M,\ x\ne y:\ \exists U,V\in\cT,\ x\in U,\ y\in V,\ U\cap V=\varnothing.
$$

Примером хаусдорфова топологического пространства является пространство $\R^d$, база топологии которого состоит из всех открытых шаров $B_r(x)=\bigl\{y\in\R^d\,\big|\,|x-y|<r\bigr\}$ ($\forall x,r$). На самом деле можно построить базу из счетного множества открытых шаров, так что это топологическое пространство со счетной базой.

Если у каждой точки $x_0\in M$ хаусдорфова топологического пространства $M$ со счетной базой топологии имеется окрестность $U$, гомеоморфная пространству $\R^d$, то есть существует непрерывное вместе со своим обратным взаимно"=однозначное отображение $\phi:U\to\R^d$, то топологическое пространство $M$ будем называть \emph{топологическим многообразием} размерности~$d$. Пару $(U,\phi)$ называют \emph{картой} на многообразии~$M$. Совокупность функций $\phi^\mu(x)$ дает \emph{систему координат} на открытом множестве~$U$. Если мы изучаем многообразие только в окрестности точки $x$, то вместо $\phi^\mu(x)$ часто пишут просто~$x^\mu$. Мы тоже будем так часто делать, а если у нас будут две системы координат в одной области, то будем различать их какими"=нибудь дополнительными значками, например, штрихом: $x^\mu=\phi^\mu(x)$, $x^{\prime\mu}=\phi^{\prime\mu}(x)$.

Предположим, что на $M$ имеется множество карт $(U_\alpha,\phi_\alpha)$, $\alpha\in A$, удовлетворяющее условиям:
\begin{enumerate}
\item Карты $U_\alpha$ покрывают все многообразие: $\bigcup_{\alpha\in A}U_\alpha=M$.
\item Для любых $\alpha,\beta\in A$, таких что $U_\alpha\cap U_\beta\ne\varnothing$, отображение \emph{склейки} $\phi^\beta_\alpha=\phi_\beta\circ\phi_\alpha^{-1}$ является $C^k$"=гладким во всей области его определения.
\end{enumerate}
Тогда мы будем говорить, что $(U_\alpha,\phi_\alpha)$ образуют \emph{$C^k$"=гладкий атлас} на~$M$. Два $C^k$"=гладких атласа считаются \emph{эквивалентными}, если их объединение тоже является $C^k$"=гладким атласом. Класс эквивалентности $C^k$"=гладких атласов образует \emph{$C^k$"=гладкую структуру}. Многообразие $M$ с заданной на ней $C^k$"=гладкой структурой называется \emph{$C^k$"=гладким многообразием}. Функцию $f:M\to\R$ мы будем называть \emph{$C^l$"=гладкой} ($l\le k$) если функции $f\circ\phi_\alpha^{-1}:\R^d\to\R$ являются $C^l$"=гладкими.

В дальнейшим мы будем считать $k$ достаточно большим для того, чтобы все выражения, которые мы будем писать, были хорошо определены, и просто говорить о «гладком многообразии». Обычно нам будет достаточно $k=2$.

Отметим, что систему координат $\phi$ можно определить не как взаимно"=однозначное отображение на все пространства $\R^d$, а как взаимно"=однозначное отображение на какое"=нибудь его открытое (в смысле $\R^d$) подмножество, гомеоморфное~$\R^d$. Это удобно в практических вычислениях, потому что позволяет брать более «естественные» функции~$\phi^\mu$. Мы всегда будем понимать карты и системы координат в таком более общем виде.

Понятие многообразия фундаментальное, но само по себе слишком бедное. В сущности, можно сказать, что это топологическое пространство, локально гомеоморфное пространству $\R^d$. В этой лекции мы введем две дополнительные структуры, которые мы будем использовать во всем курсе "--- аффинную связность и метрику.

Для начала давайте вспомним понятие касательного пространства. Рассмотрим гладкое многообразие $M$. Нас будут интересовать только локальные свойства многообразия, поэтому мы ограничимся одной картой $U\subset M$ с координатами~$x^\mu=\phi^\mu(x)$. Пусть $x_0\in U$. Рассмотрим пространство $C^1(U)$ гладких вещественнозначных функций на~$U$. Рассмотрим гладкую параметрическую кривую $x=\varphi(\tau)$, такую что $x_0=\varphi(0)$. Гладкость кривой означает, что функции $\varphi^\mu(\tau)\equiv\phi^\mu(\varphi(\tau))$ параметра кривой являются гладкими. Тогда дифференцирование $\dot\varphi(0)$ вдоль кривой в точке $\tau=0$ представляет собой оператор из $C^1(U)$ в $\R$:
$$
\forall f\in C^1(U):\
\dot\varphi(0)f\stackrel{\rm def}=\left.{df(\varphi(\tau))\over d\tau}\right|_{\tau=0}
=\left.{\d f(x)\over\d x^\mu}\right|_{x=\varphi(0)}\left.{d\varphi^\mu(\tau)\over d\tau}\right|_{\tau=0}.
$$
Легко понять, что совокупность всех операторов $\dot\varphi$, связанных со всеми возможными кривыми, проходящими через точку~$x_0$, образуют векторное пространство. Действительно, для двух кривых $\varphi$ и $\chi$ операторы $\dot\varphi(0)$ и $\dot\chi(0)$ совпадают, если $(\varphi^\mu)'(0)=(\chi^\mu)'(0)$, так что любой оператор $\dot\varphi(0)$ может быть однозначно записан в виде $a^\mu{\d\over\d x^\mu}$, где $a^\mu=(\varphi^\mu)'(0)$. И наоборот, для любого оператора $a^\mu{\d\over\d x^\mu}$ существует кривая $\varphi(\tau)$ с координатами $\varphi^\mu(\tau)=x^\mu+a^\mu\tau$, для которой это уравнение выполняется. Для любого набора чисел $a^\mu$ определим оператор $a=a^\mu{\d\over\d x^\mu}$. Структура линейного пространства задается очевидным равенством
$$
\alpha a+\beta b=(\alpha a^\mu+\beta b^\mu){\d\over\d x^\mu}.
$$
Легко проверить, что оно не зависит от выбора координат. Линейное пространство $TM_{x_0}=T^1\!M_{x_0}$ таких операторов называется \emph{касательным пространством} к многообразию $M$ в точке $x_0$. Совокупность касательных пространств со структурой многообразия на них образует \emph{касательное расслоение}~$TM=T^1\!M$. На языке расслоений векторные поля представляют собой гладкие сечения касательного расслоения. Мы будем говорить, что сечение $a$ $C^k$"=гладкое, если соответствующие функции $a^\mu(x)$ являются $C^k$"=гладкими на каждой карте. Пространство таких сечений мы будем обозначать $C^k(TM)$. Векторные поля $\d\over\d x^\mu$ на карте $U$ задают \emph{координатные базисы} в касательных пространствах $TM_x$, $x\in U$.

Векторы в касательном пространстве можно представлять себе как бесконечно малые сдвиги. Действительно, пусть $a\in TM_x$, а $f\in C^1(M)$. В любой системе координат мы можем написать
$$
f(x^\bullet+\varepsilon a^\bullet)=f(x)+\varepsilon a^\mu{\d f(x)\over\d x^\mu}+o(\varepsilon)
=f(x)+\varepsilon af(x)+o(\varepsilon).
$$

Рассмотрим пространство двойственное к $TM_{x_0}$, то есть пространство линейных форм на $TM_{x_0}$. Если у нас выбраны координаты $x^\mu$, то с каждой координатой связана форма $dx^\mu$, определенная уравнением
$$
dx^\mu\left({\d\over\d x^\nu}\right)=\delta^\mu_\nu,
$$
то есть базис $\{dx^\mu\}$ представляет собой базис в пространстве форм, двойственный к базису $\left\{{\d\over\d x_\mu}\right\}$ в касательном пространстве. Это пространство называется \emph{кокасательным пространством} $T^*\!M_{x_0}=T_1M_{x_0}$, а совокупность кокасательных пространств образует \emph{кокасательное расслоение} $T^*\!M=T_1M$. Поля 1-форм представляют собой гладкие сечения кокасательного расслоения, образующие пространство $C^k(T_1M)$. Более общо, тензорное произведение $T^m_n\!M_{x_0}=TM_{x_0}^{\otimes m}\otimes T^*\!M_{x_0}^{\otimes n}$ представляет собой пространство тензоров с $m$ верхними и $n$ нижними индексами (у компонент) в точке $x_0$. Соответствующие тензорные поля определяются как сечения расслоения $T^m_n\!M$.

Вместо символа ${\d\over\d x^\mu}$ мы часто будем использовать символ $\d_\mu$. Оба этих символа мы будем применять как для обозначения базисного вектора в касательном пространстве (то есть оператора на пространстве функций на многообразии), так и для обозначения дифференцирования функции нескольких переменных (оператора на пространстве функций в $\R^d$), в том числе отвечающих функциям на многообразии в системе координат $\{x^\bullet\}$. Кроме того, для функции $d$ переменных $f(x^\bullet)=f(x^0,x^1,\ldots,x^{d-1})$ мы будем писать $f_{,\,\mu}=\d_\mu f$.

Теперь возникает вопрос о том, как «склеить» слои касательного расслоения $TM$ друг с другом. В аффинном пространстве все слои касательного расслоения естественным образом отождествляются с «подлежащим» векторным пространством $V$ и, таким образом, между собой. На произвольном многообразии такого естественного способа не существует. Если мы проведем на многообразии некоторую $C^1$"=гладкую незамкнутую и несамопересекающуюся кривую, можно отождествить касательные пространства (т.е.\ построить взаимно"=однозначные отображения между ними) в точках кривой каким-нибудь способом. Мы хотим, чтобы
\begin{itemize}
\item этот способ был локален, то есть правило было задано в каждой точке многообразия $M$ и зависело только от направления $\dot\varphi(\tau)$, в котором кривая проходит через эту точку;
\item этот способ уважал структуру линейного пространства на $TM_x$, то есть задавал линейное отображение одного слоя в другой;
\item этот способ был гладким, то есть компоненты «постоянного» вектора вдоль гладкой кривой являлись гладкими функциями параметра кривой.
\end{itemize}

Предположим, мы хотим перенести вектор $a$ из точки $x_0$ вдоль кривой $\varphi(\tau)$, $\varphi(0)=x_0$. Пусть $a(\tau)$ есть результат такого переноса. Иными словами, $a(\tau)$ есть постоянный по отношению к переносу вектор. Пусть также $b(\tau)=\dot\varphi(\tau)$. Мы хотим построить такой оператор $\nabla_b$, что
\eq$$
\nabla_{b(\tau)}a(\tau)=0.
\label{nabla-cond}
$$
Этот оператор мы будем называть \emph{ковариантной производной}, а вектор $a(\tau)$, удовлетворяющий этому условию, "--- \emph{ковариантно"=постоянным} вдоль кривой~$\varphi(\tau)$. В силу условия локальности оператор может зависеть только от точки $x=\varphi(\tau)$, но не от самого параметра~$\tau$. В частности, это значит, что репараметризация $\tau=p(\lambda)$ не изменит этого условия. Направляющий вектор к кривой $\varphi(p(\lambda))$ равен $p'(\lambda)b(p(\lambda))$. Отсюда следует, что условие $\nabla_{\alpha(\tau)b(\tau)}a(\tau)=0$ должно выполняться для любой функции~$\alpha(\tau)$. Очевидно, что для аффинного пространства за оператор $\nabla_b$ можно принять действие вектора $b$ на компоненты $a^\mu$ в линейных координатах. Поэтому постулируем, что оператор $\nabla_b$ линеен по~$b$ и является дифференциальным оператором первого порядка:
\Align$$
\nabla_{fb}a
&=f\nabla_ba,
\label{nabla-linearity}
\\
\nabla_b(fa)
&=(bf)a+f\nabla_ba
\qquad(\forall f\in C^1(M),\ a\in C^1(TM),\ b\in C^0(TM)).
\label{nabla-Leibnitz}
$$
Последнее условие представляет собой правило Лейбница. Оно связывает параллельный перенос вектора с параллельным переносом скаляра и нормирует его. Первое условие означает, что существует оператор (\emph{ковариантный дифференциал}) $\nabla:C^k(TM)\to C^{k-1}(T^1_1M)$, такой что $\nabla_ba=b^{\bf1}\nabla_{\bf1}a=b^\mu\nabla_\mu a$, где $\nabla_\mu\equiv\nabla_{\d_\mu}$. Иными словами, $\nabla=dx^\mu\otimes\nabla_\mu$. Мы будем говорить, что ковариантный дифференциал задает \emph{аффинную связность} на многообразии~$M$.%
%
\footnote{Вообще говоря, связность задается на \emph{расслоении}. Аффинная связность является связностью на \emph{касательном} расслоении $TM$, и индуцирует согласованные с ней связности на всех тензорных расслоениях $T^m_n\!M$, которые также называют аффинными (см.\ ниже).}
%
Найдем общий вид оператора $\nabla$ в координатах. Условие (\ref{nabla-Leibnitz}) переписывается в виде
\eq$$
\nabla(fa)=df\,a+f\nabla a
\tag{\ref{nabla-Leibnitz}a}
$$
или, в компонентах,
\eq$$
\nabla_\mu(fa)=\d_\mu f\,a+f\nabla_\mu a.
\tag{\ref{nabla-Leibnitz}b}
$$
Применим эту формулу к $\nabla_\mu a=\nabla_\mu(a^\nu\d_\nu)$, подставив вместо $f$ компоненту $a^\nu$, а вместо $a$ базисный вектор $\d_\nu$:
\eq$$
\nabla_\mu(a^\nu\d_\nu)=(\d_\mu a^\nu)\d_\nu+a^\nu\nabla_\mu\d_\nu.
\label{nabla-ad}
$$
Левую часть разложим по базису
\eq$$
\nabla_\mu(a^\nu\d_\nu)=(\nabla_\mu a)^\lambda\d_\lambda,
\label{nabla-vec-decomp}
$$
В правой части (\ref{nabla-ad}) первый член уже разложен по базису, а для второго члена имеем
\eq$$
\nabla_\mu\d_\nu=\Gamma^\lambda_{\nu\mu}\d_\lambda.
\label{Gamma-def}
$$
Коэффициенты разложения $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ называются \emph{символами Кристоффеля}. Подставляя (\ref{nabla-vec-decomp}) и (\ref{Gamma-def}) в (\ref{nabla-ad}), получаем
\eq$$
(\nabla_\mu a)^\lambda=\d_\mu a^\lambda+\Gamma^\lambda_{\nu\mu}a^\nu.
\label{nabla-vec-coord}
$$
Набор символов Кристоффеля (как функций точки) однозначно задает связность на данном многообразии. Заметим, что для краткости часто пишут $\d_\mu a^\lambda=a^\lambda{}_{,\mu}$, $(\nabla_\mu a)^\lambda=a^\lambda{}_{;\mu}$.

Говоря о существовании оператора $\nabla$, я сделал небольшую подмену. Дело в том, что оператор $\nabla_b$ в (\ref{nabla-cond}) не требует, чтобы векторное поле $a$ было определено в некоторой области пространства. Достаточно, чтобы оно было определено на кривой~$\varphi(\tau)$. Поэтому следует оговориться, что условие (\ref{nabla-cond}) может быть определено через ковариантную производную $\nabla$ для произвольного гладкого продолжения $a(\tau)$ на окрестность кривой. В силу того, что $\dot\varphi^\mu\d_\mu=d/d\tau$, мы можем записать его в виде
\eq$$
\dot a^\lambda(\tau)+\Gamma^\lambda_{\nu\mu}\dot\varphi^\mu(\tau)a^\nu(\tau)=0.
\label{nabla-cond-coord}
$$

Аффинная связность может быть легко обобщена на общее тензорное расслоение $T^m_n\!M$. Действительно, для функций на многообразии ковариантная производная совпадает с обычной:
\eq$$
\nabla_b f=bf,
\qquad
f\in C^1(M).
\label{nabla-f}
$$
Тогда легко определить связность на кокасательном расслоении через правило Лейбница:
\eq$$
(\nabla_b\,\omega)(a)+\omega(\nabla_ba)=b\omega(a),
\qquad
\omega\in C^1(T^*\!M),\ a\in C^1(TM).
\label{nabla-omega}
$$
Явно получаем
\eq$$
(\nabla_\mu\omega)_\kappa=\d_\mu\omega_\kappa-\Gamma^\nu_{\kappa\mu}\omega_\nu.
\label{nabla-form-coord}
$$
Наконец, для общего тензорного поля $t\in C^1(T^m_nM)$ ковариантная производная определяется через правило Лейбница для свертки $t^{\bf1\ldots m}{}_{\bf m+1,\ldots,m+n}\omega^{(1)}_{\bf1}\cdots\omega^{(m)}_{\bf m}a_{(1)}^{\bf m+1}\cdots a_{(n)}^{\bf m+n}$ тензорного поля с $m$ 1-формами $\omega^{(i)}$ и $n$ векторами $a_{(j)}$. В координатном базисе ковариантная производная тензора $t$ выглядит так
\eq$$
(\nabla_\mu t)^{\lambda_1\ldots\lambda_m}{}_{\kappa_1\ldots\kappa_n}=\d_\mu t^{\lambda_1\ldots\lambda_m}{}_{\kappa_1\ldots\kappa_n}
+\sum^m_{i=1}\Gamma^{\lambda_i}_{\nu_i\mu}t^{\lambda_1\ldots\nu_i\ldots\lambda_m}{}_{\kappa_1\ldots\kappa_n}
-\sum^n_{j=1}\Gamma^{\nu_j}_{\kappa_j\mu}t^{\lambda_1\ldots\lambda_m}{}_{\kappa_1\ldots\nu_j\ldots\kappa_n}.
\label{nabla-tensor-coord}
$$

Теперь зададимся вопросом: как переносится касательный к кривой вектор? Вообще говоря, после переноса он перестает быть касательным. $C^2$"=Гладкая кривая, касательный вектор к которой ковариантно"=постоянен вдоль нее в некоторой параметризации, называется \emph{геодезической}. Иными словами, геодезическая удовлетворяет уравнению
\eq$$
\nabla_{\dot\varphi(\tau)}\dot\varphi(\tau)=0.
\label{geodesic-def}
$$
В силу (\ref{nabla-cond-coord}) в координатах это уравнение имеет вид
\eq$$
\ddot\varphi^\lambda+\Gamma^\lambda_{\mu\nu}\dot\varphi^\mu\dot\varphi^\nu=0.
\label{geodesic-coord}
$$
Обратим внимание, что это уравнение фиксирует не только саму кривую, но и специальную параметризацию на ней. Параметр, определенный этим уравнением называется \emph{аффинным параметром} геодезической. Уравнение (\ref{geodesic-coord}) является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, так что геодезическая однозначно задается начальной точкой $\varphi(0)$ и направляющим вектором $\dot\varphi(0)$ в ней. При этом достаточно задать направляющий вектор с точностью до множителя: замена $\dot\varphi(0)\to\lambda\dot\varphi(0)$ эквивалентна репараметризации $\tau\to\lambda^{-1}\tau$ с постоянным $\lambda$.

Геодезические будут играть большую роль. Как мы увидим ниже, они дают мировые линии легких (пробных) частиц, свободно падающих в гравитационном поле, причем в случае массивных частиц аффинный параметр $\tau$ пропорционален собственному времени частицы.

Важно заметить, что символы Кристоффеля $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ не являются компонентами какого-либо тензорного поля. Это легко понять хотя бы из того, что символы Кристоффеля естественной связности в аффинном пространстве тождественно равны нулю в плоских координатах и не равны нулю в криволинейных координатах, в то время как полный набор компонент тензор не может обращаться или не обращаться в нуль в зависимости от базиса. Нетрудно показать, что при преобразовании координат $x^\mu=x^\mu(x^{\prime\bullet})$ символы Кристоффеля преобразуются по закону
\eq$$
\Gamma^\lambda_{\mu\nu}
=\Gamma^{\prime\kappa}_{\rho\sigma}{\d x^\lambda\over\d x^{\prime\kappa}}{\d x^{\prime\rho}\over\d x^\mu}{\d x^{\prime\sigma}\over\d x^\nu}
+{\d^2 x^{\prime\kappa}\over\d x^\mu\,\d x^\nu}{\d x^\lambda\over\d x^{\prime\kappa}}.
\label{Gamma-transform}
$$
В то же время \emph{разность} двух связностей является тензором. Пусть $\nabla,\tilde\nabla$ "--- две связности, а $\Gamma,\tilde\Gamma$ "--- соответствующие символы Кристоффеля. Тогда, очевидно, разности $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-\tilde\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ преобразуются как компоненты тензора. По-другому: из определения (\ref{nabla-linearity}), (\ref{nabla-Leibnitz}) немедленно следует, что
$$
\Aligned{
(\nabla_{fb}-\tilde\nabla_{fb})a
&=f(\nabla_b-\tilde\nabla_b)a,
\\
(\nabla_b-\tilde\nabla_b)(fa)
&=f(\nabla_b-\tilde\nabla_b)a.
}
$$
Это значит, что разность связностей в точке $x$ является линейным отображением $TM_x\otimes TM_x\to TM_x$, то есть тензором из $T^1_2\!M_x$.

Другая тензорная величина, связанная со связностью, это \emph{кручение}:
\eq$$
T(a,b)=\nabla_ab-\nabla_ba-[a,b]\quad(\forall a,b\in C^1(TM))
\quad\Leftrightarrow\quad
T^\lambda_{\mu\nu}=\Gamma^\lambda_{\nu\mu}-\Gamma^\lambda_{\mu\nu}
\label{torsion-def}
$$
Легко видеть, что для $T^\lambda_{\mu\nu}$ второе слагаемое в~(\ref{Gamma-transform}) сокращается и, таким образом, кручение является тензором.

До сих пор мы вводили аффинную связность аксиоматически, как самостоятельный объект. В общей теории относительности возникает связность специального вида: связность, определяемая метрикой. Чтобы ее определить, введем метрику на многообразии~$M$. Многообразие $M$ называется \emph{псевдоримановым многообразием}, если на нем задано поле симметричной невырожденной формы $g\in C^2(T_2M)$, $g_x(a,b)=g_x(b,a)$. Такая форма называется \emph{метрикой}. В силу непрерывности и невырожденности сигнатура метрики на связном псевдоримановом многообразии постоянна. В рамках ОТО нас будут интересовать многообразия с сигнатурой $(1,3)$ (или, более общо, $(1,d-1)$).

Связность $\nabla$ называется \emph{согласованной с метрикой}, если в ней метрика ковариантно"=постоянна:
\eq$$
\nabla_c g=0\ (\forall c\in C^0(TM))
\quad\Leftrightarrow\quad
g_{\mu\nu;\lambda}=0.
\label{nabla-g-consistency}
$$
Связность $\nabla$ называется \emph{связностью без кручения}, если она удовлетворяет условию
\eq$$
T^\bullet_{\bullet\bullet}=0.
\label{nabla-torsionfree}
$$
Имеется единственная связность без кручения, согласованная с метрикой. Такая связность называется \emph{связностью Л\'{е}ви"=Чив\'{и}ты}. Явно символы Кристоффеля для связности Леви"=Чивиты записываются как
\eq$$
\Gamma^\lambda_{\mu\nu}={1\over2}g^{\lambda\kappa}(\d_\mu g_{\kappa\nu}+\d_\nu g_{\kappa\mu}-\d_\kappa g_{\mu\nu}).
\label{Gamma-Levi-Civita}
$$

Метрика позволяет связывать объекты разной тензорной природы, попросту говоря, поднимать и опускать индексы. Например, вектору $a=a^\mu\d_\mu$ можно сопоставить форму $\overline g(a)=g_{\mu\nu}a^\nu\,dx^\mu=a_\mu\,dx^\mu$. Наоборот, форме $\omega=\omega_\mu\,dx^\mu$ можно сопоставить вектор $\overline g^*(\omega)=g^{\mu\nu}\omega_\nu\d_\mu=\omega^\mu\d_\mu$.


\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]
\item Рассмотрим две системы координат $\{x^\bullet\}$ и $\{x^{\prime\bullet}=f^\bullet(x^\bullet)\}$ в некоторой области многообразия~$M$. Пусть $a=a^\mu\d_\mu=a^{\prime\mu}\d'_\mu\in TM_{x_0}$. Получите закон преобразования компонент вектора
\eq$$
a^{\prime\mu}={\d x^{\prime\mu}\over\d x^\nu}a^\nu.
\label{vec-transformation}
$$
Частные производные здесь понимаются в следующем смысле: $\d_\nu x^{\prime\mu}=f^\mu{}_{,\nu}(x^\bullet)|_{x^\bullet=x^\bullet_0}$.

Пусть $\omega=\omega_\mu\,dx^\mu=\omega'_\mu\,dx^{\prime\mu}\in T^*M_{x_0}$. Получите закон преобразования компонент формы
\eq$$
\omega'_\mu={\d x^\nu\over\d x^{\prime\mu}}\omega_\nu.
\label{form-transformation}
$$
Частные производные здесь понимаются в смысле $\d'_\mu x^\nu=(f^{-1})^\nu{}_{,\mu}(f^\bullet(x^\bullet))|_{x^\bullet=x^\bullet_0}$. Наконец, напишите закон преобразования компонент произвольного тензора $a\in T^m_nM_{x_0}$.

\item Рассмотрим двумерное аффинное пространство. На этом пространстве имеется естественная связность, в которой $\nabla_\mu=\d_\mu$ в линейных координатах. Найдите символы Кристоффеля этой связности в полярных координатах $r,\varphi$: $x^1=r\cos\varphi$, $x^2=r\sin\varphi$.

\item Проверьте эквивалентность определений в (\ref{torsion-def}).

\item Получите символы Кристоффеля для связности Леви"=Чивиты~(\ref{Gamma-Levi-Civita}).

\starenumi
\item Выведите закон преобразования символов Кристоффеля~(\ref{Gamma-transform}).
\end{asparaenum}

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Физическая интерпретация метрики}
\medskip

Системы отсчета в общей теории относительности существуют только локально, поэтому каждой системе координат соответствует семейство систем отсчета в каждой точке пространства"=времени. Мы разберем физическую интерпретацию геометрических данных.

Измерить расстояние между двумя близко расположенными неподвижными в данной системе координат частицами можно следующим образом. На одной частице (с координатами $x^i+dx^i$) расположим источник сигнала, распространяющегося со скоростью света, а на другой (с координатами $x^i$) "--- зеркало. Испустим из первой частицы сигнал в сторону второй частицы. Сигнал отразится от второй частицы и вернется к первой. На первой частице произведем измерение времени испускания $t_1$ и приема $t_2$ сигнала, а на второй "--- момента отражения $t'_0$. Также будем считать, что моменту координатного времени $t_i$ отвечает момент собственного времени $\tau_i$, то есть физического времени, измеренного наблюдателем, находящимся на первой частице. Тогда за расстояние между частицами примем величину $l={1\over2}(\tau_2-\tau_1)$, а за момент времени на первой частице, синхронный с $t'_0$ на второй частице "--- момент $t_0={1\over2}(t_1+t_2)$.

Мы покажем, что:

\begin{enumerate}
\item Интервалы времени в системе отсчета, связанной с данной системой координат, даются формулой $d\tau=\sqrt{g_{00}}\,dt$.
\item Пространственные расстояния между близкими точками даются метрикой
\eq$$
dl^2=\gamma_{ik}\,dx^i\,dx^k,
\qquad
\gamma_{ik}=-g_{ik}+{g_{0i}g_{0k}\over g_{00}}
\quad\Leftrightarrow\quad
\gamma^{ik}=-g^{ik}.
\label{gamma-def}
$$
\item События в расположенных поблизости точках одновременны в локальной системе отсчета, связанной с данной системой координат, если
\eq$$
dx^0=-{g_{0i}\over g_{00}}\,dx^i.
\label{synchr-events}
$$
\end{enumerate}

Отметим, что на римановом многообразии на достаточно малой карте можно ввести \emph{синхронную систему координат} с метрикой
\eq$$
ds^2=dt^2-\gamma_{ik}\,dx^i\,dx^k.
\label{synchr-metric}
$$
Временные линии в этой системе координат являются геодезическими, а пространственные слои ортогональны им в каждой точке. Локальную систему координат можно построить, решая некоторое уравнение Гамильтона"--~Якоби. Это мы изучим подробнее на другом семинаре.

