% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Слабое гравитационное поле}{Slaboe gravitatsionnoye pole}}
\setcounter{page}1
\label{lec-wgf}

В этой лекции мы рассмотрим предел слабого гравитационного поля, то есть теорию гравитации в почти плоском пространстве. Такая задача возникает в двух случаях:
\begin{enumerate}
\item Когда компоненты тензора энергии"=импульса малы, то есть, грубо говоря, в системах с малой плотностью вещества. К этому случаю относится и нерелятивистский предел, когда, помимо малости кривизны, еще и скорости частиц достаточно малы.

\item Когда мы изучаем гравитационное поле достаточно далеко от гравитирующих тел. В этом случае представляют интерес асимптотические разложения для метрики и кривизны. Мы увидим, как с их помощью можно узнать общую массу и момент импульса источника гравитации.
\end{enumerate}

Кроме того, мы увидим, что уравнения слабого гравитационного поля содержат свободную динамическую часть, которая приводит к новому по сравнению с ньютоновской теорией эффекту "--- гравитационным волнам.

Приближение слабого гравитационного поля, вообще говоря, не предполагает малых скоростей движения частиц и наблюдателей. Под приближением слабого гравитационного поля мы будем понимать предел
\eq$$
g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu},
\qquad
|h_{\mu\nu}|\ll1.
\label{g-weak}
$$
Тогда в первом приближении уравнения Эйнштейна можно считать линейными. Иными словами, гравитационное поле настолько слабо, что его самодействие пренебрежимо мало. Для этого, разумеется, тензор энергии"=импульса материи должен быть достаточно мал
\eq$$
G|T^{\mu\nu}|l^2\ll1,
\label{T-weak}
$$
где $l$ "--- характерные масштабы, на которых меняется метрика. На самом деле, это не значит, что компоненты тензора энергии"=импульса должны удовлетворять этому условию во всем пространстве. Линеаризованные уравнения мы можем использовать достаточно далеко от областей с большой концентрацией масс, рассматривая области больших масс и сильного поля как «черные ящики», создающие определенное поле на своих границах.

Есть еще один важный момент. Если вещество имеет низкую плотность, но занимает область большого размера $L$, отклонения метрики от плоской будут расти к границам области. Так что мы должны потребовать
\eq$$
G|T^{\mu\nu}|L^2\ll1.
\label{T-weak-L}
$$
Что делать, если масштаб $L$ не удовлетворяет этому условию? Тогда надо разбить пространство"=время на области, в которых это условие удовлетворено, и на каждой из этих областей выбрать карту так, чтобы компоненты метрики на ней мало отклонялись от~$\eta_{\mu\nu}$.

В линейном приближении удобно поднимать и опускать индексы с помощью фоновой метрики $\eta_{\mu\nu}$. Чтобы избежать путаницы, мы будем рисовать черточку над соответствующими индексами: $h^{\bar\mu}_\nu=\eta^{\mu\lambda}h_{\lambda\nu}$ и т.д. В первом порядке по $h_{\mu\nu}$ имеем
\eq$$
g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}-h^{\overline{\mu\nu}},
\qquad
|g|=1+h,
\qquad
h=h^{\bar\mu}_\mu.
\label{g-1order}
$$
Для тензора Риччи в первом порядке получаем
\eq$$
R^{(1)}_{\mu\nu}={1\over2}\left(
-\eta^{\lambda\kappa}h_{\mu\nu,\lambda\kappa}+2h^{\bar\lambda}_{(\mu,\nu)\lambda}-h_{,\mu\nu}
\right),
\label{R-1order}
$$
где скобки означают симметризацию: $a_{(\mu_1\ldots\mu_n)}={1\over n!}\sum_{\sigma\in S^n}a_{\mu_{\sigma_1}\ldots\mu_{\sigma_n}}$.

Линеаризованные уравнения Эйнштейна
\eq$$
\eta^{\lambda\kappa}h_{\mu\nu,\lambda\kappa}-2h^{\bar\lambda}_{(\mu,\nu)\lambda}+h_{,\mu\nu}
=-16\pi G\left(T_{\mu\nu}-{\eta_{\mu\nu}\over d-2}T\right)
\label{Eeq-1order}
$$
выглядят пока еще довольно устрашающе. Дело не столько в его сложности, сколько в том, что он содержит существенную проблему. Представим выражение (\ref{R-1order}) в виде
\eq$$
R^{(1)}_{\mu\nu}=K_{\mu\nu}{}^{\lambda\kappa}h_{\lambda\kappa},
\label{R=Kh}
$$
где $K$ "--- дифференциальный оператор вида
\eq$$
K_{\mu\nu}{}^{\lambda\kappa}={1\over2}\left(-\delta^\lambda_\mu\delta^\kappa_\nu\sqr
+\delta^\lambda_\mu\eta^{\kappa\alpha}\d_\alpha\d_\nu+\delta^\kappa_\nu\eta^{\lambda\alpha}\d_\alpha\d_\mu
-\eta^{\lambda\kappa}\d_\mu\d_\nu\right),
\label{Kop-def}
$$
действующий на симметричных тензорах в пространстве Минковского. Здесь
\eq$$
\sqr=\eta^{\mu\nu}\d_\mu\d_\nu
\label{DeltaMink-def}
$$
"--- лапласиан в пространстве"=времени Минковского (иногда его называют \emph{даламбертианом}). Проблема состоит в том, что оператор $K$ вырожден. Легко видеть, что любой тензор вида $\varphi_{\mu,\nu}+\varphi_{\nu,\mu}$ является его собственной функцией с нулевым собственным значением (\emph{нулевой модой}). Это означает, что оператор $K$ необратим, и метрика не определяется однозначно тензором Риччи или, в силу уравнений Эйнштейна, тензором энергии"=импульса материи. На самом деле в этом нет ничего удивительного. Как мы уже не раз говорили, геометрия пространства"=времени не меняется при произвольном преобразовании координат. Рассмотрим малое преобразование: $x^\mu=x^{\prime\mu}+\xi^\mu$. Метрика при таком преобразовании меняется как $\delta_\xi g_{\mu\nu}=\xi_{\mu;\nu}+\xi_{\nu;\mu}$. Близость метрики к плоской не фиксирует однозначно систему координат: остается свобода относительно преобразований той же малости, что и тензор $h$. В первом порядке имеем
\eq$$
h'_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}+\xi_{\bar\mu,\nu}+\xi_{\bar\nu,\mu}.
\label{h-transform}
$$
Полагая $\varphi_\mu=\xi_{\bar\mu}$, мы видим, что именно малые преобразования координат и вырождают оператор~$K$. Чтобы снять это вырождение, нужно как-то ограничить класс допустимых решений или, как говорят физики, зафиксировать калибровку. Для этого нужно наложить дополнительные условия таким образом, чтобы общее решение получалось из решений, удовлетворяющих этим условиям, преобразованием (\ref{h-transform}). Наложим $d$ условий
\eq$$
\psi^{\bar\mu}_{\nu,\mu}=0,
\qquad
\psi_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}-{\eta_{\mu\nu}\over2}h.
\label{psigauge}
$$
Обратно,
\eq$$
h_{\mu\nu}=\psi_{\mu\nu}-{\eta_{\mu\nu}\over d-2}\psi,
\qquad
\psi=\psi^{\bar\mu}_\mu=-{d-2\over2}h.
\label{hpsi-rel}
$$
При этих условиях все слагаемые в (\ref{R-1order}), кроме первого, сокращаются, и тензор Риччи приобретает вид
\eq$$
R^{(1)}_{\mu\nu}=-{1\over2}\sqr h_{\mu\nu}.
\label{R-1order-psigauge}
$$
Соответственно, уравнения Эйнштейна в калибровке (\ref{psigauge}) имеют вид волнового уравнения с распределенным источником:
\eq$$
\sqr\psi_{\mu\nu}=-16\pi GT_{\mu\nu}.
\label{Eeq-1order-psigauge}
$$
Условия согласованности калибровки с этим уравнением
$$
0=\sqr\psi^{\bar\mu}_{\nu,\mu}=-16\pi GT^{\bar\mu}_{\nu,\mu}
$$
совпадает с уравнением непрерывности для тензора энергии"=импульса в лидирующем порядке. Это значит, что эффекты обмена энергией и импульсом между гравитационным полем и материей являются эффектами второго порядка по $h_{\mu\nu}$ и лежат за пределами линейного приближения.

Рассмотрим теперь в рамках приближения слабого поля нерелятивистский предел, определяемый условиями:
\begin{enumerate}[\indent1)]
\item скорости частиц много меньше единицы, а поле мы усредняем по временам, большим чем характерные масштабы рассматриваемых областей;
\item плотность энергии совпадает с плотностью массы: $T^{00}=\rho$, а плотности импульса и напряжения малы: $|T^{0i}|,|T^{ij}|\ll\rho$.
\end{enumerate}

Первое условие означает также, что мы можем пренебречь производными по времени от метрики и решать задачу как статическую:
\eq$$
\Aligned{
\Delta\psi_{00}(t,\boldr)
&=16\pi G\rho(t,\boldr),
\\
\Delta\psi_{0i}(t,\boldr)
&=\Delta\psi_{ij}(t,\boldr)=0.
}\label{Eeq-nonrel}
$$
Здесь $\Delta=\sum^{d-1}_{i=1}\d_i^2$ "--- пространственный лапласиан. Время $t$ в этом уравнении играет роль параметра. Решение уравнения Лапласа, стремящееся к нулю на бесконечности, хорошо известно:
\eq$$
\psi_{00}(t,\boldr)=-{16\pi G\over(d-3)S_{d-1}}\int d^{d-1}x'\,{\rho(t,\boldr')\over|\boldr-\boldr'|^{d-3}},
\qquad
\psi_{0i}(t,\boldr)=\psi_{ij}(t,\boldr)=0,
\label{psi-nonrel-solution}
$$
где $S_n=n\pi^{n/2}/\Gamma({n\over2}+1)$ "--- площадь поверхности единичной гиперсферы в $n$"=мерном эвклидовом пространстве. Это решение, очевидно, удовлетворяет калибровочному условию~(\ref{psigauge}) с той же точностью, с какой мы можем пренебречь плотностью потока массы. Из (\ref{hpsi-rel}) получаем $h_{00}={d-3\over d-2}\psi_{00}$ и $h_{ij}={\psi_{00}\over d-2}\delta_{ij}$. Следовательно,
\eq$$
h_{00}(t,\boldr)=(d-3)h_{ii}(t,\boldr)=-{16\pi G\over(d-2)S_{d-1}}\int d^{d-1}x'\,{\rho(t,\boldr')\over|\boldr-\boldr'|^{d-3}}.
\label{h-nonrel-solution}
$$
Из формулы (\ref{ds2-nonrel}) мы знаем, что ньютоновский гравитационный потенциал равен $\phi={1\over2}h_{00}$. Однако пространственная часть метрики (\ref{h-nonrel-solution}) не согласуется с~(\ref{ds2-nonrel}), поскольку согласно этой формуле компоненты $h_{ii}$ должны равняться нулю. На самом деле для нерелятивистской пробной частицы ($v^2\ll1$), движущейся в слабом гравитационном поле ($\phi\ll1$), вклад $h_{ii}=2\phi/(d-3)$ в действие является превышением точности. Действительно, для нерелятивистского действия частицы в гравитационном поле имеем
$$
S=\int dt\,\left(-m+\left(1-{2\phi(t,\boldr)\over d-3}\right){m\boldv^2\over2}-m\phi(t,\boldr)\right).
$$
Очевидно, поправка к лагранжиану "--- порядка $m\phi v^2\ll m\phi,mv^2$, то есть мала по сравнению с остальными членами. Иными словами, вклад $h_{ii}$ пренебрежимо мал, поскольку в нерелятивистском пределе вклад в квадрат собственного времени, пропорциональный $d\boldr^2$, сам по себе мал по сравнению с~$dt^2$. Если же мы хотим изучать движение релятивистской частицы в слабом гравитационном поле (даже созданном нерелятивистскими объектами), этим вкладом пренебрегать нельзя.

Итак, нерелятивистский потенциал системы масс $m_i$ в точках $\boldr_i$ равен
\eq$$
\phi(t,\boldr)=-{8\pi G\over(d-2)S_{d-1}}\sum_a{m_a\over|\boldr-\boldr_a(t)|^{d-3}}.
\label{phi-nonrel}
$$
При $d=4$ мы получаем закон всемирного тяготения Ньютона:
\eq$$
U(t,\{\boldr_a\})={1\over2}\sum_a\lim_{\boldr'\to\boldr_a}m_a\left(\phi(t,\boldr')+G{m_a\over|\boldr'-\boldr_a(t)|}\right)
=-\sum_{a<b}G{m_am_b\over|\boldr_a(t)-\boldr_b(t)|}.
\label{Newton's-law}
$$
Отсюда заключаем, что константа $G$ в действии Эйнштейна"--~Гильберта равна гравитационной постоянной Ньютона.

Изучим теперь стационарные (не зависящие от времени) решения вне гравитирующих масс.%
\footnote{Нестационарные решения мы будем изучать в следующих двух лекциях.}
%
Мы не будем предполагать малости масс или нерелятивистских скоростей их движения, но будем считать, что гравитационное поле слабо в силу удаленности от источника. Кроме того, мы будем предполагать источник автономным, не находящимся под действием внешних по отношению к системе полей. В этом случае тензор $\psi_{\mu\nu}$ удовлетворяет уравнениям
\eq$$
\Delta\psi_{\mu\nu}=0,
\qquad
\d_i\psi_{0i}=0,
\qquad
\d_i\psi_{ij}=0.
\label{Eeq-1ordre-vac-stat}
$$
Чтобы найти связь между решениями этих уравнений и свойствами гравитирующих тел, выразим суперпотенциалы псевдотензора энергии"=импульса $\tau^{\mu\nu\lambda}$ и~$\chi^{\mu\nu\lambda\kappa}$ через асимптотики решений. Отметим, что условие $\psi^{\bar\nu}_{\mu,\nu}=0$ не фиксирует калибровку до конца. Преобразование (\ref{h-transform}) не нарушает это условие, если
\eq$$
\sqr\xi^\mu=0,
\label{Square-xi}
$$
что в случае не зависящих от времени преобразований означает
\eq$$
\Delta\xi^\mu=0.
\label{Delta-xi}
$$
Такие преобразования мы будем называть \emph{остаточными} калибровочными преобразованиями.

Будем искать решение уравнения Лапласа двух лидирующих порядках по~$r^{-1}$. Функция $r^{3-d}$ сама является решением уравнения Лапласа. Решения, которые спадают быстрее, даются просто производными этого решения. Поэтому имеем
$$
\Aligned{
\psi_{00}
&=Ar^{3-d}+B^k\,\d_kr^{3-d}+O(r^{1-d}),
\\
\psi_{0i}
&=A^ir^{3-d}+B^{ik}\,\d_kr^{3-d}+O(r^{1-d}),
\\
\psi_{ij}
&=A^{ij}r^{3-d}+B^{ijk}\,\d_kr^{3-d}+O(r^{1-d}),
\quad A^{ij}=A^{ji},
\quad B^{ijk}=B^{jik}.
}
$$
Калибровочное условие сводится к равенствам
$$
\Gathered{
A^i\,\d_i r^{3-d}=A^{ij}\,\d_jr^{3-d}=0,
\\
B^{ik}\,\d_i\d_k r^{3-d}=B^{ijk}\,\d_j\d_kr^{3-d}=0.
}
$$
Первая строчка немедленно дает $A^i=A^{ij}=0$. Из второй строчки получаем, что%
%
\footnote{Квадратные скобки означают антисимметризацию: $a_{[\mu_1\ldots\mu_n]}={1\over n!}\sum_{\sigma\in S^n}(-1)^\sigma a_{\mu_{\sigma_1}\ldots\mu_{\sigma_n}}$.}%
%
$$
B^{ik}=B^{[ik]}+C\delta^{ik},
\qquad
B^{ijk}=B^{i[jk]}+C^i\delta^{jk}=B^{j[ik]}+C^j\delta^{ik}.
$$
Члены с символами Кронекера разрешены потому, что соответствующий вклад в левую часть калибровочного условия пропорционален функции $\Delta r^{3-d}=0$.

Из последнего равенства нетрудно доказать, что $B^{ijk}=0$, $C^i=0$ и, таким образом, $\psi_{ij}=0$. Выражения для $\psi_{00}$ и $\psi_{0i}$ можно упростить, используя преобразование координат, удовлетворяющее~(\ref{Delta-xi}). Действительно, преобразованием%
%
\footnote{Обратим внимание, что это преобразование не является малым в указанном выше смысле.}%
%
$\xi^i=-B^i/A$, $\xi^0=0$ можно устранить второй член в выражении для $\psi_{00}$, а преобразованием $\xi^i=0$, $\xi^0=-Cr^{3-d}$ устранить симметричную часть в~$B^{ik}$.

Итак, мы можем записать решение в виде
\eq$$
\psi_{00}=Ar^{3-d},
\qquad
\psi_{0i}=B^{ik}\d_kr^{3-d}
\quad(B^{ki}=-B^{ik}),
\qquad
\psi_{ij}=0.
\label{psi-r-solution}
$$
Осталось связать константы $A$ и $B^{ik}$ с данными об источнике гравитации. Для этого вычислим величины $\chi^{\mu\nu\lambda\kappa}$, входящие в псевдотензор энергии"=импульса. Все компоненты нас интересовать не будут. Мы ограничимся компонентами $\chi^{\mu0kl}$.

В компоненту $\chi^{00kl}$ вносит вклад как $\psi_{00}$, так и $\psi_{0i}$, но, поскольку на больших расстояниях $|\psi_{00}|\gg|\psi_{0i}|$, достаточно сохранить только вклад $\psi_{00}$. Действительно,
$$
\chi^{00kl}={|g|\over16\pi G}(g^{00}g^{kl}-g^{0k}g^{0l}).
$$
Первый член в скобках имеет в качестве первой поправки $\psi_{00}$, а второй "--- только $\psi_{0i}$. Поэтому вторым слагаемым можно пренебречь. Первая поправка в $|g|$ также содержит $\psi_{00}$, так что членами, содержащими $\psi_{0i}$ пренебрегаем. В результате получаем
\eq$$
\chi^{00kl}=-{\delta_{kl}\over16\pi G}(1-Ar^{3-d}),
\qquad
\tau^{00k}=-{(d-3)A\over16\pi G}r^{1-d}x^k.
\label{chi00kl-weak}
$$
Подставляя в (\ref{P-LL}) получаем полную массу гравитирующей системы
\eq$$
M=P^0=\oint df_{0i}\,\tau^{00i}=-{(d-3)A\over16\pi G}\oint {df_{0i}\,x^i\over r^{d-1}}=-{(d-3)S_{d-1}A\over16\pi G}.
\label{P0-weak}
$$
Вклад $\psi_{0i}$ в массу, очевидно, будет стремиться к нулю при $r\to\infty$, что оправдывает сделанное приближение. Итак,
\eq$$
A=-{16\pi GM\over(d-3)S_{d-1}}
\label{psi00-fin}
$$
в полном согласии с нерелятивистской формулой~(\ref{psi-nonrel-solution}). В четырехмерном случае имеем
\eq$$
A=-4GM
\qquad(d=4).
\label{psi00-fin-d=4}
$$

Теперь вычислим $\chi^{i0kl}$:
$$
\chi^{i0kl}={|g|\over16\pi G}(g^{0i}g^{kl}-g^{ik}g^{0l}).
$$
Оба слагаемых содержат множитель вида $g^{0i}=-h^{\overline{0i}}=h_{0i}=\psi_{0i}$, поэтому мы можем положить $|g|=1$, $g^{ik}=-\delta^{ik}$. Находим
\eq$$
\Aligned{
\chi^{i0kl}
&={d-3\over16\pi G}{(\delta^{kl}B^{im}-\delta^{ik}B^{lm})x^m\over r^{d-1}},
\\
\tau^{i0k}
&={d-3\over16\pi G}{B^{im}(\delta^{km}r^2-(d-1)x^kx^m)\over r^{d+1}}.
}\label{chii0kl-weak}
$$
Так как $\tau^{i0k}\sim r^{1-d}$ интеграл по поверхности для $P^i$ обращается в нуль и мы получаем
\eq$$
P^i=0,
\label{Pi-weak}
$$
как и следовало ожидать в статической задаче. А вот интеграл для момента импульса имеет степень на единицу больше и, вообще говоря, не равен нулю. Прямое вычисление с помощью (\ref{J-LL-surface}) дает
\eq$$
B^{ij}={8\pi G\over(d-3)S_{d-1}}J^{ij}.
\label{psi0i-fin}
$$
В четырехмерном случае имеем
\eq$$
B^{ij}=2GJ^{ij}
\qquad(d=4).
\label{psi0i-fin-d=4}
$$

Итак, по ведущим асимптотикам «гравитационных потенциалов» $h_{\mu\nu}$ на больших расстояниях мы можем узнать общие массу и момент импульса системы гравитирующих тел.

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]
\item Покажите, что для оператора $K$, определенного в (\ref{Kop-def}), $Kh=0$, если $h_{\mu\nu}=\varphi_{\mu,\nu}+\varphi_{\nu,\mu}$.

\item Выведите формулы (\ref{chi00kl-weak}), (\ref{chii0kl-weak}).

\item Найдите усредненную по времени асимптотику метрики на большом расстоянии от системы двух тел масс $m_1$ и $m_2$, вращающихся вокруг общего центра масс, если дана относительная скорость тел $v_{\text{п}}\ll1$ в точке наибольшего сближения и расстояние $r_{\text{п}}$ между ними в этой точке.

\item Выведите формулу~(\ref{psi0i-fin}).

\starenumi
\item Рассмотрим сферически симметричную тонкую сферу массы $M$ и радиуса~$R$, вращающуюся как твердое тело с постоянной угловой скоростью~$\Omega$, $\Omega R\ll1$. В предположении применимости линейного приближения ($GM\ll l\ll R$, где $l$ "--- толщина сферы) найдите создаваемое сферой гравитационное поле (метрику) в линейном приближении в первом порядке по $\Omega R$ и покажите, что метрика внутри сферы может быть описана как плоская метрика, вращающаяся с угловой скоростью
$$
\omega={4\over3}{GM\Omega\over R}.
$$
(Для этого вам надо будет в сферических координатах сделать замену координат $\varphi=\varphi'+\omega t$ и подобрать $\omega$ так, чтобы метрика приобрела плоский вид $ds^2=dt^2-dr^2-r^2(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^{\prime2})$.)

\end{asparaenum}


\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Полная энергия стационарной системы}
\medskip
Пусть псевдориманово пространство имеет времениподобное векторное поле Киллинга $\xi$, то есть векторное поле, удовлетворяющего условию $\xi_{\mu;\nu}+\xi_{\nu;\mu}=0$, времениподобное во всех точках. Мы можем выбрать координаты так, чтобы время текло вдоль этого вектора Киллинга: $\xi=\d_0$ (т.е.\ $\xi^0=1,\xi^i=0$). В этой системе координат метрика стационарна: $g_{\mu\nu,0}=0$.

Для стационарной метрики можно показать, что
\eq$$
\sqrt{|g|}R^0_0=\d_i(\sqrt{|g|}g^{0\mu}\Gamma^i_{0\mu}).
\label{R00-stat}
$$
Предположим, что поле создается массами, расположенными в конечном объеме, так что на достаточно большом расстоянии поле становится слабым. Из~(\ref{R00-stat}) следует, что пространственный интеграл $\int d^{d-1}x\,\sqrt{|g|}R^0_0$ сводится к поверхностному интегралу. Подставляя в него асимптотическое выражение (\ref{psi-r-solution}) и учитывая (\ref{psi00-fin}), получаем, что этот интеграл выражается через массу. Согласно уравнениям Эйнштейна, $R^0_0$ выражается через тензор энергии"=импульса. Окончательно получаем, что полная энергия (=масса) вещества и гравитационного поля может быть выражена через интеграл от тензора энергии"=импульса материи по пространственному объему:
\eq$$
M=\int d^{d-1}x\,\sqrt{|g|}\left(T^0_0-{1\over d-3}T^i_i\right).
\label{P0-stat}
$$

В частности, в системе координат в которой $g_{0i}=0$ в четырехмерном пространстве"=времени для неподвижной (в данной системе координат) газообразной среды имеем
$$
M=\int d^3x\,\sqrt{|g|}(\rho+3p),
$$
где $\rho$ "--- плотность энергии, а $p$ "--- давление.

Все это верно, конечно, только в том случае, если гиперповерхность $x^0=\const$ является гладким многообразием, гладко вложенным в пространство"=время и топологически изоморфным~$\R^{d-1}$. Как мы увидим ниже, это условие не выполняется в случае черной дыры, где эта поверхность имеет полость, из-за чего нельзя воспользоваться теоремой Гаусса. Черная дыра может быть даже полностью вакуумным решением, которое, тем не менее, ведет себя как объект конечной массы.


%\bigbreak
%\bigbreak
%\centerline{\bf Семинар~\thesection}
%\medskip
%\centerline{\bf Задачи о гравитационном поле в линейном приближении}
%\medskip
%Мы рассмотрим несколько задач о гравитационном поле в линейном приближении:
%\begin{enumerate}
%\item Равномерно движущиеся вдоль себя стержни и плоскости.
%\item Гравитационное поле луча света.
%\item Гравитационное поле частицы, движущейся с постоянной скоростью.
%\end{enumerate}
