% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Движение частицы в метрике Шварцшильда}{Dvizhenie chasticy v metrike Schwarzschilda}}
\setcounter{page}1

В прошлый раз мы обсуждали радиальное движение частицы в метрике Шварцшильда. Сегодня рассмотрим общий случай движения частицы по орбите и детально разберем процесс разделения переменных в уравнении Гамильтона"--~Якоби. В следующей лекции мы используем это, чтобы изучить два эффекта в слабом поле, связанные с экспериментальной проверкой ОТО: вращение перигелия орбиты частицы и отклонение света гравитационным полем (гравитационное линзирование).

В силу сферической симметрии системы и закона сохранения момента импульса частица будет двигаться в одной плоскости, содержащей большие круги сфер $r=\const$. Удобно выбрать эту плоскость перпендикулярной оси $z=x^3$, то есть принять $\vartheta=\pi/2$.%
%
\footnote{Несложно разделить переменные и в общем случае, но это не изменит ответов, несколько усложнив технику.}
%
Уравнение Гамильтона"--~Якоби (\ref{HJ-em-particle}) принимает вид
\eq$$
\left(1-{r_g\over r}\right)^{-1}\left(\d S\over\d t\right)^2-\left(1-{r_g\over r}\right)\left(\d S\over\d r\right)^2
-{1\over r^2}\left(\d S\over\d\varphi\right)^2-m^2=0.
\label{HJ-Schw}
$$
Мы видим, что переменные $t,\varphi$ не входят явно в уравнение. Поэтому мы можем положить соответствующие производные постоянными:
\eq$$
{\d S\over\d t}=-E,
\qquad
{\d S\over\d\varphi}=J.
\label{EM-Schw-def}
$$
Смысл этих констант достаточно очевиден: $E$ представляет собой энергию частицы, а $J$ "--- проекцию момента импульса на ось~$z$ (по модулю совпадающую с полным моментом). Отсюда имеем
\eq$$
S(E,J,t,r,\varphi)=-Et+J\varphi+S_r(E,J,r).
\label{S-Schw-decomp}
$$
Подставляя это в уравнение (\ref{HJ-Schw}) и интегрируя по $r$, получаем
\eq$$
\Aligned{
S_r(E,J,r)
&=\pm\int dr\,\left(1-{r_g\over r}\right)^{-1}\sqrt{F(E,J,r)},
\\
F(E,J,r)
&=E^2-U^2(J,r)=E^2-\left(m^2+{J^2\over r^2}\right)\left(1-{r_g\over r}\right).
}\label{Sr-Schw-fin}
$$
Величина $U(J,r)$ играет роль потенциальной энергии. Мы имеем решение, зависящее от двух параметров, для системы с двумя степенями свободы. Мировая линия частицы определяется уравнениями
\eq$$
{\d S\over\d E}=-t_0,
\qquad
{\d S\over\d J}=\varphi_0,
\label{Jeqs-Schw}
$$
где новые константы $t_0,\varphi_0$ имеют очевидный смысл начальных времени и угла. Имеем
\Align$$
t
&=t_0\pm E\int^r_{r_0}{dr\over\left(1-{r_g\over r}\right)\sqrt{F(E,J,r)}},
\label{t-r-rel}
\\
\varphi
&=\varphi_0\pm J\int^r_{r_0}{dr\over r^2\sqrt{F(E,J,r)}}.
\label{varphi-r-rel}
$$
Нетрудно также вычислить собственное время частицы
\eq$$
\tau=\tau_0\pm m\int^r_{r_0}{dr\over\sqrt{F(E,J,r)}}.
\label{tau-r-rel}
$$
Обратим внимание, что собственное время свободно падающей частицы по"=прежнему связано с координатным соотношением (\ref{ds-dt-fall-rel-Schw}).

Мы здесь немного злоупотребили обозначениями, обозначив одной буквой предел и переменную интегрирования, но, я думаю, это никого не введет в заблуждение. Физикам такое простительно.

Зададимся вопросом: в каких пределах может меняться радиальная координата~$r$ при движении частицы? Это определяется условием неотрицательности выражения под корнем:
\eq$$
F(E,J,r)\ge0,
\qquad
r>0.
\label{FEJr-nonneg}
$$

Обратим внимание, что уравнение Гамильтона"--~Якоби можно решать как в области $r>r_g$, так и в области $r<r_g$, причем, если не касаться времени $t$, решения переходят из одной области в другую непрерывно. Разрыв в определении времени $t$, выражающийся логарифмической расходимостью интеграла в уравнении~(\ref{t-r-rel}), означает, что на самом деле мы имеем дело с двумя различными картами, не переходящими друг в друга непрерывно. Однако частица, движущаяся в метрике Шварцшильда, «не знает» об этом: время $t$ ее совершенно не касается. Правильный способ перехода между областями связан с решением уравнения Гамильтона"--~Якоби в координатах Эддингтона"--~Финкельштейна, но решения этого уравнения просто пересчитываются в решения уравнения~(\ref{HJ-Schw}) (см.\ задачу).

Для начала перечислим возможные виды движения тела в центральном поле:
\begin{enumerate}
\item Инфинитное движение. Частица прилетает из бесконечности, приближается к сфере Шварцшильда до некоторого минимального значения радиальной координаты $r=R_\text{min}>r_g$, а затем снова улетает на бесконечность.
\item «Инфинитно"=сингулярное»%
%
\footnote{В кавычки взяты названия, не являющиеся общепринятыми терминами.}
%
движение. Частица прилетает из бесконечности, пересекает горизонт событий $\cH^+$ и достигает сингулярности черной дыры~$\cS^+$ (падение на черную дыру). Либо наоборот, испускается сингулярностью белой дыры~$\cS^-$, пересекает горизонт событий~$\cH^-$ и уходит на бесконечность (испускание частицы белой дырой). Эти два движения переходят друг в друга при обращении времени.
\item Финитное (орбитальное) движение. Частица совершает орбитальное движение приближаясь к сфере Шварцшильда и удаляясь от нее, оставаясь все время в некоторых пределах $R_\text{min}\le r\le R_\text{max}$, причем $R_\text{min}>r_g$.
\item «Финитно"=сингулярное» движение. Частица испускается белой дырой, последовательно пересекает горизонты событий $\cH^-$ и~$\cH^+$ и поглощается черной дырой. При этом ее радиальная координата не превышает некоторого значения~$r_\text{max}\ge r_g$.
\end{enumerate}
Точки $R_\text{max},R_\text{min},r_\text{max}$ являются \emph{точками поворота}. Это значит, что в этих точках (и только в этих точках!) может изменяться направление радиального движения частицы: «к центру» на «от центра» и наоборот. Точки поворота являются решениями уравнения
\eq$$
F(E,J,r_*)\equiv E^2-U^2(J,r_*)=0.
\label{FEJr-turningpoints}
$$

Сначала рассмотрим случай $J=0$. В этом случае уравнение (\ref{FEJr-turningpoints}) линейно по $r_*^{-1}$ и легко решается. Неравенство (\ref{FEJr-nonneg}) дает
\eq$$
{r_g\over r}\ge-{E^2-m^2\over m^2}.
\label{rcond-J=0}
$$
Мы видим, что если $E\ge m$ неравенство выполняется для любых допустимых значений $r$, точек поворота нет и движение частицы «инфинитно"=сингулярное». В случае $E<m$ частица не может удалиться на расстояние больше $r_\text{max}=r_gm^2/(m^2-E^2)$. Она испускается из сингулярности белой дыры~$\cS^-$, затем, достигнув точки $r=r_\text{max}$, \emph{разворачивается} (ее радиальная скорость в этот момент равна нулю) и снова падает на «центр», точнее, на сингулярность~$\cS^+$. Это "--- «финитно"=сингулярное» движение. Графически это изображено на рис.~\ref{U2-J=0-graph}. На графиках приведена зависимость $U^2$ от~$r^{-1}$ и уровни~$E^2$. Сплошная часть линий уровня $E^2$ показывает области, где происходит движение частицы, а пунктирная часть "--- запрещенные области.

\begin{figure}[t]
\centering
\begin{subfigure}[b]{.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[->] (0,0) -- (1,0) node [anchor=north east] {$r_g^{-1}$} -- (1.4,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[->] (0,-.2) -- (0,1) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.4) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-] (1,-.2) -- (1,1.4);
\draw[-,line width=1pt] (0,1) -- (1.2,-.2);
\draw[-] (0,1.2) node [anchor=east] {$E^2$} -- (1.4,1.2);
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[b]{.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[->] (0,0) -- (1,0) node [anchor=north east] {$r_g^{-1}$} -- (1.4,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[->] (0,-.2) -- (0,1) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.4) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-] (1,-.2) -- (1,1.4);
\draw[-,line width=1pt] (0,1) -- (1.2,-.2);
\draw[dotted] (0,.7) node [anchor=east] {$E^2$} -- (.3,.7); \draw[-] (.3,.7) -- (1.4,.7);
\draw[dashed] (.3,.7) -- (.3,0) node [anchor=north] {$r_\text{max}^{-1}$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\caption{График $U^2(0,r)$ в зависимости от $r^{-1}$. (a) $E>m$ и $F>0$ для всех $r$; (b) $E<m$ и $F\ge0$ для $r\le r_\text{max}$.}
\label{U2-J=0-graph}
\end{figure}

Когда $J\ne0$, ситуация оказывается сложнее. Уравнение (\ref{FEJr-turningpoints}) является уравнением третьей степени. Удобно рассмотреть его как уравнение для переменной $\xi=r^{-1}$:
\eq$$
r_gJ^2\xi_*^3-J^2\xi_*^2+m^2r_g\xi_*+E^2-m^2=0.
\label{F=0-xi-eq}
$$
Старший коэффициент положителен, так что при достаточно больших значениях $\xi$ функция $F(E,J,\xi^{-1})$ растет, а, соответственно $U^2(J,\xi^{-1})$ убывает. Заметим, что график функции $U^2(J,\xi^{-1})$ (Рис.~\ref{U2-J=0-graph}--\ref{U2-J>2mrg-graph}) обязательно проходит через две точки $(0,m^2)$ и $(r_g^{-1},0)$. Далее ситуация зависит от количества вещественных положительных корней уравнения~(\ref{F=0-xi-eq}). Нетрудно (хотя и утомительно) найти экстремумы функции $F(E,J,\xi^{-1})$:
\eq$$
\Gathered{
r_\pm^{-1}=\xi_\pm={1\over3r_g}\left(1\pm\sqrt{1-{3r_g^2m^2\over J^2}}\right),
\\
F(E,J,r_\pm)=E^2-E_\pm^2,
\qquad
E_\pm^2={2\over3}m^2+{2\over27}{J^2\over r_g^2}\left(1\pm\left(1-{3r_g^2m^2\over J^2}\right)^{3/2}\right).
}\label{F-extrema}
$$
Здесь имеется два случая.

1. Если $|J|\le\sqrt3mr_g$, полином $F(E,J,\xi^{-1})$ монотонен и имеет единственный вещественный корень $r_\text{max}^{-1}$, который положителен при $E<m$ и отрицателен при $E>m$. Действительно, для корней уравнения (\ref{F=0-xi-eq}) $\xi_i$ имеем $\xi_1\xi_2\xi_3={m^2-E^2\over r_gJ^2}$. Поскольку два корня, например $\xi_2,\xi_3$ комплексно сопряжены друг другу, их произведение положительно. Значит, знак $\xi_1$ (и, соответственно, $r_1$) совпадает со знаком $m^2-E^2$. Ситуация вполне аналогична ситуации при $J=0$ за исключением того, что $r_\text{max}^{-1}$ теперь является решением уравнения третьей степени (см.\ рис.~\ref{U2-J<sqrt3mrg-graph}).

\begin{figure}[t]
\centering
\begin{subfigure}[b]{.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[->] (0,0) -- (1,0) node [anchor=north east] {$r_g^{-1}$} -- (1.4,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[->] (0,-.2) -- (0,1) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.4) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-] (1,-.2) -- (1,1.4);
\draw[-,line width=1pt,domain=0:1.08] plot (\x,{(1+\x*\x)*(1-\x)});
\draw[-] (0,1.2) node [anchor=east] {$E^2$} -- (1.4,1.2);
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[b]{.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[->] (0,0) -- (1,0) node [anchor=north east] {$r_g^{-1}$} -- (1.4,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[->] (0,-.2) -- (0,1) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.4) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-] (1,-.2) -- (1,1.4);
\draw[-,line width=1pt,domain=0:1.08] plot (\x,{(1+\x*\x)*(1-\x)});
\draw[dotted] (0,.7) node [anchor=east] {$E^2$} -- (.394,.7); \draw[-] (.394,.7) -- (1.4,.7);
\draw[dashed] (.394,.7) -- (.394,0) node [anchor=north] {$r_\text{max}^{-1}$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\caption{График $U^2(J,r)$ в зависимости от $r^{-1}$ в случае $|J|<\sqrt3mr_g$. (a) $E>m$ и $F>0$ для всех $r$; (b) $E<m$ и $F\ge0$ для $r\le r_\text{max}$.}
\label{U2-J<sqrt3mrg-graph}
\end{figure}

2. Если же момент импульса частицы достаточно велик, $|J|>\sqrt3mr_g$, имеется два положительных экстремума $r_g^{-1}>\xi_+>\xi_->0$, причем экстремальные значения «потенциальной энергии» удовлетворяют условию $E_+>E_->0$. Следовательно, уравнение (\ref{F=0-xi-eq}) может иметь от одного до трех вещественных корней, и из этих корней не более чем один корень может быть отрицательным. Мы видим, что при $E>E_+$ имеется ровно один вещественный корень $\xi_1$. Этот корень положителен при $E^2<m^2$. Поэтому поведение системы зависит от того, что больше, $m$ или~$E_+$. Нетрудно проверить, что
$$
\Matrix{
E_+<m,&\text{если $|J|<2mr_g$;}
\\
E_+>m,&\text{если $|J|>2mr_g$.}
}
$$
При $E>E_+,m$ единственный корень отрицателен и частица совершает «инфинитно"=сингулярное» движение. При $E<E_-$ единственный корень $\xi_1>0$ дает $r_\text{max}=\xi_1^{-1}$ и движение является «финитно"=сингулярным». В области же $E_-<E<\max(E_+,m)$ случай~2 распадается на два подслучая.

\begin{figure}[t]
\centering
\begin{subfigure}[b]{.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[->] (0,0) --  (1.5,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[-] (0,-.2) -- (0,.1);
\draw[dashed] (0,.1) -- (0,.4);
\draw[->] (0,.4) -- (0,1.25) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.6) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-,line width=1pt,domain=0:.7] plot ({2*\x},{5*((1+3.5*\x*\x)*(1-\x)-.75)});
\draw[-] (0,1.4) node [anchor=east] {$E^2$} -- (1.5,1.4);
\draw[dashed] (0,.94) node [anchor=base east] {$E_+^2$} -- (.92,.94);
\draw[dashed] (.92,0) node [anchor=north] {$\xi_+$} -- (.92,.94);
\draw[dashed] (0,.81) node [anchor=east] {$E_-^2$} -- (.41,.81);
\draw[dashed] (.41,0) node [anchor=north] {$\xi_-$} -- (.41,.81);
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[b]{.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[->] (0,0) -- (1.5,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[-] (0,-.2) -- (0,.1);
\draw[dashed] (0,.1) -- (0,.4);
\draw[->] (0,.4) -- (0,1.25) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.6) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-,line width=1pt,domain=0:.7] plot ({2*\x},{5*((1+3.5*\x*\x)*(1-\x)-.75)});
\draw[dotted] (0,1) node [anchor=east] {$E^2$} -- (.13,1); \draw[-] (.13,1) -- (1.5,1);
\draw[dashed] (.13,1) -- (.13,0) node [anchor=north west] {$R_\text{max}^{-1}$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
%\newline
\begin{subfigure}[b]{.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[->] (0,0) -- (1.5,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[-] (0,-.2) -- (0,.1);
\draw[dashed] (0,.1) -- (0,.4);
\draw[->] (0,.4) -- (0,1.25) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.4) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-,line width=1pt,domain=0:.7] plot (2*\x,{5*((1+3.5*\x*\x)*(1-\x)-.75)});
\draw[dotted] (0,.9) node [anchor=east] {$E^2$} -- (.21,.9); \draw[-] (.21,.9) -- (.72,.9); \draw[dotted] (.72,.9) -- (1.08,.9);
\draw[-] (1.08,.9) -- (1.5,.9);
\draw[dashed] (.21,.9) -- (.21,0) node [anchor=north] {\ \ $R_\text{max}^{-1}$};
\draw[dashed] (.72,.9) -- (.72,0) node [anchor=north] {$R_\text{min}^{-1}$};
\draw[dashed] (1.08,.9) -- (1.08,0) node [anchor=north] {$r_\text{max}^{-1}$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[b]{.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[->] (0,0) -- (1.5,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[-] (0,-.2) -- (0,.1);
\draw[dashed] (0,.1) -- (0,.4);
\draw[->] (0,.4) -- (0,1.25) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.4) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-,line width=1pt,domain=0:.7] plot (2*\x,{5*((1+3.5*\x*\x)*(1-\x)-.75)});
\draw[dotted] (0,.7) node [anchor=east] {$E^2$} -- (1.24,.7); \draw[-] (1.24,.7) -- (1.5,.7);
\draw[dashed] (1.24,.7) -- (1.24,0) node [anchor=north] {$r_\text{max}^{-1}$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\caption{График $U^2(J,r)$ в зависимости от $r^{-1}$ в случае $\sqrt3mr_g<|J|<2mr_g$. (a) $E>m$; (b) $E_+<E<m$; (c) $E_-<E<E_+$; (d) $E<E_-$.}
\label{U2-J>sqrt3mrg-graph}
\end{figure}

\begin{figure}[t]
\centering
\begin{subfigure}[b]{.4\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[->] (0,0) --  (1.7,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[-] (0,-.2) -- (0,.1);
\draw[dashed] (0,.1) -- (0,.4);
\draw[->] (0,.4) -- (0,1) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.6) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-,line width=1pt,domain=0:.75] plot ({2*\x},{5*((1+4.5*\x*\x)*(1-\x)-.8)});
\draw[-] (0,1.45) node [anchor=east] {$E^2$} -- (1.7,1.45);
\draw[dashed] (0,1.32) node [anchor=east] {$E_+^2$} -- (1.05,1.32);
\draw[dashed] (1.05,0) node [anchor=north] {$\xi_+$} -- (1.05,1.32);
\draw[dashed] (0,.68) node [anchor=east] {$E_-^2$} -- (.28,.68);
\draw[dashed] (.28,0) node [anchor=north] {$\xi_-$} -- (.28,.68);
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[b]{.4\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[->] (0,0) --  (1.7,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[-] (0,-.2) -- (0,.1);
\draw[dashed] (0,.1) -- (0,.4);
\draw[->] (0,.4) -- (0,1) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.6) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-,line width=1pt,domain=0:.75] plot ({2*\x},{5*((1+4.5*\x*\x)*(1-\x)-.8)});
\draw[-] (0,1.2) node [anchor=east] {$E^2$} -- (.84,1.2); \draw[dotted] (.84,1.2) -- (1.23,1.2); \draw[-] (1.23,1.2) -- (1.6,1.2);
\draw[dashed] (.84,1.2) -- (.84,0) node [anchor=north] {$R_\text{min}^{-1}$};
\draw[dashed] (1.23,1.2) -- (1.23,0) node [anchor=north] {$r_\text{max}^{-1}$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[b]{.4\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[->] (0,0) --  (1.7,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[-] (0,-.2) -- (0,.1);
\draw[dashed] (0,.1) -- (0,.4);
\draw[->] (0,.4) -- (0,1) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.5) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-,line width=1pt,domain=0:.75] plot ({2*\x},{5*((1+4.5*\x*\x)*(1-\x)-.8)});
\draw[dotted] (0,.8) node [anchor=east] {$E^2$} -- (.1,.8); \draw[-] (.1,.8) -- (.5,.8); \draw[dotted] (.5,.8) -- (1.4,.8);
\draw[-] (1.4,.8) -- (1.7,.8);
\draw[dashed] (.1,.8) -- (.1,0) node [anchor=north] {$\quad R_\text{max}^{-1}$};
\draw[dashed] (.5,.8) -- (.5,0) node [anchor=north] {$R_\text{min}^{-1}$};
\draw[dashed] (1.4,.8) -- (1.4,0) node [anchor=north] {$r_\text{max}^{-1}$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[b]{.4\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[->] (0,0) --  (1.7,0) node [anchor=north] {$r^{-1}$};
\draw[-] (0,-.2) -- (0,.1);
\draw[dashed] (0,.1) -- (0,.4);
\draw[->] (0,.4) -- (0,1) node [anchor=east] {$m^2$} -- (0,1.5) node [anchor=east] {$U^2$};
\draw[-,line width=1pt,domain=0:.75] plot ({2*\x},{5*((1+4.5*\x*\x)*(1-\x)-.8)});
\draw[dotted] (0,.6) node [anchor=east] {$E^2$} -- (1.46,.6); \draw[-] (1.46,.6) -- (1.7,.6);
\draw[dashed] (1.46,.6) -- (1.46,0) node [anchor=north] {$r_\text{max}^{-1}$};
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{subfigure}
\caption{График $U^2(J,r)$ в зависимости от $r^{-1}$ в случае $|J|>2mr_g$. (a) $E>E_+$; (b) $m<E<E_+$; (c) $E_-<E<m$; (d) $E<E_-$.}
\label{U2-J>2mrg-graph}
\end{figure}

2a. При $\sqrt3mr_g<J<2mr_g$ (см.\ рис.~\ref{U2-J>sqrt3mrg-graph}) в диапазоне $E_+<E<m$ система ведет себя как в случае~1: единственный корень $\xi_1$ положителен и соответствующее значение $R_\text{max}=\xi_1^{-1}$ дает максимальное удаление частицы от сферы Шварцшильда. Частица совершает «финитно"=сингулярное» движение.

В случае же $E_-<E<E_+$ имеется три положительных корня. Обозначим их $R_\text{max}>R_\text{min}>r_\text{max}$ и две области неотрицательных значений $F(E,J,r)$: $R_\text{min}\le r\le R_\text{max}$ и $r\le r_\text{max}$. Первая область отвечает орбитальному (финитному) движению, вторая "--- «финитно"=сингулярному».

2б. При $J>2mr_g$ (см.\ рис.~\ref{U2-J>2mrg-graph}) в диапазоне $E_+>E>m$ имеется три корня, но один из них отрицательный, а два других "--- положительны. Этим двум положительным корням отвечают две точки $R_\text{min},r_\text{max}$, такие что $R_\text{min}>\xi_-^{-1}>r_\text{max}>\xi_+^{-1}>{3\over2}r_g$. В области $r>R_\text{min}$ частица совершает инфинитное движение, а в области $r<r_\text{max}$ "--- «финитно"=сингулярное». Между этими двумя областями имеется потенциальный барьер. Формально"=математически сюда же относится и случай $J=2mr_g$.

Изучим орбитальное движение тела, которое имеет место в случае~2 при $E_-\le E\le m,E_+$. В это случае тело вращается вокруг источника гравитации, периодически приближаясь к источнику и достигая точки \emph{перицентра} $r=R_\text{min}$ и затем удаляясь и достигая точки \emph{апоцентра}%
\footnote{Если центральным телом является Солнце, то говорят о \emph{перигелии} и \emph{афелии} (или \emph{апогелии}) соответственно.}
%
$r=R_\text{max}$. Уравнения (\ref{t-r-rel}), (\ref{varphi-r-rel}) дают нам время $T_\text{пер}$ и угол $\Phi_\text{пер}$, характеризующие движение тела по орбите:
\Align$$
T_\text{пер}
&=2E\int^{R_\text{max}}_{R_\text{min}}{dr\over\left(1-{r_g\over r}\right)\sqrt{F(E,J,r)}},
\label{Tper-def}
\\
\Phi_\text{пер}
&=2J\int^{R_\text{max}}_{R_\text{min}}{dr\over r^2\sqrt{F(E,J,r)}}.
\label{Phiper-def}
$$
Величина $T_\text{пер}$ дает время, за которое тело, находящееся в начальный момент времени в перицентре достигает апоцентра и вновь приближается, достигая новой точки перицентра. Величина $\Phi_\text{пер}$ дает угол, на который следующая точка перицентра отличается от предыдущей. В ньютоновском пределе $\Phi_\text{пер}=2\pi$, то есть следующий перицентр достигается ровно через один оборот вокруг источника гравитации. В дальнейшем нас будет интересовать величина $\Delta\Phi_\text{пер}=\Phi_\text{пер}-2\pi$, характеризующая смещение перицентра за один оборот. Важно отметить, что величина $T_\text{пер}$ является периодом \emph{радиального} движения тела, а \emph{не} периодом обращения (\emph{сидерическим} периодом), то есть периодом, за который угол меняется на $2\pi$. Сидерический период, строго говоря, не является периодом какого бы то ни было движения. Он зависит от того, с какой начальной точки орбиты мы его отсчитываем. Хорошо определен только \emph{средний} сидерический период, основанный на «многолетних» измерениях:
\eq$$
\overline{\strut T_{\text{сид}}}={2\pi\over\Phi_\text{пер}}T_\text{пер}.
\label{Tsid-def}
$$

В пределе $E\to E_+$ как период $T_\text{пер}$, так и угол $\Phi_\text{пер}$ стремятся к бесконечности. Дело в том, что частица с $E=E_+$ бесконечно долго приближается снаружи к точке $r_+=r_\text{max}=R_\text{min}$ и отскока не происходит. Точно также, частица с энергией $E=E_+$, испущенная из белой дыры, бесконечно долго приближается к этой точке и никогда не падает на черную дыру.




\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]
\item Второй закон Кеплера утверждает, что угловая скорость частицы в ньютоновском гравитационном поле (и, на самом деле, в любом статическом центральном потенциальном поле в нерелятивистской механике) обратно пропорциональна квадрату расстояния до центрального тела. Найдите аналог второго закона Кеплера для тела, движущегося в метрике Шварцшильда.
%\item Возьмите интегралы в (\ref{t-r-rel}), (\ref{varphi-r-rel}) в случае $r_g=0$ и убедитесь, что уравнения описывают прямолинейное движение частицы в плоском пространстве"=времени.
\item Напишите и решите уравнение Гамильтона"--~Якоби в координатах Эддингтона"--~Финкельштейна~(\ref{ds2-EF-future-Schw}). Найдите связь с решением (\ref{t-r-rel}),~(\ref{varphi-r-rel}).
\item Выведите (\ref{tau-r-rel}) и покажите, что в случае свободного падения на черную дыру частица достигает горизонта $\cH^+$, а затем и сингулярности за конечное собственное время и при ненулевых значениях момента импульса.
\item Найдите все устойчивые круговые орбиты в метрике Шварцшильда, их энергии, моменты импульса и сидерические периоды в зависимости от радиуса орбиты. Найдите наименьший возможный радиус устойчивой орбиты.

\starenumi
\item Изучите и опишите качественно движение частиц с энергией $E=E_+$ в разных режимах. Найдите асимптотики этих решений, когда частица приближается неустойчивой орбите $r=r_+=\xi_+^{-1}$. Найдите параметры этих орбит. Найдите наименьший возможный радиус неустойчивой орбиты. Как будет вести себя частица с энергией чуть меньше или чуть больше~$E_+$? Оцените время, которое частица будет проводить в окрестности неустойчивой орбиты и количество оборотов, которое она за это время сделает.

\end{asparaenum}


\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\nopagebreak
\medskip
\centerline{\bf Падение пыли на черную дыру}
\nopagebreak
\medskip
Рассмотрим падение тонкого (малой толщины $\sim l$) сферического слоя пылевидной материи малой массы $m$ c полной энергией $\delta E=\varepsilon m$ на черную дыру массы $M\gg\delta E,m$. Ее движение описывается функцией $r=r(t)$. Мы будем все же предполагать слой не слишком тонким, чтобы
\eq$$
G\delta E\ll l.
\label{dust-weakinteracting}
$$
При этом условии мы можем пренебречь изменением траекторий частиц под действием гравитационного поля самого слоя. Кроме того, мы будем игнорировать возможные неустойчивости, которые могли бы привести к нарушению сферичности слоя.

Снаружи ($r>r(t)$) и внутри ($r<r(t)$) пылевидной оболочки будем искать решение в виде метрики Шварцшильда с гравитационным радиусом $r_{g+}$ снаружи и $r_{g-}$ внутри. У нас нет гарантии, что эти две метрики будут сшиваться на слое в одной и той же калибровке, так что мы будем записывать метрику в слегка более общем виде, полагая, что $k+h=F_\pm(t)$:
\eq$$
ds^2=\e^{2F_\sigma(t)-2h(t,r)}\,dt^2-e^{2h(t,r)}\,dr^2-r^2(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2),
\label{dust-Schw}
$$
где
\eq$$
e^{-2h(t,r)}=1-{r_{g\sigma}\over r},
\qquad
\sigma=\sign(r-r(t))
\label{hrt-def}
$$
Ниже мы найдем малые скачки гравитационного радиуса $\delta r_g=r_{g+}-r_{g-}$ и калибровочной функции $\delta F(t)=F_+(t)-F_-(t)$ на слое.

Изучим сначала движение пылевидной сферы и найдем ее тензор энергии"=импульса. Будем считать, что сфера настолько легкая, что при вычислении закона ее падения скачками $F$ и~$r_g$ можно пренебречь. Движение сферы определяется уравнением Гамильтона"--~Якоби. Напишем его для собственного времени $\tau(t,r)$ пылинок:
\eq$$
\e^{2h(r)-2F(t)}\tau_{,t}^2-\e^{-2h(r)}\tau_{,r}^2=1.
\label{dust-HJeq}
$$
Решение уравнения ищем в виде
\eq$$
\tau(t,r,\varepsilon)=\varepsilon f(t)+\tilde\tau(r,\varepsilon),
\label{dust-tausep}
$$
где $f'(t)=\e^{F(t)}$. Подставляя в (\ref{dust-HJeq}), находим
\eq$$
\tilde\tau(r,\varepsilon)=\int dr\,e^{2h}\sqrt{\varepsilon^2-\e^{-2h}}.
\label{dust-ttau-fin}
$$
Мы выбрали знак «$+$» перед корнем, так как это отвечает падающим частицам (это отвечает знаку «$-$» в~(\ref{Sr-Schw-fin})). Без ограничения общности мы будем полагать $t_0=0$. Тогда легко находим
\eq$$
d\tau=\tau_{,t}\,dt+\tau_{,r}\,dr=\e^F\varepsilon\,dt+\e^{2h}\sqrt{\varepsilon^2-\e^{-2h}}\,dr.
\label{dust-dtau}
$$
Нетрудно подобрать ортогональное направление с единичной нормой:
\eq$$
dl=\e^F\sqrt{\varepsilon^2-\e^{-2h}}\,dt+\e^{2h}\varepsilon\,dr.
\label{dust-l-def}
$$
В этом ортогональном направлении плотность дается простой дельта"=функцией:
\eq$$
\rho={m\over4\pi r^2}\delta(l),
\label{dust-rhodef}
$$
где $l$ "--- отклонение от положения сферы в данный момент времени $r(t)$ вдоль направления, задаваемого $dl$. Полагая $dt=0$, выражаем $dr$ через $dl$:
$$
dr=\e^{-2h}\varepsilon^{-1}\,dl,
$$
что есть ни что иное как лоренцевское сжатие с учетом гравитации. Получаем
\eq$$
\rho(t,r)={m\over4\pi r^2\varepsilon\e^{2h}}\delta(r-r(t)).
\label{dust-rho-fin}
$$
Тензор энергии"=импульса равен $T^\mu_\nu=\rho u^\mu u_\nu$, где $u_\mu=\tau_{,\mu}$. Отсюда получаем уравнения Эйнштейна:
\eq$$
\Aligned{
R^t_t
&=(-\ddot h+\dot k\dot h-\dot h^2)\e^{-2k}+\left(k''+k^{\prime2}-k'h'+{2k'\over r}\right)\e^{-2h}
={2G\,\delta E\over r^2}\left(1-{\e^{-2h}\over2\varepsilon^2}\right)\delta(r-r(t)),
\\
R^r_r
&=(-\ddot h+\dot k\dot h-\dot h^2)\e^{-2k}+\left(k''+k^{\prime2}-k'h'-{2h'\over r}\right)\e^{-2h}
=-{2G\,\delta E\over r^2}\left(1-{\e^{-2h}\over2\varepsilon^2}\right)\delta(r-r(t)),
\\
R^t_r
&={2\e^{-2k}\dot h\over r}={2G\,\delta E\over r^2}\e^{2h}\sqrt{1-\varepsilon^{-2}\e^{-2h}}\,\delta(r-r(t)),
\\
R^\vartheta_\vartheta
&=R^\varphi_\varphi=-{1+(rh'-rk'-1)\e^{-2h}\over r^2}=-{G\,\delta E\over\varepsilon^2\e^{2h}r^2}\,\delta(r-r(t)),
}\label{dust-Eeq}
$$
где мы использовали равенство $\delta E=\varepsilon m$. Уравнения для $R^t_t-R^r_r$ и $R^\vartheta_\vartheta$ немедленно дают
\eq$$
\Aligned{
k'+h'
&={2G\,\delta E\over r}\left(e^{2h}-{1\over2\varepsilon^2}\right)\delta(r-r(t)),
\\
k'-h'
&=-{G\,\delta E\over\varepsilon^2r}\,\delta(r-r(t))+{\e^{2h}-1\over r}.
}\label{dust-twoeqs}
$$
Отсюда для скачков получаем
\eq$$
\delta k=G\delta E\left({1\over r-r_g}-{1\over\varepsilon^2r}\right),
\qquad
\delta h={G\,\delta E\over r-r_g}.
\label{dust-deltakh}
$$
Так как
$$
k=F(t)+{1\over2}\log\left(1-{r_g\over r}\right),
\qquad
h=-{1\over2}\log\left(1-{r_g\over r}\right),
$$
и, следовательно,
$$
\delta k=\delta F-{\delta r_g\over2(r-r_g)},
\qquad
\delta h={\delta r_g\over2(r-r_g)},
$$
получаем
\eq$$
\delta r_g=2G\,\delta E,
\qquad
\delta F(t)=\delta k(r(t))+\delta h(r(t))=G\,\delta E\left({2\over r(t)-r_g}-{1\over\varepsilon^2r(t)}\right).
\label{dust-fin}
$$
Иными словами, масса черной дыры увеличивается ровно на энергию падающей пылевидной сферы, а скорость течения времени испытывает скачок $\delta k$ на поверхности разрыва. В нерелятивистском пределе $r_g\to0$, $\varepsilon\to1$ этот скачок стремиться к нулю. Это соответствует тому хорошо известному факту, что потенциал поля не испытывает скачка на материальной поверхности конечной поверхностной плотности.

Заметим, что в силу условия (\ref{dust-weakinteracting}) в уравнении для $R^t_t+R^r_r$ мы можем пренебречь членами, квадратичными по дельта"=функции, входящими $\dot k\dot h,\dot h^2,k^{\prime2},k'h'$.

Если последовательно падает, не пересекаясь, несколько пылевых сфер, то они ничего друг о друге «не знают», поэтому решение можно обобщить на пылевой шаровой слой или шар, сжимающийся таким образом, чтобы частицы двигались по непересекающимся геодезическим.
