% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Бозонизация модели Тирринга}{Bozonizacia modeli Tirringa}}
\label{lec-MTbosonization}
\setcounter{page}1

Рассмотрим {\it массивную модель Тирринга\/} в пространстве Минковского:%
%
\footnote{Множитель $\pi$ перед константой $g$ добавлен, чтобы упростить вид точных ответов.}
%
\eq$$
S^{MT}[\psi,\bpsi]
=\int d^2x\,
\left(\bpsi(i\hat\d-m)\psi-{\pi g\over2}(\bpsi\gamma^\mu\psi)^2\right).
\label{MT}
$$
Здесь $\psi(x)$, $\bpsi(x)$ "--- фермионное поле и дираковски сопряженное ему поле, $\gamma^\mu$ "--- матрицы Дирака, а $\hat\d=\gamma^\mu\d_\mu$. Матрицы Дирака удовлетворяют стандартным соотношениям
$$
\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu},
\qquad
\gamma^{\mu+}=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0.
$$
В двумерном случае гамма"=матрицы можно записать в виде:
\eq$$
\gamma^0=\pMatrix{&-i\\i&},
\qquad
\gamma^1=\pMatrix{&i\\i&},
\qquad
\gamma^3=\gamma^0\gamma^1=\pMatrix{1&\\&-1}.
\label{gamma-matrices}
$$
В модели имеется сохраняющийся ток
\eq$$
j^\mu=\bpsi\gamma^\mu\psi.
\label{MTcurrent}
$$
В случае $m=0$ имеется еще один сохраняющийся ток
\eq$$
j_3^\mu=\bpsi\gamma^3\gamma^\mu\psi
=\epsilon^{\mu\nu}j_\nu.
\label{MT3current}
$$

В прошлый раз мы рассматривали модель синус"=Гордона:
\eq$$
S^{SG}[\phi]
=\int d^2x\,
\left({(\d_\mu\phi)^2\over8\pi}+\mu\cos\beta\phi\right).
\label{SG}
$$
В этой модели имеется топологическое число
\eq$$
q={\beta\over2\pi}(\phi(t,+\infty)-\phi(t,-\infty)),
\label{topnumber}
$$
принимающее целые значения. Его можно записать в виде
\eq$$
q={\beta\over2\pi}\int^\infty_{-\infty} dx\,\d_1\phi(t,x).
$$
Это позволяет найти ток, ответственный за топологический заряд:
\eq$$
j^\mu_{\rm top}=-{\beta\over2\pi}\epsilon^{\mu\nu}\d_\nu\phi.
\label{topcurrent}
$$
Этот ток удовлетворяет уравнению непрерывности $\d_\mu j^\mu_{\rm top}=0$ в силу антисимметрии символа $\epsilon^{\mu\nu}$ и коммутативности производных.

В этой лекции мы убедимся, что массивная модель Тирринга и модель синус"=Гордона эквивалентны~\cite{Coleman,Mandelstam}, причем параметры двух моделей связаны соотношениями
\Align$$
g
&=\beta^{-2}-1,
\label{gbeta}
\\
\mu
&\sim mr_0^{\beta^2-1},
\label{mum}
$$
а тирринговский ток совпадает с топологическим:
\eq$$
j^\mu=j^\mu_{\rm top}.
\label{MT-SG-cur}
$$
Это исключительно важное соответствие, называемое {\it бозонизацией}. Уравнение (\ref{MT-SG-cur}) играет ключевую роль в бозонизации.

Перепишем действие модели Тирринга, используя явный вид гамма"=матриц:
$$
S^{MT}[\psi,\bpsi]
=\int d^2x
(i\psi^+_1(\d_0+\d_1)\psi_1+i\psi^+_2(\d_0-\d_1)\psi_2
+im(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)
-2\pi g\psi^+_1\psi^+_2\psi_2\psi_1).
$$
Подставляя $z=x^1-x^0$, $\bz=x^1+x^0$, получаем
$$
S^{MT}[\psi,\bpsi]
=\int d^2x
(2i\psi^+_1\bd\psi_1-2i\psi^+_2\d\psi_2
+im(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)
-2\pi g\psi^+_1\psi^+_2\psi_2\psi_1).
$$
В этих компонентах тирринговский ток имеет вид:
$$
j^z=-2\psi^+_2\psi_2,
\qquad
j^\bz=2\psi^+_1\psi_1.
$$

Рассмотрим случай $m=0$, который допускает точное решение\cite{Thirring}. Начнем с решения классических уравнений движения
\eq$$
\Aligned{
\bd\psi_1
&=-i\pi g\psi^+_2\psi_2\psi_1,
\\
\d\psi_2
&=i\pi g\psi^+_1\psi_1\psi_2.
}\label{Teqmotion}
$$
Из сохранения тока $j_3^\mu=\epsilon^{\mu\nu}j_\nu$ следует, что ток $j^\mu$ можно представить в виде
\eq$$
j^\mu=-{\beta\over2\pi}\,\d^\mu\tphi.
\label{Ttphi}
$$
Здесь $\tphi$ и $\phi$ связаны между собой соотношением дуальности~(\ref{phidual}), описанным в предыдущей лекции, и удовлетворяют уравнениям движения
$$
\d_\mu\d^\mu\phi=\d_\mu\d^\mu\tphi=0.
$$
Общее решение этих уравнений можно записать в виде
\eq$$
\Aligned{
\phi(x)
&=\varphi(z)+\bvarphi(\bz),
\\
\tphi(x)
&=\varphi(z)-\bvarphi(\bz),
}
$$
где $\varphi(z)$ и $\bvarphi(\bz)$ "--- произвольные функции только $z$ и $\bz$ соответственно. Коэффициент в (\ref{Ttphi}) произволен. Мы выбрали его так, чтобы формально выполнялось соотношение~(\ref{MT-SG-cur}).

Мы видим, что безмассовая модель Тирринга эквивалентна свободному безмассовому бозону. Из соотношения (\ref{Ttphi}) имеем
\eq$$
{\beta\over2\pi}\,\d\varphi=\psi^+_1\psi_1,
\qquad
{\beta\over2\pi}\,\bd\bvarphi=\psi^+_2\psi_2.
\label{Tcureq}
$$
Если продолжать искать классическое решение, следует подставить эти функции в уравнения (\ref{Teqmotion}). Решая последние, находим
\eq$$
\psi_1(z,\bz)=F_1(z)e^{-i{g\beta\over2}\bar\varphi(\bz)},
\qquad
\psi_2(z,\bz)=F_2(\bz)e^{i{g\beta\over2}\varphi(z)}
\label{psibpsi-classical}
$$
с произвольными функциями $F_i$. Подставляя обратно в (\ref{Tcureq}), получаем
\eq$$
{\beta\over2\pi}\d\varphi(z)=F_1(z)F_1^*(z),
\qquad
{\beta\over2\pi}\bd\bar\varphi(\bz)=F_2(\bz)F_2^*(\bz),
\label{Tcur-classical}
$$
где звездочка означает комплексное сопряжение функции в предположении вещественности аргумента. Остается проинтегрировать эти уравнения и подставить результат в (\ref{psibpsi-classical}). В результате поля $\psi_i$ выражаются через две функции $F_i$ и две константы интегрирования.

Перейдем к квантовому случаю. Давайте искать решение уравнений (\ref{Tcureq}) в виде
\eq$$
\psi_i(x)=\eta_i\sqrt{N_i\over2\pi}
e^{i\alpha_i\varphi(z)+i\beta_i\bvarphi(\bz)},
\qquad
\psi^+_i(x)=\eta_i^{-1}\sqrt{N_i\over2\pi}
e^{-i\alpha_i\varphi(z)-i\beta_i\bvarphi(\bz)},
\label{psibpsiansatz}
$$
где $\eta_i$ "--- алгебраические множители, необходимые, чтобы обеспечить фермионное поведение полей~$\psi_i$. Оказывается, что решения можно найти, если положить
\eq$$
\eta_1\eta_2=-\eta_2\eta_1.
\label{algfactors}
$$
Прежде всего, потребуем, чтобы поля $\psi_i(x)$ вели себя как фермионы. Рассмотрим произведение
\eq$$
\psi_i(x')\psi_j(x)
=\eta_i\eta_j{\sqrt{N_iN_j}\over2\pi}
(z'-z)^{\alpha_i\alpha_j}
(\bz'-\bz)^{\beta_i\beta_j}
e^{i\alpha_i\varphi(z')+i\beta_i\bvarphi(\bz')
+i\alpha_j\varphi(z)+i\beta_j\bvarphi(\bz)}.
\label{psipsi}
$$
Это выражение хорошо продолжается в эвклидову область. Из требования антикоммутативности легко получить, что
\eq$$
\alpha_i^2-\beta_i^2\in2\Z+1,
\qquad
\alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2\in2\Z.
\label{fermion-limitation}
$$
Из (\ref{psipsi}) видно, что произведения вроде $\psi^+_1\psi_1$ плохо определены. Давайте {\it определим\/} эти произведения следующим образом. Рассмотрим другое произведение:
\eq$$
\psi^+_1(x')\psi_1(x)
={N_1\over2\pi}(z'-z)^{-\alpha_1^2}
\left(\bz'-\bz\right)^{-\beta_1^2}
\left(
1-i\alpha_1(z'-z)\d\phi(x)-i\beta_1(\bz'-\bz)\bd\phi(x)+\ldots
\right).
\label{bpsi1psi1}
$$
Усредним это произведение по окружности $|z'-z|^2=r_0^2$ и будем считать $r_0$ малым. Старший член в разложении по $r_0$ примем за $\psi^+_1(x)\psi_1(x)$. Предположим, что
\eq$$
\alpha_1^2-\beta_1^2=1.
\label{eq1}
$$
Тогда первый и третий члены в разложении (\ref{bpsi1psi1}) при усреднении обратятся в нуль. Старшим ненулевым членом будет второй:
$$
N_1r_0^{-2\beta_1^2}\left(-i\alpha_1\d\varphi\over2\pi\right).
$$
Его мы и отождествляем с~$\psi^+_1\psi_1$. Мы видим, что если бы мы потребовали буквальной эрмитовой сопряженности $\psi$ и $\psi^+$, множитель $i$ в $-i\alpha_1\varphi(z)$ испортил бы нам эрмитовость оператора~$\psi^+_1\psi_1$.

Сравнивая с (\ref{Tcureq}), получаем
\eq$$
\beta=-ir_0^{-2\beta_1^2}N_1\alpha_1.
\label{betaN1}
$$
Аналогично, полагая
\eq$$
\alpha_2^2-\beta_2^2=-1,
\label{eq2}
$$
получим
\eq$$
\beta=-ir_0^{-2\alpha_2^2}N_2\beta_2.
\label{betaN2}
$$
Теперь рассмотрим уравнения движения (\ref{Teqmotion}). Подставляя (\ref{Tcureq}) и (\ref{psibpsiansatz}) , получим
$$
\Aligned{
i\beta_1\bd\bvarphi e^{i\alpha_1\varphi+i\beta_1\bvarphi}
&=-i{g\beta\over2}\bd\bvarphi e^{i\alpha_1\varphi+i\beta_1\bvarphi},
\\
i\alpha_2\d\varphi e^{i\alpha_2\varphi+i\beta_2\bvarphi}
&=i{g\beta\over2}\d\varphi e^{i\alpha_2\varphi+i\beta_2\bvarphi}.
}
$$
Отсюда имеем
\eq$$
\alpha_2=-\beta_1={g\beta\over2},
\label{eq3}
$$
что, конечно же, согласуется с классическим решением.

Чтобы зафиксировать коэффициенты $\alpha_i$, $\beta_i$, нужно узнать еще нормировочные множители $N_i$. Вместо того, чтобы аккуратно извлекать сингулярные члены в антикоммутаторах, давайте просто зафиксируем их так, чтобы член $-m\bpsi\psi=im(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)$ был бы пропорционален $\cos\beta\phi$.

Рассмотрим разложение
$$
\psi^+_2(x')\psi_1(x)
=-\eta_1\eta_2^{-1}{\sqrt{N_1N_2}\over2\pi}
(z'-z)^{-\alpha_1\alpha_2}(\bz'-\bz)^{-\beta_1\beta_2}
\left(
e^{i(\alpha_1-\alpha_2)\varphi(z)+i(\beta_1-\beta_2)\bvarphi(\bz)}+\ldots
\right).
$$
Первый член выживает при усреднении по углам, если
\eq$$
\alpha_1\alpha_2=\beta_1\beta_2,
\label{eq4}
$$
что согласуется с (\ref{eq1}--\ref{eq3}) и дает, кроме того,
\eq$$
\alpha_1=-\beta_2
\label{eq4a}
$$
Если отождествить $\psi^+_2\psi_1\sim e^{i\beta\phi}$, мы получим
\Align$$
\alpha_1-\alpha_2
&=\beta,
\label{eq5}
\\
\beta_1-\beta_2
&=\beta.
\label{eq6}
$$
Из (\ref{eq1}), (\ref{eq3}), (\ref{eq4a}), (\ref{eq5}) легко получить
\eq$$
\Aligned{
\alpha_1=-\beta_2
&={1\over2}\left({1\over\beta}+\beta\right),
\\
\alpha_2=-\beta_1
&={1\over2}\left({1\over\beta}-\beta\right).
}
$$
Подставляя ответ в (\ref{eq3}), получаем (\ref{gbeta}).

Из (\ref{betaN1}), (\ref{betaN2}) находим
\eq$$
N_1=-N_2=ir_0^{{\beta^2\over2}+{1\over2\beta^2}-1}{2\beta^2\over\beta^2+1},
\label{N12}
$$
Отсюда получаем
$$
\Aligned{
-i\psi_2^+\psi_1
&={1\over\pi}{\beta^2\over\beta^2+1}r_0^{\beta^2-1}\left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)e^{i\beta\phi},
\\
i\psi_1^+\psi_2
&={1\over\pi}{\beta^2\over\beta^2+1}r_0^{\beta^2-1}\left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)^{-1}e^{-i\beta\phi}.
}
$$
Так как на бесконечной плоскости суммарный «заряд» должен быть равен нулю, операторы $e^{i\beta\phi}$ и $e^{-i\beta\phi}$ должны встречаться в равных количествах для корреляционных функций, полиномиальных по $\varphi$,~$\bar\varphi$. Поэтому множители $\left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)^{\pm1}$ тоже сократятся. В более общем случае их можно опустить, переопределив операторы:
$$
\left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)^{\alpha/\beta}e^{i\alpha\phi}\to e^{i\alpha\phi}.
$$
Тогда имеем
\eq$$
i(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)
={2\over\pi}{\beta^2\over\beta^2+1}r_0^{\beta^2-1}
\cos\beta\phi,
\label{psicos}
$$
откуда находим (\ref{mum}).

Строго говоря, пока мы нашли точное решение только для безмассовой модели Тирринга. Однако из наших рассуждений следует, что теория возмущений по члену $m\bpsi\psi$ для модели Тирринга и теория возмущений по $\cos\beta\phi$ для модели синус"=Гордона совпадают, что дает сильное основание в пользу совпадения теорий\cite{Coleman,Mandelstam}. Отметим, что константа связи $g$ в модели Тирринга не перенормируется, в то время как <<масса>> $m$ не является физической величиной и существенно перенормируется. Это связано с тем, что массовый член $\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1$ имеет масштабную размерность $\beta^2$ из-за переопределения произведения полей. Измерима константа $\mu$ модели синус"=Гордона, причем
\eq$$
\mu\sim m_{\rm phys}^{2-\beta^2},
\qquad
m\sim m_{\rm phys}(m_{\rm phys}r_0)^{1-\beta^2}
=m_{\rm phys}(m_{\rm phys}r_0)^{g\over1+g},
\label{mphys}
$$
где $m_{\rm phys}$ "--- масса физических возбуждений (например, тирринговских фермионов) в теории. Коэффициент пропорциональности между параметром $\mu$ и $m_{\rm phys}^{2-\beta^2}$ известен точно~\cite{AlZ-mass}.

Остается еще один вопрос: чему соответствуют тирринговские фермионы в модели синус"=Гордона? Из равенства между топологическим и фермионным токами можно заключить, что они соответствуют кинкам "--- нетривиальным возбуждениям с топологическими числами $q=\pm1$.

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Докажите, что в безмассовой модели Тирринга ток (\ref{MT3current}) сохраняется. Найдите дивергенцию этого тока при ненулевой массе.

\item В модели свободных безмассовых дираковских фермионов ($m=0$, $g=0$) найдите парные корреляционные функции фермионных полей $\langle\psi^+_i(x')\psi_j(x)\rangle$.

\item Получите все классические решения уравнения синус"=Гордона $\phi(t,x)$ с конечной энергией, зависящие только от $x-vt$ с некоторой константой $v$, $|v|<1$. Найдите топологические заряды этих решений.

\item Повторите рассуждения лекции в специальном случае свободного фермиона ($g=0$). Проверьте, что в этом случае $m_{\rm phys}=m=\pi\mu$.

\starenumi
\item Покажите, что в модели Тирринга, в согласии с (\ref{mphys}), в однопетлевом приближении масса перенормируется следующим образом
$$
m_{\rm phys}=m\left(1+g\log{\Lambda\over m}\right),
$$
где $\Lambda$ "--- параметр обрезания по импульсам.

При выводе диаграммной техники удобно пользоваться представлением для действия модели Тирринга со вспомогательным полем:
$$
S[\psi,\bar\psi,A^\mu]=\int d^2x\,
\left(\bar\psi(i\hat\d-\hat A-m)\psi
+{1\over2\pi g}A^\mu A_\mu\right).
$$
\end{asparaenum}

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Сохранение энергии и импульса в модели синус"=Гордона}
\medskip

Рассмотрим конформную теорию поля в эвклидовом пространстве с формальным действием $S_0$ и тензором энергии"=импульса $T_{\mu\nu}$ ($T^\mu_\mu=0$). Пусть $\Phi_\Delta(x)$ "--- примарный (первичный) оператор конформной размерности $\Delta$. Рассмотрим возмущенную теорию с действием
\eq$$
S=S_0+S_1=S_0+\lambda\int d^2x\,\Phi_\Delta(x).
\label{cft-pert-action}
$$
Рассмотрим компоненту $T=-2\pi T_{zz}$ тензора энергии"=импульса. В конформной теории поля она удовлетворяет соотношению
$$
\bd T(x)=0
$$
Это значит, что для любых локальных операторов $\Phi_1,\ldots,\Phi_N$ имеет место тождество
$$
\langle\bd T(x)\Phi_1(x_1)\cdots\Phi_N(x_N)\rangle_0=0,
\quad\text{если $x\ne x_1,\ldots,x_N$.}
$$
Когда $x=x_i$ это уравнение может нарушаться. Рассмотрим, например, операторное разложение
$$
\Aligned{
T(x)\Phi_\Delta(x')
&={\Delta\Phi_\Delta(x')\over(z-z')^2}+{\d'\Phi_\Delta(x')\over z-z'}+O(1)
\\
&=\Delta\Phi_\Delta(x')\,\d{1\over z-z'}+{\d'\Phi_\Delta(x')\over z'-z}+O(1).
}
$$
Дифференцируя по $\bz$, получаем
$$
\Phi_\Delta(x')\,\bd T(x)=\Delta\Phi_\Delta(x')\,\bd\d'(z-z')^{-1}+\d'\Phi_\Delta(x')\,\bd(z-z')^{-1}+O(1).
$$
Нетрудно проверить, что
\eq$$
\bd{1\over z}=\pi\delta(x).
\label{bd-zinverse}
$$
Отсюда находим
$$
\Phi_\Delta(x')\bd T(x)=\pi\Delta\Phi_\Delta(x')\,\d'\delta(x-x')+\d'\Phi_\Delta(x')\,\delta(x-x')+O(1).
$$
и
\eq$$
\int d^2x'\,\Phi_\Delta(x')\bd T(x)=\pi(1-\Delta)\d\Phi_\Delta(x).
\label{PhiT-int}
$$
Теперь рассмотрим среднее от $\bd T(x)X$ с любым $X$ в виде произведения от локальных операторов в первом порядке теории возмущений:
$$
\langle\bd T(x)X\rangle={\langle e^{-S_1}\bd T(x)X\rangle_0\over\langle e^{-S_1}\rangle_0}
\simeq-\lambda\int d^2y\,\langle\Phi_\Delta(y)\bd T(x)X\rangle_0
\simeq-\pi(1-\Delta)\lambda\langle\d\Phi(x)X\rangle.
$$
Получаем
\eq$$
\bd T(x)=\d\Theta(x),
\label{EM1-quantum}
$$
где%
%
\footnote{Заметим, что мы опускаем и поднимаем индексы с помощью метрики пространства Минковского $g_{z\bz}=-1/2$, $g_{zz}=g_{\bz\bz}=0$.}
%
\eq$$
\Theta(x)=2\pi T_{z\bz}(x)=-\pi(1-\Delta)\lambda\Phi(x)+O(\lambda^2).
\label{Theta-def}
$$
Аналогично
\eq$$
\d\bar T(x)=\bd\Theta(x).
\label{EMm1-quantum}
$$
Выражение (\ref{Theta-def}) может оказаться точным, если
\eq$$
(z'-z)\Phi(x')\left(\int d^2y\,\Phi(y)\right)^kT(x)=o(1),
\quad\text{если $k>0$.}
\label{Theta-exact-cond}
$$

Для модели синус"=Гордона мы можем принять
$$
S_0=\int d^2x\,{(\d_\mu\phi)^2\over8\pi},
\qquad
\Phi_\Delta=-\cos\beta\phi,
\qquad
\lambda=\mu,
\qquad
\Delta={\beta^2\over2}.
$$
Тогда
\eq$$
T(x)=-{1\over2}(\d\phi)^2,
\qquad
\bar T(x)=-{1\over2}(\bd\phi)^2,
\qquad
\Theta(x)=\pi(1-\beta^2/2)\mu\cos\beta\phi+O(\mu^2).
\label{T-Theta-quantum}
$$
Однако условие~(\ref{Theta-exact-cond}) обращения в нуль высших поправок для $\Theta(x)$ не выполняется. Действительно, нетрудно проверить, что левая часть имеет порядок $(z'-z)^{-1}|z'-z|^{2k-k(k+1)\beta^2}$, и при любом значении $\beta$ условие~(\ref{Theta-exact-cond}) нарушается при достаточно больших~$k$.

Решить эту проблему можно двумя способами. Первый состоит в том, чтобы предположить, что поправки аналитичны по $\beta^2$ и если $n$-тый член теории возмущений обращается в нуль при достаточно малых $\beta^2$, то он обращается в нуль тождественно. Тем не менее, предположение об аналитичности требует некоторого обоснования.

