% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Бозоны и фермионы с контактным взаимодействием}{Bozony i fermiony s kontaktnym vzaimodejstviem}}
\label{sec-LLandYG}
\setcounter{page}1

В этой лекции мы рассмотрим две простые точно решаемые нерелятивистские модели, которые хорошо демонстрируют устройство анзаца Бете. Эти модели являются простейшими примерами так называемых моделей Янга"--~Годена с четырехчастичным взаимодействием.

Пусть $\varphi(t,x)$, $\varphi^+(t,x)$ "--- бозонный оператор и эрмитово сопряженный ему оператор с коммутационными соотношениями
\eq$$
[\varphi(x),\varphi^+(x')]=\delta(x-x'),
\qquad
[\varphi(x),\varphi(x')]=[\varphi^+(x),\varphi^+(x')]=0.
\label{commut-LL}
$$
Рассмотрим систему с гамильтонианом
\eq$$
H=\int dx\,\left({\d_x\varphi^+\,\d_x\varphi\over2m}+{c\over2}(\varphi^+)^2\varphi^2\right).
\label{Ham-LL}
$$
Приглядевшись, мы видим, что это гамильтониан нелинейного уравнения Шрёдингера. Действительно, уравнение Гайзенберга для оператора $\varphi$ имеет вид
\eq$$
\i\,\d_t\varphi=-{1\over2m}\d_x^2\varphi-c\varphi^+\varphi^2.
\label{eq-LL}
$$
Чтобы найти классический предел, нужно сделать замену $\varphi\to\hbar^{-1/2}\varphi$, $c\to\hbar c$ и устремить $\hbar$ к нулю. В этом пределе коммутатор стремиться к нулю, а скобка ${\i\over\hbar}[\cdot,\cdot]$ переходит в скобку Пуассона. Уравнение (\ref{eq-LL}) не меняет вид, но приобретает смысл классического нелинейного уравнения Шрёдингера.

Заметим, что два оператора
\eq$$
Q=\int dx\,\varphi^+\varphi,
\qquad
P=-\i\int dx\,\varphi^+\,\d_x\varphi
\label{QP-LL}
$$
коммутируют с гамильтонианом. Легко видеть, что эти операторы представляют собой оператор числа частиц и оператор импульса. Можно ввести вакуум $|0\rangle$ с нулевыми энергией и импульсом, определяемый соотношениями
\eq$$
\varphi(x)|0\rangle=0,
\qquad
\langle0|\varphi^+(x)=0.
\label{vac-LL}
$$
Состояния вида
\eq$$
|\chi_N\rangle=\int d^Nx\,\chi(x_1,\ldots,x_N)\varphi^+(x_N)\cdots\varphi^+(x_1)|0\rangle,
\qquad
Q|\chi_N\rangle=N|\chi_N\rangle,
\label{chiN-LL}
$$
образуют собственное подпространство $\cH_N$ оператора $Q$. Определим оператор $\hat H_N$ на симметрических функциях $N$ переменных по формуле
\eq$$
H|\chi_N\rangle=\int d^Nx\,(\hat H_N\chi)(x_1,\ldots,x_N)\varphi^+(x_N)\cdots\varphi^+(x_1)|0\rangle.
\label{Hhat-def-LL}
$$
Этот оператор представляет собой первично"=квантованный гамильтониан и имеет вид
\eq$$
\hat H_N=-{1\over2m}\sum^N_{i=1}\d_{x_i}^2+c\sum_{1\le i<j\le N}\delta(x_i-x_j).
\label{Hhat-LL}
$$
Мы видим, что на собственном подпространстве $\cH_N$ гамильтониан (\ref{Ham-LL}) действует как гамильтониан (\ref{Hhat-LL}) системы бозонов с дельтаобразным потенциалом взаимодействия. Такую систему называют системой Либа"--~Линихера. Покажем, что система Либа"--~Линихера допускает точное решение.

Начнем со случая $N=1$. Он тривиален. Член со взаимодействием отсутствует и решение стационарной задачи представляет собой плоскую волну:
\eq$$
\chi(x)=e^{\i px},
\qquad
E={p^2\over2m}.
\label{chi1-fin-LL}
$$

Перейдем теперь к случаю $N=2$. При $x_1\ne x_2$ член взаимодействия равен нулю, поэтому решение должно представлять собой суперпозицию плоских волн. В силу симметрии волновой функции и сохранения энергии и импульса базисные решения имеют вид
\eq$$
\chi(x_1,x_2)=\Cases{A_{12}e^{\i p_1x_1+\i p_2x_2}+A_{21}e^{\i p_2x_1+\i p_1x_2},&\text{при $x_1<x_2$;}\\
  A_{21}e^{\i p_1x_1+\i p_2x_2}+A_{12}e^{\i p_2x_1+\i p_1x_2},&\text{при $x_1>x_2$.}}
\label{chi2-form-LL}
$$
Энергия такой системы, очевидно, равна
$$
E={p_1^2+p_2^2\over2m},
$$
а взаимодействие в гамильтониане определяет только сшивку волновых функций при $x_1=x_2$. Заметим, что эта функция непрерывна при $x_1=x_2$, но, вообще говоря, не дифференцируема в этой точке: производная испытывает скачок. Давайте его найдем. Перейдем к координатам центра масс $X={1\over2}(x_1+x_2)$ и относительного положения частиц $x=x_1-x_2$. Гамильтониан принимает вид
$$
\hat H_2=-{1\over4m}\d_X^2-{1\over m}\d_x^2+c\delta(x),
$$
а волновая функция равна
\eq$$
\chi(X+{\textstyle{x\over2}},X-{\textstyle{x\over2}})=e^{\i(p_1+p_2)X}\times\Cases{A_{12}e^{\i px/2}+A_{21}e^{-\i px/2},&\text{при $x<0$;}\\
  A_{21}e^{\i px/2}+A_{12}e^{-\i px/2},&\text{при $x>0$;}}
\qquad
p=p_1-p_2.
\label{chi2-Xx-LL}
$$
Проинтегрируем уравнение Шрёдингера $\hat H_2\chi=E\chi$ по переменной $x$ по маленькому интервалу $[-\ve,\ve]$. Интеграл от правой части стремится к нулю при $\ve\to0$. По той же причине стремится к нулю член с $\d_X^2\chi$. Поэтому имеем
$$
0=-\left.{1\over m}\d_x\chi(X+{\textstyle{x\over2}},X-{\textstyle{x\over2}})\right|^{x=+0}_{x=-0}+c\chi(X,X)
=\left.{1\over2m}(\d_{x_2}\chi(x_1,x_2)-\d_{x_1}\chi(x_1,x_2))\right|^{x_1=x_2+0}_{x_1=x_2-0}+c\chi(x_2,x_2).
$$
Подставляя волновую функцию в виде (\ref{chi2-Xx-LL}), находим отношение коэффициентов:
\eq$$
{A_{21}\over A_{12}}=S(p_1-p_2),
\qquad
S(p)\equiv-e^{\i\Phi(p)}={p-\i mc\over p+\i mc}.
\label{A21-12-ratio-LL}
$$
Функция $S(p)$ является матрицей рассеяния двух частиц. В дальнейшем нам понадобится величина $\Phi(p)$, отличающаяся на константу $\pi$ от фазы рассеяния. Ее удобно будет доопределить условием нечетности
\eq$$
\Phi(-p)=-\Phi(p).
\label{Phi-odd-LL}
$$
При $c>0$ функция $\Phi(p)$ монотонно возрастает, причем $\Phi(p)\to\pm\pi$ при $p\to\pm\infty$. При $c<0$ убывает в тех же пределах.

Рассмотрим теперь общие волновые функции для $N$ частиц. Легко видеть, что эти функции должны быть линейными комбинациями плоских волн при всех различных $x_i$, а их производные должны иметь разрывы при $x_i=x_j$:
\eq$$
\left.{1\over2m}(\d_{x_j}\chi(x_i,x_j)-\d_{x_i}\chi(x_i,x_j))\right|^{x_i=x_j+0}_{x_i=x_j-0}+c\chi(x_j,x_j)=0
\qquad
(i\ne j).
\label{wf-knee-LL}
$$
Будем искать волновые функции в виде
\eq$$
\chi(x_1,\ldots,x_N)=\sum_{\tau\in S^N}A_\tau\exp\left(\i\sum^N_{i=1}p_{\tau_i}x_{\sigma_i}\right),
\qquad
x_{\sigma_1}<x_{\sigma_2}<\cdots<x_{\sigma_N}.
\label{BA-LL}
$$
Эти функции очевидным образом симметричны, а условия (\ref{wf-knee-LL}) эквивалентны уравнениям на коэффициенты
\eq$$
{A_{\ldots ji\ldots}\over A_{\ldots ij\ldots}}=S(p_i-p_j).
\label{Aji-Aij-ratio-LL}
$$
Наложим на систему периодические граничные условия
\eq$$
\chi(x_1+L,x_2,\ldots,x_N)=\chi(x_1,x_2,\ldots,x_N).
\label{chi-periodic-LL}
$$
Если, например, $x_1<x_2<\cdots<x_N<x_1+L$, члены в левой и правой частях должны попарно совпасть для перестановок $\tau$, отличающихся в разных частях циклической перестановкой $(12\ldots N)\to(2\ldots N1)$. Отсюда получаем систему \emph{уравнений Бете}
\eq$$
e^{\i p_iL}\prod^N_{\substack{j=1\\j\ne i}}S(p_i-p_j)=1,
\qquad
i=1,\ldots,N.
\label{BE-LL}
$$
Любому решению уравнений Бете отвечает некоторая волновая функция. Можно показать (см.\ задачу к предыдущей лекции), что если два импульса совпадают $p_i=p_j$ ($i\ne j$), то волновая функция обращается в нуль. Но все решения с различными импульсами ($p_i\ne p_j$ для любых $i\ne j$) ненулевые и, более того, отвечают линейно независимым состояниям. Полный импульс и полная энергия бетевского состояния равны
\eq$$
P=\sum^N_{i=1}p_i,
\qquad
E=\sum^N_{i=1}{p_i^2\over2m},
\label{PE-LL}
$$
причем полный импульс просто квантуется:
\eq$$
e^{\i PL}=\prod_{i\ne j}S(p_j-p_i)=1
\quad\Rightarrow\quad
P={2\pi\nu\over L}\quad(\nu\in\Z).
\label{P-quant-LL}
$$
Более того, величины
\eq$$
I_n=\sum^N_{i=1}p_i^n
\label{In-LL}
$$
представляют собой собственные значения некоторых коммутирующих интегралов движения
$$
\cI_n=(-\i)^n\int dx\,(\varphi^+\,\d_x^n\varphi+\cdots),
\qquad
[\cI_n,H]=0,
\qquad
[\cI_m,\cI_n]=0.
$$
Точки означают члены более высокого порядка по $\varphi,\varphi^+$. Собственно, сохранение этих интегралов движения и обеспечивает отсутствие отраженных волн в состоянии~(\ref{BA-LL}) и, соответственно, точную интегрируемость задачи.

Прологарифмируем уравнения Бете~(\ref{BE-LL}):
\eq$$
p_iL+\sum^N_{j=1}\Phi(p_i-p_j)=2\pi n_i,
\qquad
n_i-{N-1\over2}\in\Z,
\label{BE-log-LL}
$$
где $\Phi(p)$ определена выше в~(\ref{A21-12-ratio-LL}),~(\ref{Phi-odd-LL}). Числа $n_i$ все полуцелые или все целые в зависимости от четности числа частиц $N$. Это следует из множителя $(-1)^{N-1}$, содержащегося в произведении в~(\ref{BE-LL}). Можно показать, что каждому набору попарно различных чисел $\{n_i\}^N_{i=1}$ отвечает единственное решение $\{p_i\}^N_{i=1}$ уравнений Бете. Заметим, что это кардинально отличает ситуацию $c\ne0$ от ситуации $c=0$, в которой числа $n_i$ всегда целые и, главное, могут совпадать. Всюду ниже мы будем полагать $c>0$, то есть рассматривать систему с отталкиванием.

Зафиксируем какое"=то решение уравнений Бете набором целых чисел $\{n_i\}$. Рассмотрим уравнение
\eq$$
pL+\sum^N_{j=1}\Phi(p-p_j)=2\pi n,
\label{p(n)-def-LL}
$$
связывающее два числа $p$ и~$n$. В силу монотонного роста функции $\Phi(p)$ величина $n$ монотонно растет с~$p$. Поэтому эта связь взаимно"=однозначна. Мы будем обозначать $p(n)$ единственное решение этого уравнения при данном~$n$. Очевидно, что $p(n_i)=p_i$. Мы будем говорить о числах $n_i$ как о «заполненных состояниях», а о числах $n\ne n_i$ для всех $i$ как о «вакантных состояниях».

Итак, мы нашли вид волновых функций в модели Либа"--~Линихера, матрицу рассеяния частиц и уравнения, определяющие спектр системы в конечном объеме. Мы хотим найти основное состояние системы $N$ частиц. Вообще говоря, эта задача сводится к (численному) решению системы нелинейных уравнений~(\ref{BE-log-LL}) и подбору значений $n_i$, отвечающих наименьшей энергии. Задача значительно упрощается в термодинамическом пределе $L\to\infty$, $N/L=\const$.

Чтобы понять структуру основного состояния, удобно начать анализ не со слабого взаимодействие, а с сильного $c\to+\infty$. В этом пределе $\Phi(p)=0$ и уравнения Бете принимают вид $p_iL=2\pi n_i$. Все импульсы независимы, но не равны друг другу, так что основному состоянию отвечает случай $|p|\le p_\text{max}$. Числа $n_i$ плотно заполняют интервал от $-{N-1\over2}$ до $N-1\over2$. Отсюда имеем $p_\text{max}={\pi(N-1)\over L}$. Энергия такой системы равна
$$
E={\pi^2\over2mL^2}\sum^{N-1}_{k=0}\left(N-1-2k\over2\right)^2={\pi^2N(N-1)(2N-1)\over48mL^2}\simeq{\pi^2N^3\over24mL^2}.
$$
Теперь будем уменьшать постоянную~$c$. При этом максимальный импульс $p_\text{max}$ будет уменьшаться, в то время как максимальное значение $N-1\over2$ чисел $|n_i|$ не изменится. Будет уменьшаться и энергия системы. В конце концов, при $c=0$ функция $\Phi(p)$ станет ступенчатой, а $p_\text{max}$ и полная энергия системы обратятся в нуль, что отвечает б\'{о}зе"=конденсации. В термодинамическом пределе расстояние между соседними импульсами оказывается порядка $1/L$, а спектральная плотность состояний на единицу длины
\eq$$
\rho(p)={2\pi\,dn\over L\,dp}\simeq{2\pi\over L(p(n+1)-p(n))}
\label{rho(p)-LL}
$$
остается конечной. Поэтому сумму в уравнении (\ref{BE-log-LL}) в основном состоянии можно заменить на интеграл. Для этого введем также спектральную плотность заполненных состояний. Расположим $n_i$ в порядке возрастания: $n_1<n_2<\cdots$ и положим
\eq$$
\rho^\bullet(p)={2\pi\,di\over L\,dp}\simeq{2\pi\over L(p_{i+1}-p_i)}.
\label{rhobullte(p)-LL}
$$
Теперь возьмем разность двух уравнений (\ref{p(n)-def-LL}) c $n+1$ и $n$ в правой части и поделим их на $L(p(n+1)-p(n))$. Получим
$$
1+{1\over L}\sum^N_{j=1}{\Phi(p(n+1)-p_j)-\Phi(p(n)-p_j)\over p(n+1)-p(n)}={2\pi\over L(p(n+1)-p(n))}.
$$
Заменяя сумму по $j$ на интеграл по $dp_j$, а отношение под суммой приближая производной $\Phi'(p)={d\over dp}\Phi(p)$, получим
\eq$$
1+\int^\infty_{-\infty}{dp'\over2\pi}\,\Phi'(p-p')\rho^\bullet(p')=\rho(p).
\label{BEint-LL}
$$
Это уравнение связывает плотность заполненных состояний и плотность состояний. Но процедура вычитания исключило одно уравнение из системы. Поэтому дополним систему условием равенства числа заполненных состояний числу частиц:
\eq$$
\int^\infty_{-\infty}{dp\over2\pi}\,\rho^\bullet(p)={N\over L}.
\label{rhobullet-int-LL}
$$
В случае основного состояния эти две величины связаны еще и условием того, что заполненные состояния плотно заполняют интервал $[-p_\text{max},p_\text{max}]$:
\eq$$
\rho^\bullet(p)=\Cases{\rho(p),&|p|\le p_\text{max};\\0,&|p|>p_\text{max}.}
\label{rhobullet-ground-LL}
$$
Отсюда получаем интегральное уравнение
\eq$$
1+\int^{p_\text{max}}_{-p_\text{max}}{dp'\over2\pi}\,\Phi'(p-p')\rho(p')=\rho(p),
\qquad
\int^{p_\text{max}}_{-p_\text{max}}{dp\over2\pi}\,\rho(p)={N\over L}.
\label{BEint-ground-LL}
$$
Это уравнение решается, вообще говоря, численно и позволяет найти энергию основного состояния
\eq$$
{E\over L}=\int^{p_\text{max}}_{-p_\text{max}}{dp\over2\pi}\,\rho(p){p^2\over2m}.
\label{E-ground-LL}
$$
Численно решить уравнения Бете, тем более, в термодинамическом пределе, намного проще, чем численно диагонализовать матрицу, которая получается ограничением гамильтониана~(\ref{Ham-LL}) на какое-либо конечное подпространство. Более того, результаты, получаемые решением уравнений Бете, одинаково хороши для любых размеров системы и значений константы связи. В этом смысле мы будем говорить, что уравнения Бете дают точное решение задачи. В следующей лекции мы применим анзац Бете к релятивистской системе и увидим, что для нее можно получить точные \emph{аналитические} результаты в задаче, напоминающей термодинамический предел в модели Либа"--~Линихера.

Теперь рассмотрим аналогичную фермионную задачу с дельтаобразным взаимодействием. В этом случае член со взаимодействием не равен нулю, только если у нас есть как минимум два сорта фермионов. Это могут быть, например, фермионы спина $1/2$. Обозначим их $\psi_\ve$, $\ve=\pm$. Коммутационные соотношения имеют вид
\eq$$
\{\psi_\ve(x),\psi_{\ve'}^+(x')\}=\delta_{\ve\ve'}\delta(x-x'),
\qquad
\{\psi_\ve(x),\psi_{\ve'}(x')\}=\{\psi_\ve^+(x),\psi_{\ve'}^+(x')\}=0,
\label{commut-YG2}
$$
где фигурные скобки обозначают антикоммутатор. Рассмотрим систему с гамильтонианом
\eq$$
H=\int dx\,\left(\sum_{\ve=\pm}{\d_x\psi_\ve^+\,\d_x\psi_\ve\over2m}+c\psi_+^+\psi_-^+\psi_-\psi_+\right).
\label{Ham-YG2}
$$
Обратим внимание на существенную разницу между гамильтонианами (\ref{Ham-LL}) и~(\ref{Ham-YG2}). В случае модели Либа"--~Линихера все частицы взаимодействовали между собой. В фермионной модели имеется два сорта частиц, причем число частиц каждого сорта сохраняется, но взаимодействуют только частицы разных сортов.

Итак, в системе имеются следующие сохраняющиеся величины:
\eq$$
Q_\ve=\int dx\,\psi_\ve^+\psi_\ve,
\qquad
P=-\i\sum_{\ve=\pm}\int dx\,\psi_\ve^+\,\d_x\psi_\ve.
\label{QP-YG2}
$$
Аналогично бозонному случаю определим вакуум
\eq$$
\psi_\ve(x)|0\rangle=0,
\qquad
\langle0|\psi_\ve^+(x)=0
\label{vac-YG2}
$$
и состояния с фиксированным количеством частиц
\eq$$
|\chi_N\rangle=\int d^Nx\,\chi^{\ve_1\ldots\ve_N}(x_1,\ldots,x_N)\psi_{\ve_N}^+(x_N)\cdots\psi_{\ve_1}^+(x_1)|0\rangle.
\label{chiN-YG2}
$$
Первично"=квантованный гамильтониан имеет вид
\eq$$
\hat H_N=-{1\over2m}\sum^N_{i=1}\d_{x_i}^2+{c\over2}\sum_{i<j}(1-\sigma^3_i\sigma^3_j)\delta(x_i-x_j),
\label{Hhat-YG2}
$$
где $\sigma^3_i$ "--- это матрица $\sigma^3=\diag(1,-1)$, действующая в пространстве $i$го спина.

При $N=1$ плоские волны
\eq$$
\chi^\ve(x)=A^\ve e^{\i px}
\label{chi1-YG2}
$$
являются собственными функциями гамильтониана с импульсом $P=p$ и энергией $E={p^2\over2m}$. При $N=2$ будем искать собственные функции в виде
\eq$$
\chi^{\ve_1\ve_2}(x_1,x_2)=\Cases{A^{\ve_1\ve_2}_{12}e^{\i p_1x_1+\i p_2x_2}-A^{\ve_1\ve_2}_{21}e^{\i p_2x_1+\i p_1x_2},&x_1<x_2;\\
  A^{\ve_2\ve_1}_{21}e^{\i p_1x_1+\i p_2x_2}-A^{\ve_2\ve_1}_{12}e^{\i p_2x_1+\i p_1x_2},&x_1>x_2.}
\label{chi2-YG2}
$$
Функция, очевидно, антисимметрична по отношению к перестановке пар $(\ve_1,x_1)\leftrightarrow(\ve_2,x_2)$. Чтобы найти коэффициенты в правой части, подействуем гамильтонианом~(\ref{Hhat-YG2}) на эту функцию. Предполагая непрерывность функции $\chi$,
$$
A^{\ve_1\ve_2}_{12}-A^{\ve_1\ve_2}_{21}=A^{\ve_2\ve_1}_{21}-A^{\ve_2\ve_1}_{12},
$$
мы получим следующие соотношения:
\eq$$
A_{21}^{\ve_2\ve_1}=\sum_{\ve'_1\ve'_2}S(p_1-p_2)^{\ve_1\ve_2}_{\ve'_1\ve'_2}A_{12}^{\ve'_1\ve'_2},
\qquad
S(p)=\pMatrix{1&&&\\&{p\over p+\i mc}&{\i mc\over p+\i mc}&\\&{\i mc\over p+\i mc}&{p\over p+\i mc}&\\&&&1},
\label{A21-A12-YG2}
$$
где матрица $S(p)$ записана в базисе $++,+-,-+,--$. Эта матрица представляет собой двухчастичную матрицу рассеяния фермионов в вакууме. Легко проверить, что матрица $S(p)$ удовлетворяет уравнению Янга"--~Бакстера:
\eq$$
S_{12}(p_1-p_2)S_{13}(p_1-p_3)S_{23}(p_2-p_3)=S_{23}(p_2-p_3)S_{13}(p_1-p_3)S_{12}(p_1-p_2)
\label{YBE-YG2}
$$
Заметим также, что $S(0)$ представляет собой матрицу перестановки~$P$. Графически это представляется в виде
\eq$$
S(0)=\quad
\begin{tikzpicture}[baseline=-2.5pt]
\draw[->] (-1,-1) node[below left] {$p$} -- (1,1);
\draw[->] (1,-1) node[below left] {$p$} -- (-1,1);
\end{tikzpicture}
\quad=\quad
\begin{tikzpicture}[baseline=-2.5pt]
\draw[->] (-1,-1) node[below left] {$p$} -- (-.2,-.2) to[out=45,in=-45] (-.2,.2) -- (-1,1);
\draw[->] (1,-1) node[below left] {$p$} -- (.2,-.2) to[out=135,in=-135] (.2,.2) -- (1,1);
\end{tikzpicture}
\quad=P.
\label{S(0)-P-YG2}
$$

Многочастичную волновую функцию в этой задаче тоже легко написать:
\eq$$
\chi^{\ve_1\ldots\ve_N}(x_1,\ldots,x_N)=\sum_{\tau\in S^N}(-1)^{\sigma\tau} A_\tau^{\ve_{\sigma_1}\ldots\ve_{\sigma_N}}e^{\i\sum^N_{i=1}p_{\tau_i}x_{\sigma_i}},
\qquad
x_{\sigma_1}<x_{\sigma_2}<\cdots<x_{\sigma_N}.
\label{BA-YG2}
$$
Действуя на эту функцию гамильтонианом, нетрудно найти условие на коэффициенты
\eq$$
A_{\ldots ji\ldots}=S_{ij}(p_i-p_j)A_{\ldots ij\ldots},
\label{Aji-Aij-YG2}
$$
где индексы у $S$"=матрицы означают пару пространств, на которых она действует.

Наложим теперь условие периодичности. Совершенно аналогично (\ref{BE-LL}), получаем
\eq$$
e^{\i p_iL}T^{(i)}(p_1,\ldots,p_N)A_{1\ldots N}=A_{1\ldots N},
\qquad
T^{(i)}(p_1,\ldots,p_N)
=\prod^{\substack{\curvearrowleft\\i-1}}_{j=1}S_{ij}(p_i-p_j)\prod^{\substack{\curvearrowleft\\N}}_{j=i+1}S_{ij}(p_i-p_j)
\label{BE-YG2}
$$
Мы видим, что задача о нахождении периодических функций свелась к задаче о диагонализации операторов $T^{(j)}$ в «спиновом» пространстве, причем все эти операторы должны диагонализовываться на одном и том же базисе. Для этого они должны коммутировать. Покажем, что это так. Для этого удобно представить матрицы графически:
\Align$$
T^{(i)}
&=\quad
\begin{tikzpicture}[baseline=-2.5pt]
\draw[-] (3.5,-.5) node[below] {$i$} -- (3.5,-.2) to[out=90,in=0] (3.3,0) -- (2,0);
  \draw[dashed] (2,0) -- (1,0); \draw[-] (1,0) -- (-1,0); \draw[dashed] (-1,0) -- (-2,0);
  \draw[->] (-2,0) -- (-3.3,0) to[out=180,in=-90] (-3.5,0.2) -- (-3.5,.6);
\draw[->] (2.5,-.5) node[below] {$i+1$} -- (2.5,.6);
\draw[->] (.5,-.5) node[below] {$N$} -- (.5,.6);
\draw[->] (-.5,-.5) node[below] {$1$} -- (-.5,.6);
\draw[->] (-2.5,-.5) node[below] {$i-1$} -- (-2.5,.6);
\end{tikzpicture}
\notag
\\
&=\quad
\begin{tikzpicture}[baseline=-2.5pt]
\draw[-] (0,-.5) node[below] {$i$} -- (0,-.2) to[out=90,in=0] (-.2,0) -- (-1.5,0);
  \draw[dashed] (-1.5,0) -- (-2.5,0); \draw[->] (-2.5,0) -- (-3.6,0); \vwave(-3.6,0);
\vwave(3.5,0); \draw[-] (3.5,0) -- (2.5,0); \draw[dashed] (2.5,0) -- (1.5,0);
  \draw[->] (1.5,0) -- (.2,0) to[out=180,in=-90] (0,.2) -- (0,.6);
\draw[->] (3,-.5) node[below] {$1$} -- (3,.6);
\draw[->] (1,-.5) node[below] {$i-1$} -- (1,.6);
\draw[->] (-1,-.5) node[below] {$i+1$} -- (-1,.6);
\draw[->] (-3,-.5) node[below] {$N$} -- (-3,.6);
\end{tikzpicture}
\notag
\\
&=\quad
\begin{tikzpicture}[baseline=-2.5pt]
\vwave(3.5,0); \draw[-] (3.5,0) node[right] {$0$} -- (2.5,0); \draw[dashed] (2.5,0) -- (1.5,0);
  \draw[-] (1.5,0) -- (-1.5,0); \draw[dashed] (-1.5,0) -- (-2.5,0); \draw[->] (-2.5,0) -- (-3.6,0) node[above,xshift=7pt] {$p_i$}; \vwave(-3.6,0);
\draw[->] (3,-.5) node[below] {$1$} -- (3,.6);
\draw[->] (1,-.5) node[below] {$i-1$} -- (1,.6);
\draw[->] (0,-.5) node[below] {$i$} -- (0,.6);
\draw[->] (-1,-.5) node[below] {$i+1$} -- (-1,.6);
\draw[->] (-3,-.5) node[below] {$N$} -- (-3,.6);
\end{tikzpicture}
\quad=T(p_i;p_1,\ldots,p_N),
\label{T(i)-graph-YG2}
$$
где
\eq$$
T(p)\equiv T(p;p_1,\ldots,p_N)=\tr_0(S_{N0}(p_N-p)\cdots S_{20}(p_2-p)S_{10}(p_1-p)).
\label{T(p)-def-YG2}
$$
След берется по некоторому вспомогательному пространству, обозначенному здесь через~$0$. Мы использовали соотношение~(\ref{S(0)-P-YG2}) при переходе от второй к третьей строчке.

Оператор $T(p)$ имеет вид трансфер"=матрицы некоторой решеточной модели, а именно шестивершинной модели в точке перехода между щелевой и бесщелевой фазами%
%
\footnote{В свою очередь, эта модель в однородном случае эквивалентна XXX"=цепочке Гайзенберга.}
%
Мы знаем, что построенные так трансфер"=матрицы коммутируют:
\eq$$
[T(p),T(p')]=0,
\label{T(p)-commut-YG2}
$$
если $R$"=матрица удовлетворяет уравнению Янга"--~Бакстера~(\ref{YBE-YG2}). Отсюда немедленно следует, что
\eq$$
[T^{(i)},T^{(j)}]=0.
\label{T(j)-commut-YG2}
$$
Диагонализовать семейство матриц $T(p)$ можно с помощью стандартной техники алгебраического анзаца Бете. Уравнения Бете пишутся на набор переменных $(u_1,\ldots,u_n)$. Количество переменных $n\le N$ связано с (сохраняющимся) спином состояния:
\eq$$
S^z={N\over2}-n.
\label{Sz-YG2}
$$
Система \emph{вторичных} уравнений Бете имеют вид
\eq$$
\prod^N_{i=1}{u_a-p_i+{\i mc\over2}\over u_a-p_i-{\i mc\over2}}=\prod^n_{\substack{b=1\\b\ne a}}{u_a-u_b+\i mc\over u_a-u_b-\i mc},
\qquad
a=1,\ldots,n.
\label{BE2-YG2}
$$
Каждому решению этих уравнений Бете отвечает собственное значение трансфер"=матрицы $T(p)$ вида
\eq$$
\Lambda\left(p;\{p_k\};\{u_b\}\right)
=\prod^n_{a=1}{u_a-p-{\i mc\over2}\over u_a-p+{\i mc\over2}}+\prod^N_{i=1}{p-p_i\over p-p_i-\i mc}\prod^n_{a=1}{p-u_a-{3\i mc\over2}\over p-u_a-{\i mc\over2}}
\label{Lambda(p)-YG2}
$$
В случае $p=p_j$ второй член пропадает и мы получаем \emph{первичные} уравнения Бете в виде
\eq$$
e^{\i p_iL}=\prod^n_{a=1}{u_a-p_i+{\i mc\over2}\over u_a-p_i-{\i mc\over2}},
\qquad
i=1,\ldots,N.
\label{BE1-YG2}
$$
Система уравнений (\ref{BE2-YG2}), (\ref{BE1-YG2}) представляет собой систему уравнений Бете на переменные $p_1,\ldots,p_N,\allowbreak u_1,\ldots,u_n$, позволяющую построить все собственные векторы и найти все собственные значения гамильтониана~(\ref{Ham-YG2}). Полный импульс и энергия даются теми же формулами~(\ref{PE-LL}), что и в случае модели Либа"--~Линихера, причем полный импульс удовлетворяет тому же условию квантования~(\ref{P-quant-LL}).

В термодинамическом пределе для основного состояния и низколежащих возбуждений эти уравнения могут быть сведены к линейным интегральным уравнениям. Мы не будем подробно обсуждать эту тему. Мне важно было обратить ваше внимание на эту связь между интегрируемыми решеточными моделями статистической механики и динамикой внутренних состояний частиц в многочастичной системе.

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Покажите, что $\cI_3=\i\int dx\,\left(\varphi^+\,\d_x^3\varphi-3mc(\varphi^+)^2\varphi\,\d_x\varphi\right)$.

\item Покажите, что модель Либа"--~Линихера при $c\to+\infty$ эквивалентна модели свободных бесспиновых фермионов.

\item Найдите все решения уравнения (\ref{BE-log-LL}) в пределе $c\to+0$, то есть для $\Phi(p)\to\pi\sign p$.

\item Выведите~(\ref{A21-A12-YG2}).

\starenumi
\item Покажите, что в модели Либа"--~Линихера при $c<0$ для любого целого положительного $n$ имеется связанное состояние $n$ частиц с энергией $E^*_n=-{n(n^2-1)\over24}mc^2$. Опишите основное состояние системы $N$ частиц.

\end{asparaenum}

\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Вычеты $S$"=матрицы и связанные состояния}
