% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\section{\texorpdfstring{Термодинамический анзац Бете: основы метода}{Termodinamicheskij anzac Bete: osnovy metoda}}
\label{lec-TBA-basics}
\setcounter{page}1

На прошлой лекции мы пытались найти связь между точными $S$"=матрицами и возмущениями конформных теорий, исходя из интегралов движения, а также эвристических соображений. Сегодня мы обсудим метод, позволяющий точно и явно связать данные о рассеянии с параметрами конформной модели "--- \emph{термодинамический анзац Бета (TBA)}.%
%
\footnote{Не следует путать метод термодинамического анзаца Бете с анзацем Бете при конечных температурах. Хотя первый и использует методы последнего, он к нему не сводится.}
%
Рассмотрим релятивистскую систему в прямоугольной области эвклидова пространства размером $L\times R$, замкнутой в тор $T_{L,R}$ (отождествляемые линии помечены одинаковыми засечками):
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-,very thick] (0,-1) -- node[sloped,scale=.8] {$/$} (7,-1)
  -- node[sloped,scale=.8] {$/\!/$} (7,1)
  -- node[sloped,scale=.8] {$/$} (0,1)
  -- node[sloped,scale=.8] {$/\!/$} cycle;
\draw[->] (7,-1) node[below] {$L$} -- (7.7,-1) node[below] {$x^1$};
\draw[->] (0,1) node[left] {$R$} -- (0,1.7) node[left] {$x^2$};
}
$$
Мы можем рассматривать систему двумя способами. Если мы будем считать $x^1$ пространственной координатой, а $x^2$ "--- мнимым временем, величина $R^{-1}$ будет температурой системы, живущей в ящике длины $L$ («$L$"=картина»). Если мы поменяем местами смысл координат, величина $L^{-1}$ будет температурой, а $R$ "--- размером ящика («$R$"=картина»).

Пусть $\xi$ "--- корреляционная длина системы. Если мы выберем
\eq$$
R\ll\xi\ll L,
\label{R-xi-L-scales}
$$
то в $L$"=картине мы будем иметь большую систему при высокой температуре. Пусть $N$ "--- общее число частиц. Если теперь\eq$$
L\gg \xi N,
\label{L-gg-xiN}
$$
систему можно рассматривать как разреженную и изучать термодинамику частиц исходя из матрицы рассеяния. В $R$"=картине, наоборот, температура стремится к нулю, но зато размеры системы настолько малы, что мы можем пользоваться конформной теорией поля (и первыми поправками к ней) для ее исследования. Сравнивая выражения для статистической суммы, вычисленные обоими способами,
\eq$$
Z(L,R)=\tr_{\cH_L}e^{-RH_L}=\tr_{\cH_R}e^{-LH_R},
\label{Z(L,R)-def}
$$
мы можем связать ультрафиолетовое поведение системы с инфракрасным.

Начнем с $R$"=картины. Поскольку $L$ очень велико, наибольший вклад в статсумму в этой картине дает основное состояние, поэтому
\eq$$
\log Z(L,R)=-L\cE_0(R)+O(L^0),
\label{Z(L,R)-Rpic}
$$
где $\cE_0(R)$ "--- энергия основного состояния гамильтониана~$H_R$.

Рассмотрим возмущенную конформную теорию поля. Гамильтониан
$$
H_R=\int^R_0dx^2\,T^1_1(x)=\int^R_0dx^2\,(-T_{\fkz\fkz}-T_{\bfkz\bfkz}+2T_{\fkz\bfkz}),
$$
если мы примем $\fkz=x^2+ix^1$. Для эвклидова%
%
\footnote{В эвклидовом пространстве и в пространстве Минковского совпадают компоненты $T^\mu_\nu$, а компоненты $T_{\mu\nu}$ могут отличаться. В частности, в координатах $z,\bz$ эти компоненты отличаются знаком.}
%
тензора энергии"=импульса имеем
$$
T(x)=2\pi T_{\fkz\fkz},
\qquad
\bar T(x)=2\pi T_{\bfkz\bfkz},
\qquad
\Theta(x)=-2\pi T_{\fkz\bfkz}.
$$
Тогда 
\Align$$
H_R
&=H_R^{(0)}+H_R^\pert
=-{\bbT_0+\bar\bbT_0\over2\pi}-{1\over\pi}\int^R_0dx^2\,\Theta(x)
\notag
\\*
&={2\pi\over R}\left(\Lcyl_0+\bar\Lcyl_0-{c\over12}\right)+(1-\Delta_\pert)\lambda\int^R_0dx^2\,\Phi_\pert(x).
\label{HR-CFT}
$$
Полагая $\lambda=0$ получаем
\eq$$
\cE_0^{(0)}(R)=-{\pi c_\eff\over6R},
\qquad
c_\eff=c-12(\Delta_\tmin+\bar\Delta_\tmin).
\label{E0R-CFT}
$$
Размерности $\Delta_\tmin,\bar\Delta_\tmin$ являются конформными размерностями в двух киральностях примарного оператора $\Phi_\tmin$ с наименьшей масштабной размерностью ($d=\Delta+\bar\Delta$), согласующегося с условием периодичности по $R$. В теориях с невырожденным вакуумом инвариантных относительно пространственной инверсии эти размерности совпадают: $\Delta_\tmin=\bar\Delta_\tmin$. В унитарных теориях с тривиальными условиями периодичности они равны нулю и $c_\eff=c$. Величину $c_\eff$ называют \emph{эффективным центральным зарядом}. Именно эффективный центральный заряд мы будем находить в $L$"=картине. Вычислению термодинамических средних в $L$"=картине соответствуют мацубаровские граничные условия по $x^2$ (периодические для бозонных полей и антипериодические для фермионных полей). С такими условиями заведомо согласован единичный оператор, так что имеем
$$
\Delta_\tmin+\bar\Delta_\tmin\le0,
\qquad
c_\eff\ge c.
$$

Теперь разберемся, как записывается энергия основного состояния в возмущенной теории. Имеем
$$
\cE_0(R)=\langle\vac|H_R|\vac\rangle-\ve_\infty R
={\langle H_R\,e^{-S_\pert}\rangle_0\over\langle e^{-S_\pert}\rangle_0}-\ve_\infty R,
\qquad
S_\pert=\lambda\int d^2x\,\Phi_\pert
$$
Слагаемое, содержащее $\ve_\infty=\langle T^1_1\rangle_{R=\infty}$, связано с тем, что в теории поля при вычислении среднего от гамильтониана мы вычитаем вакуумные осцилляции на бесконечной прямой так, чтобы $\cE(R)\to0$ при $R\to\infty$.%
%
\footnote{Если связать теорию с гравитацией, величина $8\pi G\epsilon_\infty$ будет иметь смысл космологической постоянной.}
%
По теории возмущений величину $\ve_\infty$ вычислить нельзя, но мы увидим, как она извлекается из $L$"=картины. Среднее с индексом $0$ понимается как среднее по состоянию с наименьшей конформной размерностью в конформной теории поля:
\eq$$
\langle X\rangle_0=\langle\Phi_\tmin|X|\Phi_\tmin\rangle.
\label{VEV-CFT}
$$

Для вычисления $\cE_0(R)$ в возмущенной теории удобнее начать прямо с~(\ref{Z(L,R)-Rpic}):
$$
\cE_0(R)=-\lim_{L\to\infty}{1\over L}\log\left\langle e^{-L\cE_0^{(0)}(R)-S_\pert}\right\rangle_0-\epsilon_\infty R
=\cE_0^{(0)}(R)-\epsilon_\infty R-\lim_{L\to\infty}{1\over L}\log\sum^\infty_{n=0}{(-1)^n\over n!}\langle S_\pert^n\rangle_0.
$$
Вычисление логарифма эквивалентно замене средних $\langle S_\pert^n\rangle_0$ на соответствующие связные части $\langle S_\pert^n\rangle_{0,c}$ и выпадению первого слагаемого ($\langle1\rangle_{0,c}=0$). Деление на $L$ сокращает интеграл по $x^1$ в одном из множителей. Отсюда получаем
$$
\cE_0(R)=\cE^{(0)}_0(R)-\ve_\infty R
+\lambda\int dx^2\sum^\infty_{n=1}{(-1)^{n-1}\over n!}\langle\Phi_\pert S_\pert^{n-1}\rangle_{0,c}.
$$
Перемасштабируем, заменив $x\to Rx$:
\eq$$
\Aligned{
\cE_0(R)
&=-{\pi c_\eff\over6R}-\ve_\infty R+\lambda\sum^\infty_{n=1}{(-\lambda)^{n-1}\over n!}R^{2n(1-\Delta_\pert)-1}\mathbb M_n(L/R)
\\
\mathbb M_n(l)
&=\int_{T_{l,1}}d^2x_1\cdots d^2x_{n-1}\,\langle\Phi_\pert(x)\Phi_\pert(x_1)\cdots\Phi_\pert(x_{n-1})\rangle_{0,c}
}\label{E0R-fin}
$$
Интегралы $\mathbb M_n$ приведены к безразмерному виду масштабированием с~$T_{L,R}$ на~$T_{L/R,1}$. В силу трансляционной инвариантности они не зависят от точки~$x$. В пределе $l=L/R\to\infty$ интегралы превращаются в интегралы по цилиндру. Конформным преобразованием их можно привести к интегралам по плоскости:
\eq$$
\mathbb M_n(\infty)
=(2\pi)^{2-2n(1-\Delta_\pert)}\int_{\R^2}d^2x_1\cdots d^2x_{n-1}\,\langle\Phi_\pert(1,1)\Phi_\pert(x_1)\cdots\Phi_\pert(x_{n-1})\rangle_{0,c}\prod^{n-1}_{i=1}|z_i|^{2\Delta_\pert-2}
\label{Mn-ints-plane}
$$

Если $\Delta_\tmin$ или $\bar\Delta_\tmin$ равно нулю (а это всегда так, когда теория унитарна), имеем $\langle\Phi_\pert\rangle_{0,c}=0$. Это значит, что $\mathbb M_0=0$ и разложение начинается с $n=2$. В противном случае разложение начинается с $n=1$. Отсюда заключаем
\eq$$
\cE_0(R)=-{\pi c_\eff\over6R}-\ve_\infty R+O(R^\alpha),
\qquad
\alpha=\Cases{1-2\Delta_\pert,&\text{если $\Delta_\tmin,\bar\Delta_\tmin<0$;}\\
  3-4\Delta_\pert,&\text{если $\Delta_\tmin=0$ или $\bar\Delta_\tmin=0$.}}
\label{E0R-estimation}
$$

Теперь обратимся к $L$"=картине. Чтобы понять основной принцип, разберем сначала случай одной нейтральной частицы массы $m$ с матрицей рассеяния $S(\theta)=\pm e^{i\phi(\theta)}$, $\phi(-\theta)=-\phi(\theta)$. Как мы уже говорили, будем предполагать, что термодинамика частиц при достаточно больших значениях $L$ полностью определяется асимптотической волновой функцией. Напишем уравнения Бете, которые следуют из периодичности этой волновой функции:
\eq$$
e^{imL\sh\theta_i}\prod^N_{j=1\atop(j\ne i)}S(\theta_i-\theta_j)=(-1)^{\rm F},
\qquad
i=1,\ldots,N.
\label{TBA-BE}
$$
Где ${\rm F}=0$ в случае бозонов и ${\rm F}=1$ в случае фермионов. Прологарифмируем эти уравнения:
\eq$$
mL\sh\theta_i+\sum^N_{j=1}\phi(\theta_i-\theta_j)=2\pi n_i,
\label{TBA-BE-log}
$$
причем $n_i\in\Z+{N-1+{\rm F}\over2}$ в случае $S(0)=-1$ и $n_i\in\Z+{{\rm F}\over2}$ в случае $S(0)=1$. Для каждого решения уравнений Бете $\{\theta_i\}$ зададим функцию $\theta(n)$ уравнением
\eq$$
mL\sh\theta(n)+\sum^N_{j=1}\phi(\theta(n)-\theta_j)=2\pi n.
\label{TBA-theta(n)-def}
$$
Очевидно $\theta(n_i)=\theta_i$, а при всех значениях $n\not\in\{n_i\}$ значения $\theta(n)$ будут интерпретироваться как «незаполненные состояния». По умолчанию мы будем предполагать, что значения~$n_i$ расположены по возрастанию: $n_{i+1}\ge n_i$, причем равные значения отвечают кратным корням уравнений Бете, если таковые имеются. Мы будем также предполагать, что решения уравнений Бете удовлетворяют условию $\theta_{i+1}\ge\theta_i$ ($\forall i$) и, более того, $\theta(n+1)\ge\theta(n)$ ($\forall n$). Это верно в случае растущей функции $\phi(\theta)$, но и в случае убывающей функции может быть верно при разумных условиях.

При больших $L$ разности $\theta(n+1)-\theta(n)$ малы, и можно ввести спектральную плотность состояний~$\rho(\theta)$ и спектральную плотность частиц~$\rho^\bullet(\theta)$:
\eq$$
\rho(\theta)=\left\langle2\pi\over L(\theta(n+1)-\theta(n))\right\rangle_{\theta(n)\simeq\theta},
\qquad
\rho^\bullet(\theta)=\left\langle2\pi k\over L(\theta_{i+k}-\theta_i)\right\rangle_{\theta_i\simeq\theta},
\label{TBA-rho-rho1-def}
$$
где $k$ не меньше кратности вырождения корня $\theta_i$. Очевидно, интеграл от $\rho^\bullet$ равен плотности частиц:
\eq$$
\int{d\theta\over2\pi}\,\rho^\bullet(\theta)={N\over L},
\label{TBA-rho1-norm}
$$
а интеграл с весом $m\ch\theta$ дает энергию состояния:
\eq$$
E[\rho^\bullet]=mL\int{d\theta\over2\pi}\,\rho^\bullet(\theta)\ch\theta.
\label{TBA-E[rho1]}
$$
Все интегралы по $\theta$ мы будем понимать по всей прямой $\R$, если не оговорено иное.

Возьмем разность двух уравнений (\ref{TBA-theta(n)-def}) при двух последовательных значениях $n$ и поделим на $L(\theta(n+1)-\theta(n))$. Заменив сумму на интеграл, получим
\eq$$
\rho(\theta)=m\ch\theta+\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'(\theta-\theta')\rho^\bullet(\theta').
\label{TBA-BE-continuous}
$$
Это уравнение позволяет для каждой заданной функции $\rho^\bullet(\theta)$ найти соответствующую плотность состояний~$\rho(\theta)$. Но при конечных температурах необходимо просуммировать все возможные наборы $\{n_i\}$ с гиббсовскими весами. Трудность состоит в нетривиальной мере функционального интегрирования по~$\rho^\bullet$ в непрерывном пределе. Поэтому вместо прямого суммирования будем искать минимум свободной энергии. Положим
\eq$$
F[\rho,\rho^\bullet]=E[\rho^\bullet]-R^{-1}S[\rho,\rho^\bullet],
\label{TBA-free-energy}
$$
Чтобы найти энтропию, воспользуемся обычным трюком из теории растворов. У нас есть две ситуации:
\begin{itemize}
\item «Фермионный» случай. Если частицы являются фермионами с~$S(0)=1$ или бозонами с~$S(0)=-1$, каждое значение $n_i$ может быть заполнено только один раз.
\item «Бозонный» случай. Если частицы являются бозонами с~$S(0)=1$ или фермионами с~$S(0)=-1$, каждое значение $n_i$ может заполняться неограниченным числом частиц.
\end{itemize}
Разобьем вещественную прямую на небольшие интервалы $\Delta_k=[\eta_k,\eta_{k+1}]$. Полную энтропию $S$ будем понимать как сумму вкладов $\Delta S_k$ от значений $\theta\in\Delta_k$. Энтропия $\Delta S_k$ понимается как число «микроскопических» состояний, которыми реализуется «макроскопическое» состояние, которое задается числом частиц $N^\bullet_k$ на числе состояний $N_k$ в этом интервале.

В «фермионном» случае количество таких состояний есть число сочетаний из~$N_k$ по~$N^\bullet_k$ (раскладываем~$N^\bullet_k$ частиц по~$N_k$ ящикам, куда помещается одна частица), так что
$$
\Delta S_k=\log{N_k!\over N^\bullet_k!(N_k-N^\bullet_k)!}\simeq N_k\log N_k-N^\bullet_k\log N^\bullet_k-(N_k-N^\bullet_k)\log(N_k-N^\bullet_k).
$$
В «бозонном» случае количество таких состояний есть число сочетаний из~$N_k+N^\bullet_k-1$ по~$N^\bullet_k$. Действительно, возьмем $N_k+N^\bullet_k-1$ ящиков, расставленных в ряд, и положим в них $N^\bullet_k$ частиц по одной в ящик. Останется $N_k-1$ пустых мест. Возьмем $i$-тое слева пустое место. Сосчитаем число $l_i$ частиц лежащих слева от него в ряд до следующего пустого места. Будем считать это числом заполнения $i$-го состояния. Числом заполнения $N_k$-го состояния будем считать количество частиц, лежащих между самым правым пустым местом и правым краем. Это дает взаимно"=однозначное соответствие между микроскопическими конфигурациями и раскладкой частиц по ящикам. Итак, имеем
$$
\Delta S_k=\log{(N_k+N^\bullet_k-1)!\over N^\bullet_k!(N_k-1)!}\simeq(N_k+N^\bullet_k)\log(N_k+N^\bullet_k)-N^\bullet_k\log N^\bullet_k-N_k\log N_k.
$$
Устремляя размеры интервалов к нулю и заменяя $N_k$ на $L\rho(\theta)\,{d\theta\over2\pi}$ и $N^\bullet_k$ на $L\rho^\bullet(\theta)\,{d\theta\over2\pi}$, получаем
\eq$$
S[\rho,\rho^\bullet]=L\int{d\theta\over2\pi}\,(\rho\log\rho-\rho^\bullet\log\rho^\bullet-(\rho-\rho^\bullet)\log(\rho-\rho^\bullet))
\label{TBA-Sfermion}
$$
в «фермионном» случае и
\eq$$
S[\rho,\rho^\bullet]=L\int{d\theta\over2\pi}\,((\rho+\rho^\bullet)\log(\rho+\rho^\bullet)-\rho^\bullet\log\rho^\bullet-\rho\log\rho)
\label{TBA-Sboson}
$$
Давайте введем знаковый множитель
\eq$$
\sigma=(-1)^{\rm F}S(0)=\Cases{1&\text{в «бозонном» случае;}\\
  -1&\text{в «фермионном» случае.}}
\label{sigma-def}
$$
Тогда энтропию можно записать в виде
\eq$$
S[\rho,\rho^\bullet]=L\int{d\theta\over2\pi}\,
\left((\sigma\rho+\rho^\bullet)\log(\rho+\sigma\rho^\bullet)-\sigma\rho\log\rho-\rho^\bullet\log\rho^\bullet\right).
\label{TBA-entropy}
$$

Теперь нужно найти минимум функционала $F[\rho,\rho^\bullet]$ с учетом условия~(\ref{TBA-BE-continuous}):
$$
0={2\pi R\over L}{\delta F[\rho[\rho^\bullet],\rho^\bullet]\over\delta\rho^\bullet(\theta)}
=mR\ch\theta
-\sigma\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'(\theta'-\theta)\log{\rho(\theta')+\sigma\rho^\bullet(\theta')\over\rho(\theta')}
-\log{\rho(\theta)+\sigma\rho^\bullet(\theta)\over\rho^\bullet(\theta)}.
$$
Мы учли, что
$$
{\delta\rho(\theta')\over\delta\rho^\bullet(\theta)}={1\over2\pi}\phi'(\theta'-\theta).
$$
Давайте для последнего логарифма в условии минимума введем специальное обозначение:
\eq$$
\epsilon(\theta)=\log{\rho(\theta)+\sigma\rho^\bullet(\theta)\over\rho^\bullet(\theta)}.
\label{TBA-epsilon-def}
$$
По"=другому это можно записать так
\eq$$
{\rho^\bullet(\theta)\over\rho(\theta)}={1\over e^{\epsilon(\theta)}-\sigma}.
\label{TBA-ocnum}
$$
В левой части стоит функция заполнения, и она выражается через $\epsilon(\theta)$ так же, как в случае свободных частиц она выражается через $\beta E(\theta)$. Величину $\epsilon(\theta)$ называют \emph{псевдоэнергией}. В терминах псевдоэнергии полученные уравнения записываются в виде нелинейного интегрального уравнения, называемого уравнением \emph{уравнения Янга"--~Янга}~\cite{YY}:
\eq$$
\epsilon(\theta)-\sigma\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'(\theta-\theta')\log\left(1-\sigma e^{-\epsilon(\theta')}\right)=mR\ch\theta.
\label{TBA-YYeq}
$$
Покажем, что все остальные величины можно выразить через решение $\epsilon(\theta,mR)$ этого уравнения.

Прежде всего, с помощью (\ref{TBA-YYeq}) и~(\ref{TBA-BE-continuous}) можно исключить $\rho$ и~$\rho^\bullet$ в выражении для свободной энергии, которая, как мы знаем из~(\ref{Z(L,R)-Rpic}), пропорциональна энергии основного состояния в $R$"=картине~$\cE_0(R)$:
\eq$$
\cE_0(R)={RF\over L}=\sigma m\int{d\theta\over2\pi}\,\ch\theta\,\log\left(1-\sigma e^{-\epsilon(\theta)}\right).
\label{TBA-F-epsilon}
$$
Удобно ввести скейлинговую функцию $f(r)$ соотношением
\eq$$
f(mR)=R\cE_0(R)=\sigma mR\int{d\theta\over2\pi}\,\ch\theta\,\log\left(1-\sigma e^{-\epsilon(\theta)}\right).
\label{TBA-f(r)}
$$
Эта функция не зависит от размерных параметров. В силу (\ref{E0R-CFT}) через нее легко выражается эффективный центральный заряд:
\eq$$
c_\eff=-{6\over\pi}f(0).
\label{TBA-ceff}
$$

Дифференцируя уравнение~(\ref{TBA-YYeq}) по $R$ и сравнивая результат с~(\ref{TBA-BE-continuous}), получаем
\eq$$
\rho(\theta)={\d\epsilon(\theta,mR)\over\d R}.
\label{TBA-rho-epsilon}
$$
Отсюда следует, что
\eq$$
{N\over L}=\sigma{\d\over\d R}\int{d\theta\over2\pi}\,\log\left(1-\sigma e^{-\epsilon(\theta,mR)}\right).
\label{TBA-N-epsilon}
$$
Итак, у нас есть система нелинейных уравнений. В следующий раз мы изучим, как решать эти уравнения.

Довольно несложно обобщить результат на случай нескольких частиц с диагональной матрицей рассеяния. Пусть имеется набор частиц $a=1,\ldots,r$ с массами $m_a$ и матрицами рассеяния $S_{ab}(\theta)=Z_a^{\delta_{ab}}e^{i\phi_{ab}(\theta)}$, $Z_a=\pm1$, $\phi_{ab}(\theta)=-\phi_{ba}(-\theta)$. Мы будем принимать $\sigma_a=(-1)^{{\rm F}_a}Z_a$, то есть $\sigma_a=1$ для «бозонных» частиц и $\sigma_a=-1$ для «фермионных» частиц. Тогда уравнения Бете имеют вид:
\eq$$
m_aL\sh\theta^{(a)}_i+\sum^r_{b=1}\sum^{N_b}_{j=1}\phi_{ab}(\theta^{(a)}_i-\theta^{(b)}_j)=2\pi n^{(a)}_i.
\label{TBA-BE-mp}
$$
Совершенно аналогично вводим плотности состояний~$\rho_a(\theta)$ и частиц~$\rho^\bullet_a(\theta)$, причем
\eq$$
N_a=L\int{d\theta\over2\pi}\,\rho^\bullet_a(\theta),
\qquad
E[\rho^\bullet]=L\int{d\theta\over2\pi}\sum^r_{a=1}\rho^\bullet_a(\theta)m_a\ch\theta.
\label{TBA-N-E-mp}
$$
В термодинамическом пределе имеем
\eq$$
\rho_a(\theta)=m_a\ch\theta+\sum^r_{b=1}\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'_{ab}(\theta-\theta')\rho^\bullet_b(\theta').
\label{TBA-BE-continuous-mp}
$$
В остальном выводе достаточно просто заменить
$$
\rho\to\rho_a,
\quad
\rho^\bullet\to\rho^\bullet_a,
\quad
\epsilon\to\epsilon_a,
\quad
\sigma\to\sigma_a,
\quad
\phi(\theta-\theta')\to\phi_{ab}(\theta-\theta'),
\quad
\int{d\theta\over2\pi}\to\sum_a\int{d\theta\over2\pi}.
$$

Здесь есть одна тонкость. Предположим, что среди частиц есть пары частица"--~античастица ($a,\bar a$). Тогда имеются сохраняющиеся заряды $Q_a$, собственные значения которых равны $N_a-N_{\bar a}$, и мы должны искать минимум с учетом сохранения этих зарядов. Чтобы учесть это, легче использовать большой канонический ансамбль и приписать каждому сорту частиц химический потенциал~$\mu_a$. Надо искать минимум большого термодинамического потенциала
\eq$$
\Omega[\rho,\rho^\bullet]=E[\rho^\bullet]-R^{-1}S[\rho,\rho^\bullet]-\sum^r_{a=1}\mu_aN_a.
\label{TBA-Omega-potential}
$$
При этом надо полагать $\mu_a=0$ для нейтральных частиц и $\mu_{\bar a}=-\mu_a$ для пар частица"--~античастица. Уравнение Янга"--~Янга принимает вид
\eq$$
\epsilon_a(\theta)-\sum^r_{b=1}\sigma_b\int{d\theta'\over2\pi}\,\phi'_{ab}(\theta-\theta')\log\left(1-\sigma_be^{-\epsilon_b(\theta')}\right)
=R(m_a\ch\theta-\mu_a).
\label{TBA-YYeq-GCE}
$$
Далее, большой потенциал имеет тот же вид, что и свободная энергия в случае с нулевыми химпотенциалами:
\eq$$
{R\Omega\over L}=\sum^r_{a=1}\int{d\theta\over2\pi}\,\sigma_am_a\ch\theta\,\log\left(1-\sigma_ae^{-\epsilon_a(\theta)}\right).
\label{TBA-Omega-fin}
$$
Из-за присутствия в правой части (\ref{TBA-YYeq-GCE}) химических потенциалов плотность состояний вычисляется по несколько другой формуле:
\eq$$
\rho_a(\theta)={m\over R}{\d\epsilon_a(\theta)\over\d m},
\qquad
{N_a\over L}={\sigma_am\over R}{\d\over\d m}\int{d\theta\over2\pi}\,\log\left(1-\sigma_ae^{-\epsilon_a(\theta,R)}\right).
\label{TBA-rho-m}
$$
где $m$ "--- общий множитель всех масс. Это значит, что мы записываем массы в виде $m_a=\kappa_am$, где $\kappa_a$ "--- безразмерные константы. Энергия $\cE_0(R)$ выражается через свободную энергию
\eq$$
\cE_0(R)={RF\over L},
\qquad
F=\Omega+\sum^r_{a=1}\mu_aN_a.
\label{TBA-F-Omega}
$$
В симметричном случае $N_a=N_{\bar a}$ ($\forall a$) все химические потенциалы равны нулю, $\mu_a=0$, и ответы не отличаются от случая нейтральных частиц. Однако в некоторых задачах интересен и несимметричный случай.




\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

\begin{asparaenum}[\bf1.]

\item Покажите, что в модели свободного безмассового майорановского фермиона с граничными условиями Невё"--~Шварца ($\psi(x^1,\allowbreak x^2+R)=-\psi(x^1,x^2)$) эффективный центральный заряд равен $c_\eff^{NS}={1\over2}$, а в модели с граничными условиями Рамона ($\psi(x^1,x^2+R)=\psi(x^1,x^2)$) он равен $c_\eff^R=-1$.

\item Аналогично найдите эффективный заряд для свободного безмассового нейтрального бозона с периодическими и антипериодическими граничными условиями.

\item Выведите~(\ref{TBA-F-epsilon}), (\ref{TBA-rho-epsilon}) и~(\ref{TBA-N-epsilon}).

\item Найдите свободную энергию и число частиц в системе из одной частицы в пределе низких температур $mR\gg1$ до членов порядка~$e^{-2mR}$. Получите явные формулы в элементарных функциях в порядке~$\e^{-mR}$.

\starenumi
\item Безмассовые теории можно описать как системы частиц со спектром $p^0=p^1={m\over2}e^\theta$ (правые частицы) или $p^0=-p^1={m\over2}e^{-\theta}$ (левые частицы). Рассмотрим теорию, которая содержит одну правую частицу $r$ и одну левую частицу $l$ с одинаковым параметром~$m$, причем между ними имеется три скалярные матрицы рассеяния $S_{rr}(\theta)$, $S_{ll}(\theta)$ и $S_{rl}(\theta)$. Какие условия накладывают на эти матрицы условия унитарности и кроссинг"=симметрии? При каких условиях такая теория масштабно"=инвариантна, а при каких "--- нет? Напишите уравнения термодинамического анзаца Бете и формулы для свободной энергии и чисел частиц в этой теории.

\end{asparaenum}


\null
\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Семинар~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Уравнение Янга"--~Янга для модели Либа"--~Линихера}
\medskip

Рассмотрим модель Либа"--~Линихера. В термодинамическом пределе уравнение Бете для него имеет вид
$$
1+\int{dp'\over2\pi}\phi'(p-p')\rho^\bullet(p')=\rho(p),
\qquad
\phi(p)=-i\log{mc+ip\over mc-ip},
$$
причем число частиц и энергия равны
$$
N=L\int{dp\over2\pi}\,\rho^\bullet(p),
\quad
E=L\int{dp\over2\pi}\,{p^2\over2m}\rho^\bullet(p).
$$
Мы покажем, что уравнение Янга"--~Янга имеет вид
$$
\epsilon(p)+\int{dp'\over2\pi}\phi'(p-p')\log(1+e^{-\epsilon(p')})=R\left({p^2\over2m}-\mu\right).
$$
При этом большой термодинамический потенциал равен
$$
\Omega=-{L\over R}\int{dp\over2\pi}\log(1+e^{-\epsilon(p)}).
$$

\null
\bigbreak
\bigbreak
\centerline{\bf Дополнение к лекции~\thesection}
\medskip
\centerline{\bf Иерархический анзац Бете}
\medskip

Вопрос такой: а что делать, если матрица рассеяния частиц недиагональна? Рассмотрим модель с $S$"=матрицей~$S(\theta)^{\alpha'_1\alpha'_2}_{\alpha_1\alpha_2}$. Для простоты будем считать, что имеется одна частица с несколькими внутренними состояниями, например солитон модели синус"=Гордона. Условие периодичности для волновой функции имеет вид
$$
e^{imL\sh\theta_i}S_{i,i-1}(\theta_i-\theta_{i-1})\cdots S_{i1}(\theta_i-\theta_1)
S_{i,N}(\theta_i-\theta_N)\cdots S_{i,i+1}(\theta_i-\theta_{i+1})|\theta_1,\ldots,\theta_N\rangle
=|\theta_1,\ldots,\theta_N\rangle.
$$
Графически произведение $S$"=матриц в этом выражении можно изобразить так:
$$
\tikz{
\draw[->] (-3.5,-.5) node[below] {$\alpha_{i+1}$} -- ++(0,1) node[above] {$\alpha'_{i+1}$};
\draw[->] (-.5,-.5) node[below] {$\alpha_N$} -- ++(0,1) node[above] {$\alpha'_N$};
\draw[dotted] (0,-.5) -- ++(0,1);
\draw[->] (.5,-.5) node[below] {$\alpha_1$} -- ++(0,1) node[above] {$\alpha'_1$};
\draw[->] (3.5,-.5) node[below] {$\alpha_{i-1}$} -- ++(0,1) node[above] {$\alpha'_{i-1}$};
\draw[-] (-4.5,-.5) node[below] {$\alpha_i$} -- (-4.5,-.25) to[out=90,in=180] (-4.25,0) -- (-3,0); \draw[dashed] (-3,0) -- (-1,0);
  \draw[-] (-1,0) -- (1,0); \draw[dashed] (1,0) -- (3,0);
  \draw[->] (3,0) -- (4.25,0) to[out=0,in=-90] (4.5,.25) -- (4.5,.5) node[above] {$\alpha'_i$};
}
$$
Переставляя часть справа от пунктирной линии влево, получим
$$
\tikz{
\draw[->] (-4,-.5) node[below] {$\alpha_1$} -- ++(0,1) node[above] {$\alpha'_1$};
\draw[->] (-1,-.5) node[below] {$\alpha_{i-1}$} -- ++(0,1) node[above] {$\alpha'_{i-1}$};
\draw[->] (1,-.5) node[below] {$\alpha_{i+1}$} -- ++(0,1) node[above] {$\alpha'_{i+1}$};
\draw[->] (4,-.5) node[below] {$\alpha_N$} -- ++(0,1) node[above] {$\alpha'_N$};
\draw[-] (0,-.5) node[below] {$\alpha_i$} -- (0,-.25) to[out=90,in=180] (.25,0) -- (1.5,0); \draw[dashed] (1.5,0) -- (3.5,0);
  \draw[-] (3.5,0) -- (4.5,0); \draw[dotted] (4.5,-.25) -- node[right] {$i$} (4.5,.25);
\draw[dotted] (-4.5,-.25) -- node[left] {$i$} (-4.5,.25); \draw[-] (-4.5,0) -- (-3.5,0);
  \draw[dashed] (-3.5,0) -- (-1.5,0); \draw[->] (-1.5,0) -- (-.25,0) to[out=0,in=-90] (0,.25) -- (0,.5) node[above] {$\alpha'_i$};
}
$$
Теперь вспомним, что в большом количестве задач матрица рассеяния в нуле сводится к матрице перестановки: $S(0)=\pm P$. Тогда средний узел можно заменить (с точностью до знака) на матрицу рассеяния:
$$
\Gathered{
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-4,-.5) node[below] {$\alpha_1$} -- ++(0,1) node[above] {$\alpha'_1$};
\draw[->] (-1,-.5) node[below] {$\alpha_{i-1}$} -- ++(0,1) node[above] {$\alpha'_{i-1}$};
\draw[->] (0,-.5) node[below] {$\alpha_i$} -- ++(0,1) node[above] {$\alpha'_i$};
\draw[->] (1,-.5) node[below] {$\alpha_{i+1}$} -- ++(0,1) node[above] {$\alpha'_{i+1}$};
\draw[->] (4,-.5) node[below] {$\alpha_N$} -- ++(0,1) node[above] {$\alpha'_N$};
\draw[dotted] (-5,-.25) -- node[left] {$0$} (-5,.25); \draw[-] (-5,0) -- node[pos=.25,above] {$\theta_i$} (-3.5,0);
  \draw[dashed] (-3.5,0) -- (-1.5,0); \draw[-] (-1.5,0) -- (1.5,0); \draw[dashed] (1.5,0) -- (3.5,0);
  \draw[->] (3.5,0) -- (4.5,0); \draw[dotted] (4.5,-.25) -- node[right] {$0$} (4.5,.25);
}
\quad=
\\
=\tr_{V_0}S_{0N}(\theta_i-\theta_N)\cdots S_{02}(\theta_i-\theta_2)S_{01}(\theta_i-\theta_1)
=T(\theta_i).
}$$
Мы видим, что произведение матриц рассеяния вкладывается в семейство коммутирующих трансфер"=матриц
\eq$$
T(\theta)=\tr_{V_0}L_{1\ldots N}(\theta),
\qquad
L_{1\ldots N}(\theta)=S_{0N}(\theta-\theta_N)\cdots S_{02}(\theta-\theta_2)S_{01}(\theta-\theta_1),
\label{T-L-Smatrices}
$$
где $V_0$ играет роль вспомогательного пространства, $V_1\otimes\cdots\otimes V_N$ "--- квантового пространства. Нам нужно найти такие векторы
\eq$$
|I;\theta_1,\ldots,\theta_N\rangle=\sum_{\{\beta_i\}}A^{\beta_1\ldots\beta_N}_I|\theta_1,\ldots,\theta_N\rangle_{\beta_1\ldots\beta_N},
\qquad
I=1,\ldots,(\dim V)^N,
\label{lincombs}
$$
которые бы диагонализовывали трансфер"=матрицы~$T(\theta)$:
\eq$$
T(\theta)|I;\theta_1,\ldots,\theta_N\rangle=\Lambda_I(\theta;\theta_1,\ldots,\theta_N)|I;\theta_1,\ldots,\theta_N\rangle,
\label{T-diagonalization}
$$
а затем решить уравнения
\eq$$
\e^{imL\sh\theta_i}\Lambda_I(\theta_i;\theta_1,\ldots,\theta_N)=\pm1.
\label{Bethe-primary}
$$
Эта система уравнений представляет собой \emph{первичную} систему уравнений Бете.

Диагонализация трансфер"=матриц выполняется методом алгебраического анзаца Бете. Рассмотрим самый простой пример "--- модель синус"=Гордона. В этом случае для системы солитонов имеем $S(0)=-P$ (в случае фермионов $S(0)=P$, но мы можем получить ту же $-1$ накладывая на фермионы граничное условие Невё"--~Шварца).

Оператор~$L(\theta)$ представляет собой матрицу $2\times2$ во вспомогательном пространстве:
\eq$$
L(\theta)=\pMatrix{A(\theta)&B(\theta)\\C(\theta)&D(\theta)},
\qquad
T(\theta)=A(\theta)+D(\theta).
\label{L-ABCD}
$$
Оператор $C(\theta)$ увеличивает топологическое число состояния на единицу, а $B(\theta)$ "--- уменьшает. Введем реперное состояние $|\Omega;\vec\theta\rangle$, состоящее только из солитонов с топологическим числом~$+1$:
\eq$$
C(\theta)|\Omega;\vec\theta\rangle=0.
\label{Omegastate-def}
$$
Операторы $A,D$ действуют на этом состоянии просто
$$
A(\theta)|\Omega;\vec\theta\rangle=\prod^N_{i=1}a(\theta-\theta_i)|\Omega;\vec\theta\rangle,
\qquad
D(\theta)|\Omega;\vec\theta\rangle=\prod^N_{i=1}b(\theta-\theta_i)|\Omega;\vec\theta\rangle.
$$
Заметим, что правая часть второго тождества обращается в нуль при $\theta=\theta_i$. Поэтому собственное значение
$$
\Lambda_\Omega(\theta;\vec\theta)=\prod^N_{i=1}a(\theta-\theta_i)+\prod^N_{i=1}b(\theta-\theta_i)
$$
имеет в важных для нас точках вид произведения
\eq$$
\Lambda_\Omega(\theta_i;\vec\theta)=\prod^N_{j=1}a(\theta_i-\theta_j).
\label{LambdaOmega-thetai}
$$
Теперь построим состояния Бете
\eq$$
|\lambda_1,\ldots,\lambda_n;\vec\theta\rangle
=B({\textstyle{i\pi\over2}}+\lambda_1)\cdots B({\textstyle{i\pi\over2}}+\lambda_n)|\Omega;\vec\theta\rangle
\label{Bethestates-def}
$$
с топологическим числом $N-2n$. Слагаемые~${i\pi\over2}$ добавлены, чтобы собственные значения оператора «импульса» в спиновом пространстве~$p(\lambda)$,
$$
e^{ip(\lambda)}={b({i\pi\over2}+\lambda)\over a({i\pi\over2}+\lambda)}=-e^{i\Phi_{1/2}(\lambda)},
\qquad
\Phi_x(\lambda)=-i\log{\sh{\lambda+i\pi x\over p}\over\sh{\lambda-i\pi x\over p}},
$$
были вещественны при вещественных~$\lambda_i$. Состояния~(\ref{Bethestates-def}) являются собственными при выполнении \emph{вторичной} системы уравнений Бете. Пусть $u_k={i\pi\over2}+\lambda_k$. Тогда
\eq$$
\prod^N_{i=1}{b(u_k-\theta_i)\over a(u_k-\theta_i)}=\prod^n_{l=1\atop l\ne i}{a(u_l-u_k)b(u_k-u_l)\over b(u_l-u_k)a(u_k-u_l)}
\label{Bethe-secondary-ab}
$$
или
\eq$$
\prod^N_{i=1}{\sh{{i\pi\over2}+\lambda_k-\theta_i\over p}\over\sh{{i\pi\over2}-\lambda_k+\theta_i\over p}}
=\prod^n_{l=1}{\sh{\lambda_k-\lambda_l+i\pi\over p}\over\sh{\lambda_k-\lambda_l-i\pi\over p}}.
\label{Bethe-secondary}
$$
При этом собственные значения
\eq$$
\Lambda_{\vec\lambda}(\theta;\vec\theta)=\prod^N_{i=1}a(\theta-\theta_i)\prod^n_{k=1}{a(u_k-\theta)\over b(u_k-\theta)}
+\prod^N_{i=1}b(\theta-\theta_i)\prod^n_{k=1}{a(\theta-u_k)\over b(\theta)-u_k}
\label{Lambda-veclambda}
$$
в интересующих нас точках тоже сводятся к первому слагаемому:
\eq$$
\Lambda_{\vec\lambda}(\theta_i;\vec\theta)=\prod^N_{j=1}a(\theta_i-\theta_j)
\prod^n_{k=1}{\sh{{i\pi\over2}-\lambda_k+\theta_i\over p}\over\sh{{i\pi\over2}+\lambda_k-\theta_i\over p}}.
\label{Lambda-veclambda-thetai}
$$
Факторизованный вид собственных значений позволяет логарифмировать первичные уравнения Бете и получить систему уравнений вида:
\eq$$
\Aligned{
mL\sh\theta_i-\sum^N_{j=1}\phi(\theta_i-\theta_j)-\sum^n_{k=1}\Phi_{1/2}(\theta_i-\lambda_k)
&=2\pi n_i,
\quad
&i
&=1,\ldots,N,
\\
\sum^N_{i=1}\Phi_{1/2}(\lambda_k-\theta_i)-\sum^n_{l=1}\Phi_1(\lambda_k-\lambda_l)
&=2\pi\nu_k,
\quad
&k
&=1,\ldots,n.
}\label{Bethe-doulbe-log}
$$
Здесь $\phi(\theta)=-i\log a(\theta)$, а числа $n_i$, $\nu_k$ являются целыми или полуцелыми в зависимости от четности чисел~$N$ и~$n$. Система, конечно, сложная, но допускает столь же подробное исследование в термодинамическом пределе, как и обычная система уравнений Бете.

