\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,russian,fullpage}
%\usepackage[notref]{showkeys}

\allowdisplaybreaks

% Back to Knuth's definitions
\makeatletter
\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\let\frac\undefined
\let\dfrac\undefined
\let\genfrac\undefined
\makeatother
% End 'Back...' section

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\i{{\rm i}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vp{\varphi}
\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\arth{\mathop{\rm arth}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\bzero{{\boldsymbol 0}}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bp{{\boldsymbol p}}
\def\br{{\boldsymbol r}}
\def\bk{{\boldsymbol k}}
\def\bR{{\boldsymbol R}}
\def\bS{{\boldsymbol S}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cA{{\cal A}}
\def\cD{{\cal D}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cL{{\cal L}}
\def\cM{{\cal M}}
\def\cO{{\cal O}}
\def\cS{{\cal S}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\trho{{\tilde\rho}}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}
\def\eF{{\epsilon_F}}
\def\Ech{{E_{\text{ch}}}}
\def\Esp{{E_{\text{sp}}}}
\def\Espel{{E_{\text{sp}}^{\text{el}}}}
\def\Eim{{E_{\text{im}}}}
\def\el{{\text{el}}}
\def\im{{\text{im}}}
\def\Gi{{\text{\sffamily Gi}}}
\def\qu{{\text{qu}}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}
\def\llangle{\mathopen{\langle\!\langle}}
\def\rrangle{\mathclose{\rangle\!\rangle}}
\def\Biggllangle{\Biggl\langle\!\!\!\Biggl\langle}
\def\Biggrrangle{\Biggr\rangle\!\!\!\Biggr\rangle}

\def\aux{{\tilde1}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
\def\mpicture#1#2\endmpicture{\quad\vcenter{\hbox{%
	\vphantom{\vrule height#1 depth#1}%
	\beginpicture
	\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
	#2
	\endpicture}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}


\begin{center}
{\bf Лекция~6}\\
{\bf Двумерная модель Изинга. Дуальность. Трансфер-матрица.}
\end{center}

Сейчас мы начнем разбирать важный пример точно решаемой модели --- двумерную модель Изинга со взаимодействием только ближайших соседей в нулевом внешнем поле. Но прежде всего рассмотрим еще более простую задачу --- одномерную модель Изинга. Рассмотрим цепочку из $N$ узлов. Энергия конфигурации $C=\{\sigma_i\}_{i=1}^N$ равна
\eq{
E(C)=-\sum_{i=1}^N(I\sigma_i\sigma_{i+1}+h\sigma_i).
\label{1dIsingE}
}
Здесь мы считаем, что $\sigma_{N+1}=\sigma_1$, то есть предполагаем \textit{циклические граничные условия}. Запишем статсумму в виде
$$
Z=\sum_Ce^{-\beta E(C)}
=\sum_{\sigma_1\ldots\sigma_N}\prod_{i=1}^Ne^{\beta I\sigma_i\sigma_{i+1}
+{\beta h\over2}(\sigma_i+\sigma_{i+1})}.
$$
Представим экспоненту под знаком произведения в виде матрицы
\eq{
T=(T^{\sigma'}_\sigma)_{\sigma,\sigma'=\pm},
\qquad
T^{\sigma'}_\sigma=e^{\beta I\sigma'\sigma+{\beta h\over2}(\sigma'+\sigma)}.
\label{1dtransfermatrix}
}
Тогда
\eq{
Z=\tr T^N
\label{ZTNdef}
}
Матрица $T$ называется \textit{трансфер-матрицей} (или \textit{матрицей переноса}). Она играет огромную роль не только в теории точно решаемых моделей но и в приближенных численных методах. Предположим, что трансфер-матрицу можно диагонализовать:
$$
T=U\Lambda U^{-1},
\qquad
\Lambda=\pMatrix{\Lambda_1&0\\0&\Lambda_2},
\qquad
\Lambda_1\ge\Lambda_2.
$$
Тогда, очевидно,
$$
Z=\Lambda_1^N+\Lambda_2^N,
$$
и при достаточно большом $N$ первый член становится много больше второго, если $\Lambda_1>\Lambda_2$, и оба члена равны, если $\Lambda_1=\Lambda_2$. Следовательно
$$
F\simeq-NT\log\Lambda_1,
\qquad
N\gg1.
$$
Значит, задача вычисления свободной энергии сводится к задаче диагонализации некоторой матрицы. В этом смысле задача похожа на двухуровневую задачу квантовой механики. Аналогия с квантовой механикой становится еще более очевидной, если заметить, что матрицу $T$ можно рассматривать как оператор эволюции на единичное время в двумерном комплексном пространстве. Задача вычисления корреляционных функций сводится к вычислению среднего по основному состоянию:
\eq{
\langle\sigma_m\sigma_{m+n}\rangle={\tr(T^{N-n-m}\sigma^zT^n\sigma^zT^m)\over\tr T^N}
\simeq{\langle\Lambda_1|T^{N-n-m}\sigma^zT^n\sigma^zT^m|\Lambda_1\rangle
\over\langle\Lambda_1|T^N|\Lambda_1\rangle},
\qquad
m,N-n-m\gg1.
\label{1dcorrfunc}
}
Здесь $\sigma^z=\pMatrix{1&0\\0&-1}$ --- третья матрица Паули, а $|\Lambda_i\rangle$ --- собственные векторы трансфер-матрицы с собственными значениями~$\Lambda_i$.

Диагонализуем трансфер-матрицу явно. Имеем
$$
T=\pMatrix{a&c\\c&b},
\qquad
a=e^{\beta(I+h)},
\qquad
b=e^{\beta(I-h)},
\qquad
c=e^{-\beta I}.
$$
Диагонализуя, получаем
$$
\Lambda_{1,2}=e^{\beta I}\left(1\pm\sqrt{\sh^2\beta h+e^{-4\beta I}}\right).
$$
Мы видим, что собственные значения не имеют особенностей ни при каких конечных $I$ и~$h$ и, как и следует в квантовой механике с конечным числом степеней свободы, два собственных значения нигде не совпадают. Это подтверждает вывод об отсутствии фазовых переходов в одномерной системе.

Чему мы научились на этой простой модели? Мы выяснили, что задачу вычисления статсуммы можно свести к задаче диагонализации некоторого оператора. Вообще, $d$-мерная решеточная модель <<классической>> статистической механики с достаточно локальным взаимодействием эквивалентно $(d-1)$-мерной решеточной модели квантовой механики. Отсюда, в частности, ясно, что отсутствие фазового перехода в одномерной модели эквивалентно известной теореме о невырожденности основного состояния в квантовой механике. Фазовый переход в статистической физике, таким образом, связан с известным в теории поля явлением спонтанного нарушения симметрии.

Рассмотрим теперь двумерную модель Изинга на квадратной решетке $\cL$ со взаимодействием ближайших соседей в нулевом внешнем поле:
\eq{
E(C)=-\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^N(I\sigma_{ij}\sigma_{i+1,j}+J\sigma_{ij}\sigma_{i,j+1}).
\label{2dIsingEdef}
}
Мы будем предполагать циклические граничные условия. Для удобства мы будем использовать обозначения
\eq{
K=\beta I,
\qquad
L=\beta J.
\label{KLdef}
}

Рассмотрим дуальную решетку $\cL'$ к решетке $\cL$ в следующем смысле. В центр каждой грани решетки $\cL$ помещаем узел решетки~$\cL'$, а каждое ребро решетки $\cL$ будет пересекаться с ребром решетки $\cL'$, соединяющим соседние вершины. Для квадратной решетки $\cL$ дуальная решетка --- это решетка с узлами в точках $\br^*=(i+{1\over2},j+{1\over2})$ и ребрами, перпендикулярными ребрам решетки~$\cL$.

Каждой конфигурации $C$ спинов на решетке $\cL$ сопоставим некоторый граф на дуальной решетке следующим образом. Проведем на дуальной решетке линии по тем ребрам, которые разделяют узлы исходной решетки с разными спинами. Понятно, что полученный граф будет графом доменных стенок. Пусть в графе $P$ имеется $r(P)$ горизонтальных линий и $s(P)$ вертикальных. Запишем статсумму через сумму по таким графам:
\eq{
Z(K,L)=2e^{MN(K+L)}\sum_Pe^{-2Ks(P)-2Lr(P)}.
\label{lt-expansion}
}
Коэффициент 2 возник оттого, что каждому графу отвечает две вырожденные конфигурации спинов, отличающиеся знаком. Это уже знакомое нам низкотемпературное разложение.

Теперь попробуем построить высокотемпературное разложение. Прежде всего, отметим, что
$$
e^{K\sigma\sigma'}=\ch K+\sigma\sigma'\sh K,
\qquad
e^{L\sigma\sigma'}=\ch L+\sigma\sigma'\sh L,
\qquad
\sigma,\sigma'=\pm1.
$$
Следовательно,
\eq{
Z(K,L)=(\ch K\ch L)^{MN}\sum_C
\prod_{i,j}(1+v\sigma_{ij}\sigma_{i+1,j})(1+w\sigma_{ij}\sigma_{i,j+1}),
\qquad
v=\th K,
\qquad
w=\th L.
\label{Zvwdef}
}
Раскроем теперь все скобки в произведениях. Произведение распадется в сумму $2^{2MN}$ слагаемых, которые можно взаимно-однозначно сопоставить с графами на исходной решетке~$\cL$. Каждому члену $v\sigma_{ij}\sigma_{i+1,j}$ ($w\sigma_{ij}\sigma_{i,j+1}$) сопоставляем горизонтальную (вертикальную) линию. Пусть имеется $r$ горизонтальных и $s$ вертикальных линий. Тогда член суммы имеет вид
$$
v^rw^s\prod_{\text{линии }(ij)-(i'j')}\sigma_{ij}\sigma_{i'j'}.
$$
Теперь просуммируем по конфигурациям спинов~$C$. После этого выживут только те слагаемые, которые содержат только четные степени каждой переменной~$\sigma_{ij}$. Это значит, что в каждой вершине должно встречаться нуль, две или четыре линии. Эти графы в точности совпадают с графами $P$, но только строятся они на решетке~$\cL$, а не~$\cL'$. Поэтому статсумма равна
\eq{
Z(K,L)=(2\ch K\ch L)^{MN}\sum_Pv^{r(P)}w^{s(P)}.
\label{ht-expansion}
}
Это разложение представляет собой высокотемпературное разложение, так как $v,w\to0$ при $K,L\to\infty$, то есть при~$T\to\infty$. Теперь запишем переменные $v$, $w$ в виде экспонент:
$$
v=e^{-2L^*},
\qquad
w=e^{-2K^*},
$$
то есть
\eq{
\th K=e^{-2L^*},
\qquad
\th L=e^{-2K^*}
\label{KLstardef}
}
или более симметрично
\eq{
\sh2K\sh2L^*=1,
\qquad
\sh2L\sh2K^*=1.
\tag{\ref{KLstardef}a}
\label{KLstarrel}
}
Тогда формально суммы в выражениях (\ref{lt-expansion}) и (\ref{ht-expansion}) не отличаются друг от друга. Следовательно,
\eq{
Z(K,L)=2(\sh2K\sh2L)^{MN/2}Z(K^*,L^*).
\label{Zlhrel}
}
Это соотношение связывает статсуммы в низкотемпературной и высокотемпературной области. Имеется самодуальная линия, где $K=K^*$, $L=L^*$, которая дается уравнением
\eq{
\sh2K\sh2L=1.
\label{sdline}
}
Рассмотрим сначала изотропный случай $I=J$. Самодуальная точка $K=K_c$ в этом случае определяется условием
$$
\sh2K_c=1,
\qquad
K_c\simeq=0.44069.
$$
Ей соответствует температура
$$
T_c={I\over K_c}\simeq2.26919I.
$$
Условие дуальности отображает любую точку $T<T_c$ в точку $T^*>T_c$. Поэтому, если в системе имеется только один фазовый переход (это предположение оправдается), то его температура равна~$T_c$. Заметим, что точная критическая температура заметно ниже значения $4I$, предсказываемого теорией среднего поля.

В общем случае должна иметься линия критических точек. Если $K>L$, то и $K^*>L^*$. Поэтому если имеется линия критических точек, начинающаяся в точке $K=L=K_c$ и идущая в область $K>L$, скажем над самодуальной кривой, то и дуальная ей линия будет находится в области $K>L$ под самодуальной кривой. Поэтому если имеется только одна линия критических точек, то она должна совпадать с самодуальной кривой~(\ref{sdline}). Следовательно, критическая температура при общих значениях $I$ и $J$ дается условием
\eq{
\sh{2I\over T_c}\sh{2J\over T_c}=1.
\label{Tcdef}
}

Попробуем разобраться в явлении дуальности несколько глубже. Пусть $n$ --- четное число, а $\br^*_1,\ldots,\br^*_n$ --- набор точек на дуальной решетке~$\cL'$. Соединим эти точки попарно линиями по ребрам дуальной решетки. Обозначим получившийся граф на $\cL'$ через $\cM$. Обозначим множество ребер решетки $\cL$, пересекающие эти линии, через~$\cM'$. Пусть
$$
\Gathered{
E(\cM|C)=-\sum_{i,j}\left(I_{ij}\sigma_{ij}\sigma_{i+1,j}+J_{ij}\sigma_{ij}\sigma_{i,j+1}\right),
\\
I_{ij}=\Cases{I,&<(i,j),(i+1,j)>\not\in\cM',\\
-I,&<(i,j),(i+1,j)>\in\cM',}
\qquad
J_{ij}=\Cases{J,&<(i,j),(i,j+1)>\not\in\cM',\\
-J,&<(i,j),(i,j+1)>\in\cM'.}
}
$$
То есть на линиях $\cM$ константа связи меняет знак. Покажем теперь, что статсумма, связанная с этим функционалом энергии, является функцией только точек $\br^*_1,\ldots,\br^*_n$, а не всего графа~$\cM$:
\eq{
Z(K,L;\br^*_1,\ldots,\br^*_n)=\sum_Ce^{-\beta E(\cM|C)}.
\label{Zbrstardef}
}
Действительно, изменять граф $\cM$ можно добавлением единичных квадратиков вокруг узлов. Две линии по одному ребру при этом будут аннигилировать друг друга. Найдем вклад единичного квадратика в энергию. Он равен
$$
I\sigma_{ij}(\sigma_{i+1,j}+\sigma_{i-1,j})+J\sigma_{ij}(\sigma_{i,j+1}+\sigma_{i,j-1}),
$$
что отличается знаком от вклада узла, не окруженного квадратиком. Изменим теперь знак спина в центре квадратика: $\sigma_{ij}\to-\sigma_{ij}$. Вклад в энергию изменит знак. Таким образом статсумма, содержащая суммирование  по $\sigma_{ij}=\pm1$, совпадает со статсуммой без квадратика. Определим среднее
\eq{
\langle\mu(\br^*_1)\ldots\mu(\br^*_n)\rangle_{K,L}
={Z(K,L;\br^*_1,\ldots,\br^*_n)\over Z(K,L)}.
\label{mucorrdef}
}
Можно доказать что, что
\eq{
\langle\mu(\br^*_1)\ldots\mu(\br^*_n)\rangle_{K,L}
=\langle\sigma(\br^*_1)\ldots\sigma(\br^*_n)\rangle'_{K^*,L^*}.
\label{musigmaduality}
}
При этом мы считаем, что модель Изинга в правой части этого выражения живет на дуальной решетке, что подчеркнуто штрихом у правой угловой скобки.

Полное доказательство этого факта оставим на дом (Задача~2), а здесь приведем лишь простой пример, когда $n=2$ и $\br^*_1$ и $\br^*_2$ --- соседние узлы, например, в одной строке дуальной решетки. Очевидно, что на ребрах графа $\cM$ величины $v$, $w$ в статсумме, записанной в виде (\ref{Zvwdef}), меняют знак. В нашем простом примере это означает, что меняют знак все слагаемые для графов $P$ в выражении (\ref{ht-expansion}), содержащих ребро исходной решетки $\cL$, перпендикулярное ребру $<\br^*_1,\br^*_2>$ дуальной решетки. Но это ребро решетки $\cL$ в интерпретации статсуммы в виде (\ref{lt-expansion}) является как раз доменной стенкой, разделяющей спины разных знаков. Таким образом знак <<минус>> приписывается как раз членам, для которых знаки переменных $\sigma_{\br^*_1}$ и $\sigma_{\br^*_2}$ в различны. Но это и есть числитель среднего $\langle\sigma_{\br^*_1}\sigma_{\br^*_2}\rangle'$.

Выражение (\ref{mucorrdef}) можно обобщить. Давайте определим
\eq{
\langle\sigma(\br_1)\ldots\sigma(\br_m)\mu(\br^*_1)\ldots\mu(\br^*_n)\rangle_{K,L}
={1\over Z(K,L)}
\sum_C\sigma(\br_1)\ldots\sigma(\br_m)e^{-\beta E(\cM|C)}.
\label{sigmamucorrdef}
}
Это обозначение не совсем последовательно. Дело в том, что такие корреляционные функции \textit{зависят} от $\cM$, но меняются, только если линии, соединяющие точки~$\br^*_i$, пересекают какую-либо из точек $\br_j$. Тем не менее, при таком пересечении корреляционная функция просто меняет знак. Таким образом, мы можем рассматривать корреляционную функцию (\ref{sigmamucorrdef}) как корреляционную функцию \textit{переменных порядка} $\sigma(\br)$ и \textit{переменных беспорядка}~$\mu(\br^*)$, которые не взаимно-локальны друг с другом. В окрестности критической точки это должно означать, что имеется два набора полей $\sigma(x_i)$ и $\mu(y_j)$, причем корреляционная функция имеет разрезы, так что она меняет знак при обходе $x_i$ вокруг $y_j$ по замкнутому контуру.

Давайте сформулируем полученные результаты на операторном языке, подобно тому, как мы это сделали в случае одномерной цепочки Изинга. Рассмотрим один столбец вертикальных и один столбец решетки, состоящий из $N$ вертикальный и $N$ горизонтальных ребер с циклическим граничным условием по вертикали:
\eq{
T^{\sigma'_1\sigma'_2\ldots\sigma'_N}_{\sigma_1\sigma_2\ldots\sigma_N}
=\mpicture{1.5cm}
\setdashes
\rl 0 1.25 , 0 .25
\setsolid
\rl 0 .25 , 0 -1.25
\rl 0 1.25 , .5 1.25
\rl 0 .25 , .5 .25
\rl 0 -.25 , .5 -.25
\rl 0 -.75 , .5 -.75
\put{$\sigma_N$} [Br] <-2pt,-1pt> at 0 -1.25
\put{$\sigma_1$} [Br] <-2pt,-1pt> at 0 -.75
\put{$\sigma_2$} [Br] <-2pt,-1pt> at 0 -.25
\put{$\sigma_3$} [Br] <-2pt,-1pt> at 0 .25
\put{$\sigma_N$} [Br] <-2pt,-1pt> at 0 1.25
\put{$\sigma'_1$} [Bl] <2pt,-1pt> at .5 -.75
\put{$\sigma'_2$} [Bl] <2pt,-1pt> at .5 -.25
\put{$\sigma'_3$} [Bl] <2pt,-1pt> at .5 .25
\put{$\sigma'_N$} [Bl] <2pt,-1pt> at .5 1.25
\endmpicture
=\prod_{j=1}^Ne^{K\sigma_j\sigma'_j+L\sigma_j\sigma_{j+1}}.
\label{tm-2dIsing}
}
Совокупность чисел $T^{\sigma'_1\ldots\sigma'_N}_{\sigma_1\ldots\sigma_N}$ будем рассматривать как матрицу $T$ размерности $2^N\times2^N$ или оператор в пространстве
$$
\cH_\qu=V_1\otimes\ldots\otimes V_N,\text{ где $V_i\simeq\C^2$}.
$$
Как и в случае одномерной цепочки Изинга, имеем для статсуммы
\eq{
Z(K,L)=\Tr_{\cH_\qu} T^M.
\label{2dIsingTr}
}
Если трансфер-матрицу можно диагонализовать,
$$
T=U\diag(\Lambda_1,\Lambda_2,\ldots,\Lambda_{2^N})U^{-1},
\qquad
\Lambda_1\ge\Lambda_2\ge\cdots\ge\Lambda_{2^N},
$$
вычисление статсуммы в пределе $M\to\infty$ сводится к вычислению наибольшего собственного значения $\Lambda_1$:
$$
Z(K,L)\simeq n_1\Lambda_1^M,
$$
где $n_1$ --- степень вырождения собственного значения $\Lambda_1$.

Здесь есть некоторая тонкость. Нужно проверить, что эта формула верна в пределе $M,N\to\infty$, $M/N=\const$. Для этого следует оценить расщепление самых больших собственных значений.

Определим два набора операторов:
\Align{
\sigma_j
&=\sigma^z_i={\underbrace{1\otimes\cdots\otimes1}_{j-1}}\otimes\sigma^z
\otimes{\underbrace{1\otimes\cdots\otimes1}_{N-j}},
\label{sigmaidef}
\\
\mu_{j^*}
&=\prod_{k=1}^{j^*-1/2}\sigma^x_k
={\underbrace{\sigma^x\otimes\cdots\otimes\sigma^x}_{j^*-1/2}}
\otimes{\underbrace{1\otimes\cdots\otimes1}_{N-j^*+1/2}}.
\label{muidef}
}
Здесь $\sigma^x=\pMatrix{0&1\\1&0}$ --- первая матрица Паули. Оператор $\sigma_j$ под знаком следа справа от $i$й трансфер-матрицы вставляет переменную $\sigma(\br)$ в точку $\br=(i,j)$. Оператор $\mu_{j^*}$ в той же позиции вставляет произведение $\mu(\br_0)\mu(\br)$ с $\br_0=(i-1/2,1/2)$, $\br=(i-1/2,j^*)$ и линией по прямой между ними. То есть операторы $\sigma_j$ и $\mu_{j^*}$ представляют собой операторы порядка и беспорядка соответственно.

Рассмотрим коммутационные соотношения между этими операторами. Из коммутационных соотношений для матриц Паули следует, что
\eq{
\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i,
\qquad
\mu_{i^*}\mu_{j^*}=\mu_{j^*}\mu_{i^*},
\qquad
\sigma_i\mu_{j^*}=\sign(i-j^*)\mu_{j^*}\sigma_i.
\label{sigmamucommut}
}

Введем операторы
\eq{
\psi^1_j=\sigma_j\mu_{j-1/2},
\qquad
\psi^2_j=-\i\sigma_j\mu_{j+1/2}.
\label{psi12def}
}
Легко видеть, что эти операторы удовлетворяют соотношениям фермионной алгебры (\textit{алгебры Клиффорда}:
\eq{
\psi^\alpha_i\psi^\beta_j+\psi^\beta_j\psi^\alpha_j=2\delta^{\alpha\beta}\delta_{ij}.
\label{psi12alg}
}
Удобнее пользоваться переменными
\eq{
a_j={1\over2}(\psi^1_j-\i\psi^2_j),
\qquad
a^+_j={1\over2}(\psi^1_j+\i\psi^2_j)
\label{aacrossdef}
}
с привычными антикоммутационными соотношениями
$$
[a_i,a_j]_+=[a^+_i,a^+_j]_+=0,
\qquad
[a_i,a^+_j]_+=1.
$$
В следующей лекции мы воспользуемся этими фермионными операторами, чтобы диагонализовать тран\-сфер-матрицу модели Изинга.


\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

{\bf1.}~Найти корреляционную функцию (\ref{1dcorrfunc}) в термодинамическом пределе ($n,N\to\infty$) одномерной модели Изинга. Найти зависимость корреляционной длины от температуры и внешнего поля.

{\bf2.}~Доказать соотношение~(\ref{musigmaduality}).


\end{document}
