\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,russian,fullpage}

\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\const{\mathord{\rm\,const\,}}
\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}
\def\half{{1\over2}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\R{{\bf R}}
\def\C{{\bf C}}
\def\N{{\cal N}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\Arsh{\mathop{\rm Arsh}\nolimits}
\def\Arch{\mathop{\rm Arch}\nolimits}
\def\Arth{\mathop{\rm Arth}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\tsigma{{\tilde\sigma}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\i{{\rm i}}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.2truecm> [0.15,0.4] from #1 #2 to #3 #4 }
%\def\ln#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.01truecm> [0,0] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf ������~17}
\centerline{\bf ������ ���� � ������������� ��������-�������}
\bigskip

�� ��� ������������� ��������� ����� �������� ������ ������������ �������������� �������� --- ������ ������. ���������� ������ ������ ������ --- {\it �������������� ������\/} ��� {\it ������ ����}. ����� �� ������ ���������� ������� ����� <<�����>> $\ve=\pm$, � �������������� ����� ����� � ��������. ������, ������ ������������ ������ ������ �������
$$
\vcenter{\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$\ve_1$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$\ve_2$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$\ve_3$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$\ve_4$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\endpicture}
$$
���������� �������������� ��� $R_{\ve_1\ve_2}^{\ve_3\ve_4}$. ������� ����� ���������� ���������� �������.

{\it �������������\/} $C$ ���������� ������������ �������� ������ �� ���� ������ �������. {\it �����\/} ������������ $W(C)$ ���������� ������������ �������������� ����� �� ���� �������� �������. {\it �������� �������������\/} ���������� ������������ ����������� ����. {\it �������������� ������\/} ���������� ����� ����� �� ���� ������������� $Z=\sum_CW(C)$. {\it �������������� �������\/} ���������� ������, � ������� ��������� ���� ������� ������ ���
\eq{
\ve_1+\ve_2=\ve_3+\ve_4
\label{icecondition}
}
� ���� ����������� �� ��������� � �������� ���� ������:
\eq{
R^{-\ve_3\>-\ve_4}_{-\ve_1\>-\ve_2}=R^{\ve_3\ve_4}_{\ve_1\ve_2}.
\label{zeroextf}
}
����, ������ ������ ������� ����������� ���� �� ��������� ����� ������������
$$
\Aligned{
a
&=
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$+$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$+$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$+$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$+$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\endpicture}
&&=
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$-$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$-$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$-$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$-$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\endpicture}
\\
b
&=
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$+$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$-$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$+$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$-$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\endpicture}
&&=
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$-$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$+$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$-$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$+$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\endpicture}
\\
c
&=
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$+$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$-$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$-$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$+$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\endpicture}
&&=
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$-$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$+$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$+$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$-$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\endpicture}
}
$$
������� $R$ ����� � ���� ������ �������� � ����
\eq{
R=\pMatrix{a&&&\\&b&c&\\&c&b&\\&&&a}.
\label{Rmatrixform}
}
���������� ������ �� ������� ������� $M\times N$ � ������������ ���������� ��������� � ������ ��������-������� �������
\eq{
T^{\ve'_1\ldots\ve'_N}_{\ve_1\ldots\ve_N}
=\sum_{\mu_1\ldots\mu_N}R^{\mu_2\ve'_1}_{\mu_1\ve_1}
R^{\mu_3\ve'_2}_{\mu_2\ve_2}\ldots R^{\mu_1\ve'_N}_{\mu_N\ve_N}.
\label{transfermatrixdef}
}
������� $R$ ������ ������������� ��� ��������
$$
R:\C\otimes\C\to\C\otimes\C,
\qquad
v_{\ve_1}\otimes v_{\ve_2}\mapsto
R^{\ve_1\ve_2}_{\ve'_1\ve'_2}v_{\ve'_1}\otimes v_{\ve'_2}.
$$
����� $v_\ve$ --- ������������ ����� � ������������ $V=\C^2$. ���� ������� ����� ���������� ����������� $V_1\otimes V_2\otimes\ldots\otimes V_k$, �� ����� $R_{ij}$ �� ����� ���������� ��������, ����������� �� ������������ $V_i\otimes V_j$ ��� $R$, � �� ������ $V_l$ ��� ��������� ��������. ����� ��������-������� ����� �������� ��������� � ����
\eq{
T=\tr_{V_0}(R_{0N}\ldots R_{02}R_{01}).
\label{transfermatrixtr}
}
�������� ��� ������ ����� ����������� ���������� �����������
\eq{
L=R_{0N}\ldots R_{02}R_{01}=\pMatrix{A&B\\ C&D}
\label{Ldef}
}
� ���������� {\it ���������� ����������}. ��������
\eq{
T=A+D.
\label{transfermatrixAplusD}
}
������������ $V_1\otimes\ldots\otimes V_N$ ���������� {\it ��������� �������������}, � ������������ $V_0$ --- {\it ��������������� �������������}. �������� $L$ ��������������� ������ ��� �������� � ��������� ������������ � ��� ������� --- �� ��������������� ������������. ��������� $A,\ldots,D$ ��������� � ��������� ������������.

������� ������ � ���������� �������������� ����� �������������� ������ �������� � ������ � ���������� ����������� �������� ��������-�������. ����� ������ ���� ������ ����� �� ���� ��������� �����? �� ���� ��� ������ � {\it ��������� ���������������\/} ������. ��� ����� ��������� ���������������, �� ����� �� �����, �� �� ������������ �������� �� �����, ��� ������ ������������ �����, ����� � ��� ������� ����������� ���������� ���������� �������� � ���������. ������� ��� �������� �� ����� ����������� ���������� ����������, ������������� � ��������-�������� � ���� � ������. �����������, ��� ����� ��������� ����� ����� ��� ��������-������� $T'$ � �����-�� ������ �������� $R'$ ����~(\ref{Rmatrixform}). ����, ����� ������� ��������� $T$ � $T'$ ���� (\ref{transfermatrixtr}) � $R$-��������� ����~(\ref{Rmatrixform}). ����� ��� �����������? ����������� (���� � �� �����������) ������� ����� �������������� ���. ��������� $T$ � $T'$ ����������� �����, ����� ������� ������� $R''$ ���� (\ref{Rmatrixform}), ����� ���
\eq{
R''_{12}R'_{13}R_{23}=R_{23}R'_{13}R''_{12}.
\label{YBE}
}
���������� ��� �������� ���:
\eq{
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,0.87cm> point at 0 0
\rl 1.0 -0.5 , -1.0 -0.5 \ar -0.99 -0.5 , -1.0 -0.5
\ar 0.25 1.0 , -0.75 -1.0
\ar -0.25 1.0 , 0.75 -1.0
\put{$1$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.75 -1.0
\put{$2$} [tc] <0pt,-3pt> at -0.77 -1.0
\put{$3$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 -0.5
\put{$R'$} [tr] <-1pt,-3pt> at 0.5 -0.5
\put{$R^{\vphantom{\prime}}$} [tl] <1pt,-3pt> at -0.5 -0.5
\put{$R''$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.0 0.5
\endpicture}
\quad=\quad
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,0.87cm> point at 0 0
\rl 1.0 0.5 , -1.0 0.5 \ar -0.99 0.5 , -1.0 0.5
\ar 0.75 1.0 , -0.25 -1.0
\ar -0.75 1.0 , 0.25 -1.0
\put{$1$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.25 -1.0
\put{$2$} [tc] <0pt,-3pt> at -0.25 -1.0
\put{$3$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.5
\put{$R$} [Br] <-1pt,3pt> at 0.5 0.5
\put{$R'$} [Bl] <1pt,3pt> at -0.5 0.5
\put{$R''$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.0 -0.5
\endpicture}
\tag{$\ref{YBE}'$}
}
��� ����������� ���������� {\it ���������� ����--��������}.

��������������� ��������-������ $T$ � $T'$ ��� ������� (\ref{YBE}) ����� �������� ���������� (����������� ������� �� ������������ ������ ���������������):
$$
T'T=\
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <0.5cm,0.5cm> point at 0 0
\rl 0 4.5 , 0 3.5 \rl 0 0.5 , 0 -0.5 \ar 0 -0.48 , 0 -0.5
\rl 1 4.5 , 1 3.5 \rl 1 0.5 , 1 -0.5 \ar 1 -0.48 , 1 -0.5
\setdashes
\rl 0 3 , 0 1
\rl 1 3 , 1 1
\setsolid
\rl 1.5 0 , -0.5 0 \ar -0.48 0 , -0.5 0
\rl 1.5 4 , -0.5 4 \ar -0.48 4 , -0.5 4
\put{$L^{\vphantom{\prime}}$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$L'$} [tc] <0pt,-3pt> at 1.0 -0.5
\endpicture}
\ =\
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <0.5cm,0.5cm> point at 0 0
\ln 0 4.5 , 1 5.5 \ln 1 5.5 , 0 6.5
\ln 1 4.5 , 0 5.5 \ln 0 5.5 , 1 6.5
\put{$R''$} [Bl] <6pt,-2pt> at 0.5 5
\put{\rlap{$R^{\prime\prime-1}$}} [Bl] <6pt,-2pt> at 0.5 6
\rl 0 4.5 , 0 3.5 \rl 0 0.5 , 0 -0.5 \ar 0 -0.48 , 0 -0.5
\rl 1 4.5 , 1 3.5 \rl 1 0.5 , 1 -0.5 \ar 1 -0.48 , 1 -0.5
\setdashes
\rl 0 3 , 0 1
\rl 1 3 , 1 1
\setsolid
\rl 1.5 0 , -0.5 0 \ar -0.48 0 , -0.5 0
\rl 1.5 4 , -0.5 4 \ar -0.48 4 , -0.5 4
\put{$L^{\vphantom{\prime}}$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$L'$} [tc] <0pt,-3pt> at 1.0 -0.5
\endpicture}
\ =\
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <0.5cm,0.5cm> point at 0 0
\ln 0 -1.5 , 1 -0.5 \ln 1 4.5 , 0 5.5
\ln 1 -1.5 , 0 -0.5 \ln 0 4.5 , 1 5.5
\put{$R''$} [Bl] <6pt,-2pt> at 0.5 -1
\put{\rlap{$R^{\prime\prime-1}$}} [Bl] <6pt,-2pt> at 0.5 5
\rl 0 4.5 , 0 3.5 \rl 0 0.5 , 0 -0.5 \ar 0 -0.48 , 0 -0.5
\rl 1 4.5 , 1 3.5 \rl 1 0.5 , 1 -0.5 \ar 1 -0.48 , 1 -0.5
\setdashes
\rl 0 3 , 0 1
\rl 1 3 , 1 1
\setsolid
\rl 1.5 0 , -0.5 0 \ar -0.48 0 , -0.5 0
\rl 1.5 4 , -0.5 4 \ar -0.48 4 , -0.5 4
\put{$L'$} [Br] <-3pt,3pt> at 0.0 -0.0
\put{$L^{\vphantom{\prime}}$} [Bl] <3pt,3pt> at 1.0 -0.0
\endpicture}
\ =\
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <0.5cm,0.5cm> point at 0 0
\ln 0 4.5 , 1 5.5 \ln 1 5.5 , 0 6.5
\ln 1 4.5 , 0 5.5 \ln 0 5.5 , 1 6.5
\put{\rlap{$R^{\prime\prime-1}$}} [Bl] <6pt,-2pt> at 0.5 5
\put{$R''$} [Bl] <6pt,-2pt> at 0.5 6
\rl 0 4.5 , 0 3.5 \rl 0 0.5 , 0 -0.5 \ar 0 -0.48 , 0 -0.5
\rl 1 4.5 , 1 3.5 \rl 1 0.5 , 1 -0.5 \ar 1 -0.48 , 1 -0.5
\setdashes
\rl 0 3 , 0 1
\rl 1 3 , 1 1
\setsolid
\rl 1.5 0 , -0.5 0 \ar -0.48 0 , -0.5 0
\rl 1.5 4 , -0.5 4 \ar -0.48 4 , -0.5 4
\put{$L'$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$L^{\vphantom{\prime}}$} [tc] <0pt,-3pt> at 1.0 -0.5
\endpicture}
\ =\
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <0.5cm,0.5cm> point at 0 0
\rl 0 4.5 , 0 3.5 \rl 0 0.5 , 0 -0.5 \ar 0 -0.48 , 0 -0.5
\rl 1 4.5 , 1 3.5 \rl 1 0.5 , 1 -0.5 \ar 1 -0.48 , 1 -0.5
\setdashes
\rl 0 3 , 0 1
\rl 1 3 , 1 1
\setsolid
\rl 1.5 0 , -0.5 0 \ar -0.48 0 , -0.5 0
\rl 1.5 4 , -0.5 4 \ar -0.48 4 , -0.5 4
\put{$L'$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$L^{\vphantom{\prime}}$} [tc] <0pt,-3pt> at 1.0 -0.5
\endpicture}
\ =TT'.
$$
� ���� ������ ��� ������������ ���. �� ��������� ����--�������� �������, ���
$$
R''_{12}L'_1L_2=L_2L'_1R''_{12},
$$
��� ��������� $L'_1$ � $L_2$ ��������� �� ����� � ��� �� ��������� ������������, �� ����� ������ ��������������� ������������ $V_1$ �~$V_2$. �����
$$
\Aligned{
T'T
&=\tr_{V_1\otimes V_2}(L'_1L_2)
=\tr_{V_1\otimes V_2}((R''_{12})^{-1}R''_{12}L'_1L_2)
=\tr_{V_1\otimes V_2}((R''_{12})^{-1}L_2L'_1R''_{12})
\\
&=\tr_{V_1\otimes V_2}(R''_{12}(R''_{12})^{-1}L_2L'_1)
=\tr_{V_1\otimes V_2}(L_2L'_1)=TT'.
}
$$

�� ����� �������� ������� ��������� ����--�������� ���������������, �������� ������ �����. �������, ��� ���������� $R$-������ �� �����, ������� $R$-������� ����� ��������������� ����� �����������. ��������� �� $\lambda$ � $u$. ������ ������ ������������������ ��������������
\eq{
\Aligned{
a(\lambda,u)
&=\sin(\lambda-u),
\\
b(\lambda,u)
&=\sin u,
\\
c(\lambda,u)
&=\sin\lambda,
}\label{trigpar}
}
���� $c<a+b$, $a<b+c$, $b<a+c$, �
\eq{
\Aligned{
a(\lambda,u)
&=\sh(\lambda-u),
\\
b(\lambda,u)
&=\sh u,
\\
c(\lambda,u)
&=\sh\lambda,
}\label{htrigpar}
}
���� $c>a+b$. ������ $a>b+c$ �  $b>a+c$ �� ��������� (��.\ ����).

� �������������� (\ref{trigpar}) ��� (\ref{htrigpar}) ������� ��������� ����--�������� ����� ���
\eq{
\Aligned{
R
&=R(\lambda,u_2-u_3),
\\
R'
&=R(\lambda,u_1-u_3),
\\
R''
&=R(\lambda,u_1-u_2).
}\label{YBEsolution}
}
�������� $\lambda$ ������ ���� �������� ��� ���� ���� ������ � � ���������� �� ����� ��� ��������. �������� $u$ � ���� ���� ������ ��������, ���� ��� �������� � ������� ������������. �����, ��� ��� ����� ���� ������ $R$ � $R'$ � ���������� ��������� $\lambda$ ������� ������� $R''$ (� ��� ��, ������, ��������� $\lambda$). ��� ������, ��� ������� ����� ��������� ������������� ��������-������ $T(u)$ � ������������� $u$ � �������������~$\lambda$:
\eq{
[T(u),T(u')]=0
\quad\forall u,u'.
\label{commfam}
}
���������� $u$ ���������� {\it ������������ ����������}.

�������, ��� �������� $u_i$ ������ ��������� $i$-� �����, � $R$-������� ���������� � ����
$$
R(u-v)^{\ve_3\ve_4}_{\ve_1\ve_2}
=
\vcenter{\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$\ve_1$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$\ve_2$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$\ve_3$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$\ve_4$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\put{$u$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.0 -0.25
\put{$v$} [Bc] <0pt,3pt> at -0.25 0.0
\endpicture}
$$
����������� ����--��������
\eq{
R_{12}(u_1-u_2)R_{13}(u_1-u_3)R_{23}(u_2-u_3)
=R_{23}(u_2-u_3)R_{13}(u_1-u_3)R_{12}(u_1-u_2)
\label{YBrel}
}
����� ����� ���������� ���
\eq{
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,0.87cm> point at 0 0
\rl 1.0 -0.5 , -1.0 -0.5 \ar -0.99 -0.5 , -1.0 -0.5
\ar 0.25 1.0 , -0.75 -1.0
\ar -0.25 1.0 , 0.75 -1.0
\put{$u_1$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.75 -1.0
\put{$u_2$} [tc] <0pt,-3pt> at -0.77 -1.0
\put{$u_3$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 -0.5
\put{} [Bc] at 0.0 1.0
\endpicture}
\quad=\quad
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,0.87cm> point at 0 0
\rl 1.0 0.5 , -1.0 0.5 \ar -0.99 0.5 , -1.0 0.5
\ar 0.75 1.0 , -0.25 -1.0
\ar -0.75 1.0 , 0.25 -1.0
\put{$u_1$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.25 -1.0
\put{$u_2$} [tc] <0pt,-3pt> at -0.25 -1.0
\put{$u_3$} [Br] <-3pt,-2pt> at -1.0 0.5
\put{} [Bc] at 0.0 1.0
\endpicture}
\tag{$\ref{YBrel}'$}
}
� ����� ���� ��������� ����--�������� �������� � ������ ���� ��� ������� ������������ ��������������� ��������� �� �������������. ������� �����, ��� $R$-������� (\ref{trigpar}) � (\ref{htrigpar}) ������������� ������������ ��������-��������� � ����������� ����
\eq{
R(\lambda-u)^{\ve_3\ve_4}_{\ve_1\ve_2}=R(u)^{\ve_2\>-\ve_3}_{\ve_4\>-\ve_1},
\qquad
R_{12}(u)R_{21}(-u)=a(u)a(-u).
\label{addrels}
}

������� �������������� ��������� ���������� ��������, �������, �� ��������, ��� �� ������������� ���������� �����. �� ����� ���� ����� �� ��� ��������, ��� ��� �� ���������� �������, �� ���������� ��� ���������������. ���������� �� �������������� ��������� �����, ���� ������������� ��������-������� ��� ������� $u$ � ���������� ������������ ����������
$$
T^{-1}(0)T(u)=1-\sum_{n=1}^\infty{H_nu^n\over n!}.
$$
������������� $H_n$ ����������� ���� � ������
$$
[H_m,H_n]=0
\quad\forall m,n
$$
� �������� ��������� ��������� ���������� ��������. ����������� ��������, ��� $H_n$ ����� ����������� � ���� $\sum_{i=1}^NI_{n,i}$, ��� $I_{n,i}$ ������� ������ �� ��������� ����� ����� $i,i+1,\ldots,i+n$. �� ����� ���� ������ ������ $N-1$ ���������� $H_n$ � �������� $T(0)$ ����������. �������� $H_1$ ����� ����� �����. �������������, ���������� ������������ $$
\Aligned{
\check R(u)
&=R(u)P
=\pMatrix{a(u)&&&\\&c(u)&b(u)&\\&b(u)&c(u)&\\&&&a(u)}
=1\sin\lambda+\pMatrix{-u\cos\lambda&&&\\&&u&\\&u&&\\&&&-u\cos\lambda}
+O(u^2)
\\
&=\sin\lambda-(h+\const)u+O(u^2),
}
$$
���
$$
h=-\half(\sigma^x\otimes\sigma^x+\sigma^y\otimes\sigma^y
-\cos\lambda\>\sigma^z\otimes\sigma^z).
$$
� ������ ������� �� $u$ ������ ��� ��������� ����� ����� � $H_1$. �� �� ����� ������ ������� (��������, � ��������� ������������), � ��������
$$
H_1=H_{\rm XXZ}+\const,
$$
��� $H_{\rm XXZ}$ --- ������������ XXZ-������ �����������:
\eq{
H_{\rm XXZ}=-\half\sum_{n=1}^N
(\sigma^x_n\sigma^x_{n+1}+\sigma^y_n\sigma^y_{n+1}
+\Delta\sigma^z_n\sigma^z_{n+1}),
\label{XXZdef}
}
���
\eq{
\Delta=-\cos\lambda={a^2+b^2-c^2\over2ab}
\label{Deltadef}
}
(��������� ��������� ����� ��� ����� $u$). � ������ $c>a+b$ �����
\eq{
\Delta=-\ch\lambda.
\tag{$\ref{Deltadef}'$}
\label{Deltach}
}

����� �������, ������ �������� � �������������� XXZ-�������������, ������� �� (��������) ������ � ������� ���. � ���������, ������� ���� � �������� ������������� ���������� $z$-���������� �����:
\eq{
[T(u),S^z]=[H_{\rm XXZ},S^z]=0.
\label{Szcommut}
}

\bigbreak
\bigskip
\centerline{\bf ������}
\medskip
{\bf1.}~���������, ��� $\Delta=(a^2+b^2-c^2)/2ab$ ����� $-\cos\lambda$ ��� $-\ch\lambda$ � ����������� �� ��������������.

{\bf2.}~�������� ������ ����� ��������������� ��������� � ���������� �����:
$$
d=
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$+$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$+$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$-$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$-$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\endpicture}
=
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -0.5 0.0 , 0.5 0.0
\rl 0.0 -0.5 , 0.0 0.5
\ar -0.49 0.0 , -0.5 0.0
\ar 0.0 -0.49 , 0.0 -0.5
\put{$-$} [tc] <0pt,-3pt> at 0.0 -0.5
\put{$-$} [Br] <-3pt,-2pt> at -0.5 0.0
\put{$+$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.0 0.5
\put{$+$} [Bl] <3pt,-2pt> at 0.5 0.0
\endpicture}
$$
������ � ������ ��������� ��� �� ������������� ������� ���� � ���������� {\it ��������������� �������}. ��������, ��� ��� ��������������� $R$ � $R'$ ����������� ����� �����, ���� �� ���� ������������� ��������:
$$
\Delta={a^2+b^2-c^2-d^2\over2(ab-cd)}
={a^{\prime2}+b^{\prime2}-c^{\prime2}-d^{\prime2}\over2(a'b'-c'd')},
\qquad
\Gamma={ab-cd\over ab+cd}={a'b'-c'd'\over a'b'+c'd'}.
$$
���������� ��������� ����������� ������������ ������� $a=c=1$, $b=d=0$:
$$
a=1+\alpha u+O(u^2),
\quad
b=u+O(u^2),
\quad
c=1+O(u^2),
\quad
d=\delta u+O(u^2).
$$
��������, ��� ���������� $T^{-1}(0)T(u)$ ���� � ������ ������� �� $u$ ������������
$$
H_{\rm XYZ}=-{1\over2}\sum^N_{n=1}\left(J_x\sigma^x_n\sigma^x_{n+1}
+J_y\sigma^y_n\sigma^y_{n+1}+J_z\sigma^z_n\sigma^z_{n+1}\right),
$$
��� $J_x:J_y:J_z=1:\Gamma:\Delta$.


\end{document}
