\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,russian,fullpage}
%\usepackage[notref]{showkeys}


\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\long\def\subeq#1{\begin{subequations}\ignorespaces#1\end{subequations}}
\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\bDelta{{\bar\Delta}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\mathspan{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\bD{{\bar D}}
\def\bL{{\bar L}}
\def\bT{{\bar T}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\cF{{\cal F}}
\def\bcF{{\cal\bar F}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cL{{\cal L}}
\def\bcL{{\cal\bar L}}
\def\cW{{\cal W}}
\def\i{{\rm i}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf ������~20}
\centerline{\bf ���������� ��������� � ���������� �����}
\bigskip
����� $\{\phi_I(x)\}$ --- ������ ����� ��������� ����� � ������. ������ ��������������, ��� ������������ ���� ����� $\phi_I(x')\phi_J(x)$ ����� ��������� �� ����� ������:
\eq{
\phi_I(x')\phi_J(x)=\sum_KC^K_{IJ}(x',x)\phi_c(x).
\label{OPEgen}
}
������� $C^K_{IJ}(x',x)$ ���������� \textit{������������ ���������}. � ������ ���������� ������ ���� � ������, ���������� �� ����� ������������� ������������, �����
\eq{
\phi_I(z',\bz')\phi_J(z,\bz)
=\sum_K(z'-z)^{\Delta_K-\Delta_I-\Delta_J}
(\bz'-\bz)^{\bDelta_K-\bDelta_I-\bDelta_J}C^K_{IJ}\phi_K(x).
\label{OPEconfgen}
}
������ ����������� ������� ����������� \textit{������������ �����������}~$C^K_{IJ}$.

����������� ������� ����� ������� � ��������������� ��������� � �������. ������ � ������������ �������������� �������. ��� ������ ���������� ����� ������������.
$$
\langle\phi_I(x_1)\phi_J(x_2)\rangle=\sum_KC^K_{IJ}(x_1,x_2)\langle\phi_K(x)\rangle.
$$
� ���������� ������ ���� ��������� ��������� ������� �� ��������� ����� ����� ������ ���� ���������� �����������~0. �����������, ��� ����� ���� ����������� � ������������ ����� ��������� ����~${\bf1}$. ������� � ���� ������ �����
$$
\langle\phi_I(x_1)\phi_J(x_2)\rangle
={C^{\bf1}_{IJ}\over z_{12}^{\Delta_I+\Delta_J}\bz_{12}^{\bDelta_I+\bDelta_J}},
\qquad
x_{12}=x_1-x_2.
$$
������������ �������������� ������� �����
$$
\langle\phi_I(x_1)\phi_J(x_2)\phi_K(x_3)\rangle
=\sum_M{C^{\bf1}_{IM}C^M_{JK}
\over z_{13}^{\Delta_I+\Delta_M}z_{23}^{\Delta_J+\Delta_K-\Delta_M}
\bz_{13}^{\bDelta_I+\bDelta_M}\bz_{23}^{\bDelta_J+\bDelta_K-\bDelta_M}}.
$$
����� �� ������� <<�����>> ���� $\phi_J$ �~$\phi_K$ � ��������� ��������� �� ����� $\phi_M$, � ����� ����� $\phi_I$ � $\phi_M$. �� ����� �� ������� ���� � ������ �������, ��������, ������� $\phi_I$ �~$\phi_J$, � �����~$\phi_K$, � �������� �� ������ ���������. ������� ��������������� ����������� ���������� ������� � ���, ��� ��� ����� ������� ������ ���� ���� � ��� �� ���������. �������� ����� ������� ������� ���������� ��� ������������ ��������������� �������, �� ������ ��� �� �������������, ������� ������������� ���, ��� �� ����� � ���������� ��������� � ��������� ������������, ����� ���������� ���������� (\ref{OPEconfgen}) ����� ��������.

�� ��� �����, ��� ���� � ���������� ������ ���������������� ��������������� ���� ����� ������� ��������. ������� ����������� ����������� ������� ����� � ����� �� \textit{���������� ����������}. ����� $\{\phi_i(x)\}$ --- ������������ ��������� ����� � ������.%
\footnote{��� ��������� ���� �� �������� ������������. ������������ �������� ������ ��������� ���� ������ �����������. ��������� ��������� ������������ ����� ����������� ������� ���� �����������.} \textit{���������} ��� \textit{���������� ������} �� ����� �������� ���������, ���������� ��������� ����������� ������� �������� �� ��������� ����, �� ���� �������� ���������� ���������� ����
$$
(\cL_{-n_1}\ldots\cL_{-n_k}\bcL_{-m_1}\ldots\bcL_{-m_l}\phi_i)(x),
$$
����� $\cL_n$ ���������� ����������
\eq{
(\cL_n\phi)(z)=\oint_{C_z}{dw\over2\pi\i}(w-z)^{n+1}T(w)\phi(z).
\label{cLdef}
}
��������� $\bcL_n$ ������������ ����������.


������������ ���� �������� ���� $\phi_i(x)$ �� ����� �������� ��� ���������� ����������~$[\phi_i]$.
����� ������������ ��������� ����� ����� ��������� ���
\eq{
\phi_i(z',\bz')\phi_j(z,\bz)
=\sum_k(z'-z)^{\Delta_k-\Delta_i-\Delta_j}
(\bz'-\bz)^{\bDelta_k-\bDelta_i-\bDelta_j}C^k_{ij}
(\cL^k_{ij}(z'-z)\bcL^k_{ij}(\bz'-\bz)\phi_k)(z,\bz),
\label{OPEprim}
}
��� $L^k_{ij}(z)$ --- ���������, ����������� �� ������������ ����������, ������� ��� ���������� �� ��������~$z$:
\eq{
\cL^k_{ij}(z)=1+z\beta^k_{ij}(1)\cL_{-1}
+z^2\Bigl(\beta^k_{ij}(2)\cL_{-2}+\beta^k_{ij}(1,1)\cL_{-1}^2\Bigr)
+O(z^3).
\label{cLijkdef}
}
���������� ������������ ���������~$\bcL^k_{ij}(\bz)$.

������ ���� ������� � ���, ��� ������������ $\beta^k_{ij}(n_1,\ldots,n_\kappa)$ ���������� ������������ ���������� ����������. ������� �������� � ���� �� ������� ������ ���������� �������������. ��� ����� �������� ���������� (\ref{OPEprim}) � �����~0 � ����������� �� ������. ����� �������
\eq{
\phi_i(z,\bz)|j\rangle=\sum_kC^k_{ij}L^k_{ij}(z)\bar L^k_{ij}(\bz)|k\rangle.
\label{OPEprim0}
}
����� $|i\rangle=\phi_i(0,0)|0\rangle$, � ��������� $L^k_{ij}(z)$, $\bar L^k_{ij}$ ������������ ����� $L_n$, $\bar L_n$ ��� ��, ��� $\cL^k_{ij}(z)$ �����~$\cL_n$.

��������� ��������� $L_m$ � $\bar L_n$ �����������, �� ����� �������� ������ � ������������� $\bar L_n$ � ������ ����������~$\bz$ � �������� �������
$$
\Aligned{
\phi_i(z)|j\rangle
&=CL(z)|k\rangle+\cdots
\\
&=\left(
1+z\beta(1)L_{-1}+z^2\Bigl(\beta(2)L_{-2}+\beta(1,1)L_{-1}^2\Bigr)+O(z^3)
\right)|k\rangle+\cdots.
}
$$
��� ������������ �� ����� �������� ��� ������� $i$, $j$,~$k$. ����������� ������ �� ��� ��������� ����������� $L_1$ � $L_2$ (�������, ��� ��� ��������� ���� ����� $L_n$, $n>0$):
\eq{
\Aligned{
L_1\phi_i(z)|j\rangle
&=\left(2z\Delta_k\beta(1)+z^2\Bigl(3\beta(2)+2(2\Delta_k+1)\beta(1,1)\Bigr)L_{-1}+O(z^3)
\right)|k\rangle+\cdots,
\\
L_2\phi_i(z)|j\rangle
&=\left(z^2\Bigl((4\Delta_k+c/2)\beta(2)+6\Delta_k\beta(1,1)\Bigr)+O(z^3)\right)|k\rangle+\cdots.
}\label{L1L2rhs}
}
� ������ �������, � ����� ������ ���� ��������� ����� ��������� �������������� �����������, ����������� � ���������� ������, � ����� ����� ��������� ��������~(\ref{OPEprim0}):
\eq{
\Aligned{
L_1\phi_i(z)|j\rangle
&=(z^2\d+2z\Delta_i)\phi_i(z)|j\rangle
\\
&=(z^2\d+2z\Delta_i)z^{-\Delta^k_{ij}}\left(
1+z\beta(1)L_{-1}+z^2\Bigl(\beta(2)L_{-2}+\beta(1,1)L_{-1}^2\Bigr)+O(z^3)
\right)|k\rangle+\cdots
\\
&=z^{-\Delta^k_{ij}}\left(z\Delta^j_{ik}+z^2(\Delta^j_{ik}+1)\beta(1)L_{-1}
+O(z^3)\right)|k\rangle+\cdots,
\\
L_2\phi_i(z)|j\rangle
&=(z^3\d+3z^2\Delta_i)\phi_i(z)|j\rangle
\\
&=(z^3\d+3z^2\Delta_i)z^{-\Delta^k_{ij}}\left(
1+z\beta(1)L_{-1}+z^2\Bigl(\beta(2)L_{-2}+\beta(1,1)L_{-1}^2\Bigr)+O(z^3)
\right)|k\rangle+\cdots
\\
&=z^{-\Delta^k_{ij}}(z^2(\Delta_i+\Delta^j_{ik})+O(z^3))|k\rangle+\cdots.
}\label{L1L2lhs}
}
��������� (\ref{L1L2rhs}) � (\ref{L1L2lhs}), �������� ������� ���������
\eq{
\Aligned{
2\Delta_k\beta(1)
&=\Delta^j_{ik},
\\
3\beta(2)+2(2\Delta_k+1)\beta(1,1)
&=(\Delta^j_{ik}+1)\beta(1),
\\
(4\Delta_k+c/2)\beta(2)+6\Delta_k\beta(1,1)
&=2\Delta_i+\Delta_k-\Delta_j.
}\label{L1L2eqs}
}
������ ��������� ����� ��������� �������
$$
\beta(1)={\Delta^j_{ik}\over2\Delta_k}={1\over2}+{\Delta_i-\Delta_j\over2\Delta_k},
$$
�������� ��� ���� $\Delta_k$, ����� $\Delta_k=0$. �� ��� $\Delta_k=0$ ����������� ��������� ������� �� ���� ������ ���~$\Delta_i=\Delta_j$, ������� $\beta(1)=1/2$. ����� ����, ��� $\Delta_k=0$ ����� ������� $L_{-1}|k\rangle$ ��������� � ���� � ����� ����� ���������� � �������������� ������� ��������.

����� ����� ���� ���������� ��������� � �������� ��������� � ����� ������ ��������� ��� ����-������� ������� ������, ������������� � ���������� ������. ��� ������, ��� ��������� �������� ���������� ��� ���� �������� $\Delta_k$, ����� $\Delta_{12}$ � $\Delta_{21}$, ��� ������� ������� ����-������. ��� ���� � ���� ������ � ��������� ����������� ������������� ������ ������ ����-������. ����� �������, �������������� ������� ����� ����� ���������.

����, �� ����������, ��� � ������ ������ ��������� ������ ��� ������������ $\beta^k_{ij}(.)$ ���������� ������������ ���������� ����������, �� � ����������� ������ �� $\Delta_k$ ��������������� ������� � ����-�������� � ������������� ��� �������������� �������. ���� ������������ ���������, ������������ ��.~��������������, ����������� �� ������ ��������, ��� ��� ������������ $\beta^k_{ij}(.)$ ���������� ������������ ���������� ����������, �� � ���������� ��������� ��� ������������ ��������.

�������� � �������������� ��������. ������������������� ������ �������, �����
$$
\langle L_1\phi_i(x)\phi_j(0)\rangle=\langle\bar L_1\phi_i(x)\phi_j(0)\rangle=0.
$$
��������� �������������� �����������, �������
\Multline{
0=\langle L_1\phi_i(x)\phi_j(0)\rangle
=\langle L_1\phi_i(x)|j\rangle=(z^2\d+2z\Delta_i)\langle\phi_i(x)|j\rangle
\\
=z(-(\Delta_i+\Delta_j)+2\Delta_i)\langle\phi_i(x)|j\rangle
=z(\Delta_i-\Delta_j)\langle\phi_i(x)\phi_j(0)\rangle.
\notag
}
������ ��������, ��� ������ �������������� ������� ���������� � ����, ���� $\Delta_i\ne\Delta_j$:
\eq{
\langle\phi_i(x_1)\phi_j(x_2)\rangle=\Cases{
{C^{\bf1}_{ij}\over(z_1-z_2)^{2\Delta_i}(\bz_1-\bz_2)^{2\bDelta_i}},
&\text{���� }\Delta_i=\Delta_j,\ \bDelta_i=\bDelta_j,
\\
0,&\text{���� }\Delta_i\ne\Delta_j\text{ ��� }\bDelta_i\ne\bDelta_j.
}
\label{2pointcorr}
}
������� $C^{\bf1}_{ij}$ ����� ������������� ��� ������� � ������������ ��������� �����. ��� ������� �� ����� ���������� ��������������� ����� ����� ����������� ��������������� � ���� ������� ��������� ��������. ��� ������ ����������� ���������� �����.

���������� ������ ������������ �������������� �������:
\Align{
\langle\phi_i(x_1)\phi_j(x_2)\phi_k(x_3)\rangle
&=\sum_m{C^m_{jk}\langle\phi_i(x_1)(\cL^m_{jk}z_{23}\bar\cL^m_{jk}\bz_{23}\phi_m)(x_3)\rangle
\over z_{23}^{\Delta_j+\Delta_k-\Delta_m}
\bz_{23}^{\bDelta_j+\bDelta_k-\bDelta_m}}
\notag
\\
&=\sum_m{C^m_{jk}\langle\phi_i(x_1)\phi_m(x_3)\rangle+O\bigl(\bigl|{z_{23}\over z_{13}}\bigr|\bigr)
\over z_{23}^{\Delta_j+\Delta_k-\Delta_m}
\bz_{23}^{\bDelta_j+\bDelta_k-\bDelta_m}}
\notag
\\
&={\sum\nolimits'_mC^{\bf1}_{im}C^m_{jk}+O\bigl(\bigl|{z_{23}\over z_{13}}\bigr|\bigr)
\over z_{13}^{2\Delta_i}\bz_{13}^{2\bDelta_i}
z_{23}^{\Delta_j+\Delta_k-\Delta_m}
\bz_{23}^{\bDelta_j+\bDelta_k-\bDelta_m}}.
\label{3pexpansion}
}
����� $\sum\nolimits'_m$ �������� ����� �� ���������� $m$ � ���� �� ����������� �������������, ��� � ���������~$i$. ��� ���� ��, �� ����, �������, ��� $|z_1-z_3|\gg|z_2-z_3|$. ��� ������, ��� �� $z_2-z_3$ �� ����� ����� ����������� ����. ��� ��������� ����� ����� ��� ������������ �������.

�����
\eq{
C_{ijk}=\mathop{\sum\nolimits'}\limits_mC^{\bf1}_{im}C^m_{ji}.
\label{C_ijkdef}
}
����� ������������ ������� ����� ���
\eq{
\langle\phi_i(x_1)\phi_j(x_2)\phi_k(x_3)\rangle
={C_{ijk}\over z_{ij}^{\Delta^k_{ij}}\bz_{ij}^{\bDelta^k_{ij}}
z_{ik}^{\Delta^j_{ik}}\bz_{ik}^{\bDelta^j_{ik}}
z_{jk}^{\Delta^i_{jk}}\bz_{jk}^{\bDelta^i_{jk}}},
\label{3pointcorr}
}
���
$$
\Delta^k_{ij}=\Delta_i+\Delta_j-\Delta_k,
\qquad
\bDelta^k_{ij}=\bDelta_i+\bDelta_j-\bDelta_k.
$$
� ������� $|z_1-z_3|\gg|z_2-z_3|$ ��������� (\ref{3pointcorr}) ��������� � ���������� ���� � ��������� �������~(\ref{3pexpansion}).

���������� ������ ��������������� �������. ���� � ��� ���� ������ ����������� ���������� $z_1,\ldots,z_4$, �� ����� ������ ����������
\eq{
w={(z_4-z_3)(z_2-z_1)\over(z_4-z_2)(z_3-z_1)},
\label{doubleratio}
}
���������� \textit{������� ����������}. ����� $z_3=z$. ����� ������� ��������� ���������� ���������� ������-�������� �������������� �� ���������� $z$ �~$w$:
$$
w(z)={z_2-z_1\over z_4-z_2}\cdot{z_4-z\over z-z_1}.
$$
�������, ��� $w(z_1)=\infty$, $w(z_3)=1$, $w(z_4)=0$, �� ���� ��� �������������� ��������� ����� ��� ����� $z_1,z_3,z_4$ � $0,1,\infty$. �������� ��� �������������� � ��������������� �������������� �������
$$
\langle\phi_i(x_1)\phi_j(x_2)\phi_k(x_3)\phi_l(x_4)\rangle
$$
� �������
$$
\langle\phi_i(\infty,\infty)\phi_j(1,1)\phi_k(w,\bw)\phi_l(0,0)\rangle
=\langle i|\phi_j(1,1)\phi_k(w,\bw)|l\rangle.
$$
����� ��� $\phi_i(\infty)$ ���������� ������
$$
\phi_i(\infty,\infty)\mathrel{\mathop=^{\rm def}}
\lim_{z\to\infty}z^{2\Delta_i}\bz^{2\bDelta_i}\phi_i(z,\bz)\rangle.
$$
����� ����������� ��� ��������� �������. ������� ������� ���������� ������ ����� $w=0$:
$$
\langle i|\phi_j(1,1)\phi_k(w,\bw)|l\rangle
=\sum_m{C^m_{kl}\over w^{\Delta^m_{kl}}\bw^{\bDelta^m_{kl}}}
\langle i|\phi_j(1,1)L^m_{kl}(w)\bL^m_{kl}(\bw)|m\rangle.
$$
��������, ��� $\langle i|L^m_{kl}(w)\bL^m_{kl}(\bw)=\langle i|$. � ���� �������������� ����������� ���������� $L_n$, $\bL_n$ � ���������� ����������� ����������� $L^m_{kl}(w)$ � $\bL^m_{kl}(\bw)$ ���� ���������������� ��������� $D^m_{jkl}(w,z)$ � $\bD^m_{jkl}(\bw,\bz)$:
\eq{
\Aligned{
\phi_j(z,\bz)L^m_{kl}(w)
&=D^m_{jkl}(w,z)\phi_j(z,\bz)+\sum^\infty_{n=1}L_{-n}(\ldots),
\\
\phi_j(z,\bz)\bL^m_{kl}(w)
&=\bD^m_{jkl}(\bw,\bz)\phi_j(z,\bz)+\sum^\infty_{n=1}\bL_{-n}(\ldots).
}\label{Ddef}
}
���������, ������������ ������������ � �������, ��� �� ����������, ��������� ������� ���������~$\langle i|$. � ������ �������� �� ��������~$w$ ��������
\Multline{
D^m_{jkl}(w,z)
=1-w\beta^m_{kl}(1)(z^2\d_z+2\Delta_jz)
\\
-w^2\Bigl(\beta^m_{kl}(2)(z^3\d_z+3\Delta_jz^2)-\beta^m_{kl}(1,1)(z^2\d_z+2\Delta_jz)^2\Bigr)
+O(w^3).
\label{Dexpansion}
}
��������, ��� $D^m_{jkl}(w,z)$ ������������ ����� ���������������� �������� ��~$z$, � $\bD^m_{jkl}(\bw,\bz)$ --- ��~$\bz$. ����� ��������, ��� ��� �����������:
\eq{
[D^m_{jkl}(w,z),\bD^m_{jkl}(\bw,\bz)]=0.
\label{Dcommut}
}
���������� (\ref{Ddef}), ��������
\Align{
\langle i|\phi_j(1,1)\phi_k(w,\bw)|l\rangle
&=\sum_m{C^m_{kl}\over w^{\Delta^m_{kl}}\bw^{\bDelta^m_{kl}}}
\left.D^m_{jkl}(w,z)\bD^m_{jkl}(\bw,\bz)\langle i|\phi_j(z,\bz)|m\rangle\right|_{z=\bz=1}
\notag
\\
&=\sum_m{C_{ijm}C^m_{kl}\over w^{\Delta^m_{kl}}\bw^{\bDelta^m_{kl}}}
\left.D^m_{jkl}(w,z)z^{-\Delta^i_{jm}}\right|_{z=1}
\left.\bD^m_{jkl}(\bw,\bz)\bz^{-\bDelta^i_{jm}}\right|_{\bz=1}\ .
\notag
}
������ �����������
\eq{
\Aligned{
\cF^{ij}_{lk}(m|w)
&=w^{-\Delta^m_{kl}}\left.D^m_{jkl}(w,z)z^{-\Delta^i_{jm}}\right|_{z=1}\ ,
\\
\bcF^{ij}_{lk}(m|\bw)
&=\bw^{-\Delta^m_{kl}}\left.\bD^m_{jkl}(\bw,\bz)\bz^{-\bDelta^i_{jm}}\right|_{\bz=1}\ .
}\label{cFdef}
}
��� ��� �����, ��� \textit{���������� �����} $\cF^{ij}_{lk}(m|w)$ � $\bcF^{ij}_{lk}(m|\bw)$ �������� �������������� ��������� $w$ �, ��������������,~$\bw$ � ��������� ������������ ���������� ��������.

��������������� �������������� �������, ����� �������, ����� ���
\eq{
\langle i|\phi_j(1,1)\phi_k(w,\bw)|l\rangle
=\sum_mC_{ijm}C^m_{kl}\cF^{ij}_{lk}(m|w)\bcF^{ij}_{lk}(m|\bw).
\label{4point-s}
}
�� ����� ����������� ���� $\phi_j(1,1)$, $\phi_k(w,\bw)$, $\phi_l(0,0)$ � ��������
\Multline{
\langle i|\phi_j(1,1)\phi_k(w,\bw)|l\rangle
=Z_{jk}Z_{jl}Z_{kl}\langle i|\phi_l(1,1)\phi_k(1-w,1-\bw)|j\rangle
\\*
=Z_{jk}Z_{jl}Z_{kl}\sum_mC_{ilm}C^m_{kj}\cF^{il}_{jk}(m|1-w)\bcF^{il}_{jk}(m|1-\bw),
\label{4point-t}
}
��� $Z_{ij}$ --- �����������, ����������� �� ������������ ���������� $\phi_i$ �~$\phi_j$. � ������ ��������� ���������� �� ����� $\pm1$ � ����������� �� ������. ��������� (\ref{4point-s}) � (\ref{4point-t}) ����� ������������� ��� $s$- � $t$-��������� ���������� �������������� �������, �������, ��������, ������ ��������� � ������ � ���� �� ����������. �� �������� ��� ���������� \textit{������� ��������-���������}
\eq{
\sum_mC_{ijm}C^m_{kl}\cF^{ij}_{lk}(m|w)\bcF^{ij}_{lk}(m|\bw)
=Z_{jk}Z_{jl}Z_{kl}\sum_mC_{ilm}C^m_{kj}\cF^{il}_{jk}(m|1-w)\bcF^{il}_{jk}(m|1-\bw).
\label{crossing}
}
���������� ��� ����� ���������� ���:
$$
\sum_m\quad
\vcenter{\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\ar -.8 -1.3 , -.3 -.8 \ln -.3 -.8 , 0 -.5
\ar .8 -1.3 , .3 -.8 \ln .3 -.8 , 0 -.5
\ar 0 -.5 , 0 .1 \ln 0 .1 , 0 .5
\ar .8 1.3 , .3 .8 \ln .3 .8 , 0 .5
\ar -.8 1.3 , -.3 .8 \ln -.3 .8 , 0 .5
\put{$i$} [br] <0pt,3pt> at -.8 1.3
\put{$j$} [bl] <0pt,3pt> at .8 1.3
\put{$k$} [tl] <0pt,-3pt> at .8 -1.3
\put{$l$} [tr] <0pt,-3pt> at -.8 -1.3
\put{$m$} [Bl] <4pt,-2pt> at 0 0
\endpicture}
\quad=\quad
\sum_m\quad
\vcenter{
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\ar -1.3 -.8 , -.8 -.3 \ln -.8 -.3 , -.5 0
\ar 1.3 -0.8 , .8 -.3 \ln .8 -.3 , .5 0
\ar .5 0 , -.1 0 \ln -.1 0 , -.5 0
\ar 1.3 .8 , .8 .3 \ln .8 .3 , .5 0
\ar -1.3 .8 , -.8 .3 \ln -.8 .3 , -.5 0
\put{$i$} [br] <0pt,3pt> at -1.3 .8
\put{$j$} [bl] <0pt,3pt> at 1.3 .8
\put{$k$} [tl] <0pt,-3pt> at 1.3 -.8
\put{$l$} [tr] <0pt,-3pt> at -1.3 -.8
\put{$m$} [bc] <0pt,4pt> at 0 0
\endpicture}
$$
� �������� �������� ��������� ����������� ��������� (�������� ����� �������� ������ ������, � ��������� --- �������). ����� ������� � ����� �������������� ������������ ���� ���������� ������ (<<������>> � <<�������>>). ������� ��������-��������� �������� \textit{���������������} ����������� �������, �� ���� ��� ����, ��� ������������ $\phi_j\phi_k\phi_l$ ����� ��������� ��� $(\phi_j(\phi_k\phi_l))$ ��� ��� $((\phi_j\phi_k)\phi_l)$, ������� ���� � ��� �� ���������.

������� ��������-��������� ����� ������������� ��� ��������� �� ����������� ���������, ������ ����� ������� ��� ������� ������ ����� �������������� ��������� ���������� ������ ����. ������� $n$-�������� �������������� ������� ���������� ���������� ����� ����������� ��������� $C^k_{ij}$ � $n$-�������� ���������� �����, ������� ������������ ���������� ���������������. ����� ������� ������� ��������-��������� ������������ ����� \textit{������� ���������} ��� ���������� ������ ����.

��� ����, ����� ������ ������� ��������-���������, ����� ��������� ������������� ���������� ����� � $s$-������ ����� ���������� ����� � $t$-������:
\eq{
\Aligned{
\cF^{ij}_{lk}(m;w)
&=\sum_{m'}K^{ij}_{lk}(m,m')\cF^{il}_{jk}(m';1-w),
\\
\bcF^{ij}_{lk}(m;\bw)
&=\sum_{m'}\bar K^{ij}_{lk}(m,m')\bcF^{il}_{jk}(m';1-\bw).
}\label{cFcrossing}
}
���������� ���������� (\ref{cFcrossing}) � ������� ��������-��������� (\ref{crossing}), �������� \textit{��������� ���������������}:
\eq{
\sum_{m''}C_{ijm''}C^{m''}_{kl}K^{ij}_{lk}(m'',m)\bar K^{ij}_{lk}(m'',m')
=Z_{jk}Z_{jl}Z_{kl}C_{ilm}C^m_{kj}\delta_{mm'}.
\label{crosssingeq}
}
�� ����� ����� ������������ $K^{ij}_{lk}(m,m')$, $\bar K^{ij}_{lk}(m,m')$ ���������� ����� ����������� ������������� ��� ���������� ������. �� ������� ��� � ������~22.


\bigbreak
\centerline{\bf ������}
\medskip

{\bf1.}~��� ������������� ���� $\phi(x)$ �������� ����������� $[L_n,\phi(x)]$ ����� ���������~$(\cL_n\phi)(x)$.

{\bf2.}~�������� ����, ��� ���������� ������������ ��������������� ������� $\langle\phi_i(x_1)\phi_j(x_2)\*\phi_k(x_3)\*\phi_l(x_4)\rangle$ ����� ������� � ���������� �������� ��������� $\langle\phi_i(\infty,\infty)\phi_j(1,1)\phi_k(w,\bw)\phi_l(0,0)\rangle$.

{\bf3.}~����� ������ ��� ��������� � ���������� ����������� ����� $\cF^{ij}_{lk}(m;w)$ �� ��������~$w$.


\end{document}
