\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,pictex,theorem,russian,fullpage}
%\usepackage[notref]{showkeys}


\allowdisplaybreaks

\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\long\def\subeq#1{\begin{subequations}\ignorespaces#1\end{subequations}}
\def\eq#1{\begin{equation}#1\end{equation}}
\def\Align#1{\begin{align}#1\end{align}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}#1\end{aligned}}
\def\Gather#1{\begin{gather}#1\end{gather}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}#1\end{gathered}}
\def\Multline#1{\begin{multline}#1\end{multline}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\bDelta{{\bar\Delta}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\mathspan{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bJ{{\boldsymbol J}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\bD{{\bar D}}
\def\bL{{\bar L}}
\def\bT{{\bar T}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{{\rm \,const\,}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\cF{{\cal F}}
\def\bcF{{\cal\bar F}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cL{{\cal L}}
\def\bcL{{\cal\bar L}}
\def\cW{{\cal W}}
\def\i{{\rm i}}

\def\lcolon{\mathopen:}
\def\rcolon{\mathclose:}

\newtheorem{theorem}{Теорема}

%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.3truecm> [0.1,0.3] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\begin{document}

\centerline{\bf Лекция~21}
\centerline{\bf Правила слияния, вырожденные модули и минимальные модели}
\bigskip
Вернемся теперь к операторам $\phi_{21}(x)=\phi_{\Delta_{21}\bDelta_{21}}(x)$ и $\phi_{12}(x)=\phi_{\Delta_{12}\bDelta_{12}}(x)$, о которых уже шла речь в Лекции~19. Мы уже говорили, что наличие нуль-векторов в соответствующих модулях Верма алгебр Вирасоро приводят к дифференциальным уравнениям на корреляционные функции. По переменным $z$ и $\bz$ порядок этих дифференциальных уравнений равен двум. Рассмотрим операторное произведение $\phi_*(x')\phi_{\Delta\bDelta}(x)$, где звездочка означает индекс $12$ или $21$, при достаточно малом $|z'-z|$. Тогда в дифференциальном уравнении на корреляционную функцию можно пренебречь членами, связанными с остальными полями и написать
\eq{
\left({3\over2(2\Delta_*+1)}\d^{\prime2}-{1\over z'-z}\d'-{\Delta\over(z'-z)^2}\right)
\langle\phi_*(x')\phi_{\Delta\bDelta}(x)\ldots\rangle=0.
\label{phi*phieq}
}
Мы использовали сдвиговую инвариантность корреляционных функций, чтобы заменить $\d\to-\d'$. Таким образом, получилось обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Аналогичное уравнение можно написать по~$\bz'$, $\bz$.

Уравнение (\ref{phi*phieq}) легко решить в виде
\eq{
\langle\phi_*(x')\phi(x)\ldots\rangle\sim(z'-z)^{\Delta'-\Delta-\Delta_*}
(\bz'-\bz)^{\bDelta'-\bDelta-\bDelta_*}.
\label{phi*phisolution}
}
Подставляя это решение в уравнение, находим условие на~$\Delta'$:
$$
(\Delta'-\Delta_*-\Delta)^2-{4\Delta_*+5\over3}(\Delta'-\Delta_*-\Delta)
-{2\Delta(2\Delta_*+1)\over3}=0.
$$
Если записать конформные размерности в обозначениях теории поля Лиувилля
\eq{
\Delta_a=a(Q-a),
\qquad
Q=b+b^{-1},
\qquad
c=1+6Q^2,
\label{Liouvelle-notation}
}
решение этого уравнения записывается очень просто. Прежде всего, размерности вырожденных на втором уровне полей равны
\eq{
\Delta_{12}=\Delta_{-b/2},
\qquad
\Delta_{21}=\Delta_{-1/2b}.
\label{Delta1221}
}
Пусть
$$
\Delta_*=\Delta_{a_*}
\quad(a_*=-b/2\text{ or }-1/2b),
\qquad
\Delta=\Delta_a,
\qquad
\Delta'=\Delta_{a'}.
$$
Тогда решения уравнения (\ref{phi*phieq}) определяются соотношением
\eq{
a'=a\pm a_*.
\label{ashift1221}
}
Аналогично определяется~$\bDelta'$. Такое простое решение, как мы увидим ниже, не случайно.

Поскольку общее решение уравнения (\ref{phi*phieq}) является линейной комбинацией решений (\ref{phi*phisolution}), мы можем предположить операторное разложение
\eq{
\phi_*(x')\phi_{\Delta\bDelta}(x)
=\sum_{\Delta',\bDelta'}{C^{\Delta'\bDelta'}_{\Delta_*\bDelta_*,\Delta\bDelta}
\over(z'-z)^{\Delta+\Delta_*-\Delta'}(\bz'-\bz)^{\bDelta+\bDelta_*-\bDelta'}}
\Bigl(\phi_{\Delta'\bDelta'}(x)+\cdots\Bigr).
\label{phi*phiOPE}
}
Многоточие обозначает вклад полей-потомков из конформного семейства~$[\phi_{\Delta'\bDelta'}]$. Формально число слагаемых в правой части равно, по меньшей мере, четырем. Но это будет противоречить локальности теории, так как тогда спины полей $\Delta'-\bDelta'$ будут, вообще говоря, не целыми или полуцелыми. Более того, при обходе $z'$ вокруг $z$ по замкнутому контуру в положительном направлении члены с $\Delta'=\bDelta'=\Delta_{a\pm a_*}$ не изменятся, в то время как члены с $\Delta'=\Delta_{a\pm a_*}$, $\bDelta'=\Delta_{a\mp a_*}$ умножатся на комплексные множители $e^{2\pi\i(\Delta'-\bDelta')}$. Поэтому следует наложить дополнительные условия.

Начиная с этого момента мы ограничимся семейством конформных теорий поля, удовлетворяющих двум условиям:

1. Спин всех первичных полей равен нулю: $\Delta_i=\bDelta_i$.

2. Для каждой размерности $\Delta$ имеется ровно одно первичное поле $\phi_\Delta$ этой размерности (\textit{условие минимальности}).

3. Центральный заряд алгебры Вирасоро $c<1$ или $c>25$, что отвечает наличию вырожденных модулей Верма.

Мы будем считать, что при $c>25$
\eq{
0<b<1,
\label{bbound}
}
а при $c<1$
\eq{
b=\i\alpha_-,
\qquad
b^{-1}=\i\alpha_+,
\qquad
Q=2\i\alpha_0,
\qquad
\alpha_\pm=\alpha_0\pm\sqrt{\alpha_0^2+1},
\label{alphapmdef}
}
то есть
\eq{
\alpha_+\alpha_-=-1,
\qquad
\alpha_+>1.
\label{alphabound}
}

Есть много конформных моделей, не удовлетворяющих этим условиям, и притом не менее интересных. Кроме того, многие из моделей, удовлетворяющих этим условиям, могут быть самосогласованно дополнены полями, нарушающими эти условия. Но давайте все-таки для определенности рассматривать именно такие модели.

Будем обозначать поля $\phi_{\Delta\Delta}(x)$ просто как $\phi_\Delta(x)$, а вместо $\phi_{\Delta_a}(x)$ будем писать~$\phi_a(x)$. Ограничения 1, 2 приводят к следующему \textit{правилу слияния} полей $\phi_*$ и $\phi_{\Delta_a}$:
\eq{
[\phi_{a_*}][\phi_a]=[\phi_{a+a_*}]+[\phi_{a-a_*}].
\label{fusion1221}
}
Эта запись будет символически заменять полное выражение
\Align{
\phi_{a_*}(x')\phi_a(x)
&={C^{a+a_*}_{a_*,a}\over|z'-z|^{2(\Delta_{a_*}+\Delta_a-\Delta_{a+a_*})}}
(\cL^{a+a_*}_{a_*,a}(z'-z)\bcL^{a+a_*}_{a_*,a}(\bz'-\bz)\phi_{a+a_*})(x)
\notag
\\*
&\quad+{C^{a-a_*}_{a_*,a}\over|z'-z|^{2(\Delta_{a_*}+\Delta_a-\Delta_{a-a_*})}}
(\cL^{a-a_*}_{a_*,a}(z'-z)\bcL^{a-a_*}_{a_*,a}(\bz'-\bz)\phi_{a-a_*})(x).
\label{OPE1221}
}
Рассмотрим специальный случай $a=0$. Тогда, очевидно,
$$
\phi_{a_*}(x')\cdot1
=\phi_{a_*}(x')=\cL^{a_*}_{a_*,0}(z'-z)\bcL^{a_*}_{a_*,0}(\bz'-\bz)\phi_{a_*}(z),
$$
так что $C^{a_*}_{a_*,0}=1$, $C^{a_*}_{-a_*,0}=0$. Получаются очевидные правила слияния
$$
[\phi_{21}][1]=[\phi_{21}],
\qquad
[\phi_{12}][1]=[\phi_{12}].
$$
Рассмотрим теперь произведение
\Align{
\phi_{12}(x')\phi_{12}(x)
&={C^0_{-b/2,-b/2}\over|z'-z|^{4\Delta_{12}}}\cL^1_{-b/2,-b/2}(z'-z)\bcL^1_{-b/2,-b/2}(\bz'-\bz)1
\notag
\\*
&\quad+{C^{-b}_{-b/2,-b/2}\over|z'-z|^{4\Delta_{12}-2\Delta_{-b}}}
(\cL^{-b}_{-b/2,-b/2}(z'-z)\bcL^{-b}_{-b/2,-b/2}(\bz'-\bz)\phi_{-b})(x),
\label{phi12phi12}
}
что приводит к правилу слияния
$$
[\phi_{-b/2}][\phi_{-b/2}]=[\phi_0]+[\phi_{-b}].
$$
Аналогично
$$
[\phi_{-1/2b}][\phi_{-1/2b}]=[\phi_0]+[\phi_{-1/b}].
$$
Теперь рассмотрим слияние полей $\phi_{-b}$, $\phi_{-1/b}$ с общим полем $\phi_a$. Легко понять, что
$$
[\phi_{-b/2}][\phi_{-b/2}][\phi_a]=[\phi_{-b/2}][\phi_{a+b/2}]+[\phi_{-b/2}][\phi_{a-b/2}]
=[\phi_{a+b}]+[\phi_a]+[\phi_{a-b}].
$$
В силу ассоциативности алгебры слияний, которое является следствием кроссинг-симметрии, имеем
$$
[\phi_{-b}][\phi_a]=[\phi_{a+b}]+[\phi_a]+[\phi_{a-b}],
\qquad
[\phi_{-1/b}][\phi_a]=[\phi_{a+1/b}]+[\phi_a]+[\phi_{a-1/b}].
$$
Так как получается, по всей видимости, три решения, мы можем предположить, что корреляционные функции полей $\phi_{-b}$, $\phi_{-1/b}$ удовлетворяют дифференциальному уравнению третьего порядка. Это так и есть. Модули Верма со старшими весами $\Delta_{-b}$, $\Delta_{-1/b}$ имеют нуль-вектор на уровне~3. Продолжая последовательные слияния с $\phi_{21}$, $\phi_{12}$, можно получить две серии специальных полей
$$
\phi_{m1}(x)=\phi_{1-m\over2b},
\qquad
\phi_{1n}(x)=\phi_{{1-n\over2}b}
$$
с правилами слияния
$$
\Aligned{{}
[\phi_{m1}][\phi_a]
&=\sum^m_{k=1}[\phi_{a+{m+1-2k\over2b}}],
\\
[\phi_{1n}][\phi_a]
&=\sum^n_{l=1}[\phi_{a+{n+1-2l\over2}b}],
\\
[\phi_{m'1}(x)][\phi_{m1}(x)]
&=\sum^{\min(m,m')}_{k=1}[\phi_{m+m'+1-2k,1}]
=[\phi_{|m-m'|+1,1}]+[\phi_{|m-m'|+3,1}]+\cdots+[\phi_{m+m'-1,1}],
\\
[\phi_{1n'}(x)][\phi_{1n}(x)]
&=\sum^{\min(n,n')}_{l=1}[\phi_{1,n+n'+1-2l}]
=[\phi_{1,|n-n'|+1}]+[\phi_{1,|n-n'|+3}]+\cdots+[\phi_{1,n+n'-1}].
}
$$
Теперь рассмотрим произведение $\phi_{21}(x')\phi_{12}(x)$. Два первых правила переписываются в виде
$$
[\phi_{21}][\phi_{12}]=[\phi_{-1/2b-b/2}]+[\phi_{1/2b-b/2}],
\qquad
[\phi_{21}][\phi_{12}]=[\phi_{-1/2b-b/2}]+[\phi_{-1/2b+b/2}],
$$
Из соображений совместности получаем
$$
[\phi_{21}][\phi_{12}]=[\phi_{-b/2-1/2b}].
$$
Поле в правой стороне равенства можно назвать~$\phi_{22}$. Вообще, положим
\eq{
a_{mn}={1-m\over2b}+{1-n\over2}b,
\qquad
\Delta_{mn}=\Delta_{a_{mn}},
\qquad
\phi_{mn}(x)=\phi_{a_{mn}}(x).
\label{phimn}
}

\begin{theorem}[В.~Кац]
Модуль Верма со старшим весом $\Delta$ вырожден тогда и только тогда, когда его размерность равна одной из размерностей $\Delta_{mn}$, $mn>0$, причем нуль-вектор находится на уровне~$mn$.
\end{theorem}

Отсюда немедленно следует, что корреляционная функция $\langle\phi_{mn}(x)\*\phi_{\Delta_1}(x_1)\*\ldots\*\phi_{\Delta_N}(x_N)\rangle$ удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка $mn$ по~$\d_z$ (и такому же уравнению по~$\bd_z$). Если одно из полей $\Delta_1,\ldots,\Delta_4$ имеет вид $\Delta_{mn}$, конформные блоки $\cF^{\Delta_1\Delta_2}_{\Delta_4\Delta_3}(\Delta;w)$ (соответственно $\bcF^{\Delta_1\Delta_2}_{\Delta_4\Delta_3}(\Delta;\bw)$) со всем допустимыми правилами слияния значениями $\Delta$ представляют собой все линейно независимые решения этого уравнения.

Напишем теперь общие правила слияния для полей $\phi_{mn}$ ($m,n>0$):
\eq{
\Aligned{{}
[\phi_{mn}][\phi_a]
&=\sum^m_{k=1}\sum^n_{l=1}[\phi_{a+{m+1-2k\over2b}+{n+1-2l\over2}b}],
\\
[\phi_{m'n'}][\phi_{mn}]
&=\sum^{\min(m,m')}_{k=1}\>\sum^{\min(n,n')}_{l=1}[\phi_{m+m'+1-2k,n+n'+1-2l}].
}\label{fusiongenc}
}
Мы видим, что сектор вырожденных полей замыкается и может рассматриваться как замкнутая теория поля. В следующей лекции будет описана конструкция, позволяющая получить конформные блоки такой теории и найти структурные константы.

Заметим, что теория поля может быть унитарной, если все ее конформные размерности больше нуля. Действительно, вычислим норму состояния $L_{-1}|\Delta\rangle$. Пусть $\||\Delta\rangle\|^2=1$. Тогда
$$
\|L_{-1}|\Delta\rangle\|^2=\langle\Delta|L_1L_{-1}|\Delta\rangle
=2\Delta\langle\Delta|\Delta\rangle=2\Delta.
$$
Если какая-нибудь размерность отрицательна, то и квадрат нормы этого вектора отрицателен, то есть представление алгебры Вирасоро не унитарно. Можно показать, что положительность старшего веса $\Delta$ является необходимым и достаточным условием унитарности представления.

Для общих значений $a$ кажется непростым делом добиться унитарности. Тем не мене, теория Лиувилля с $c>25$ является унитарной. В этой теории, кроме единичного оператора, физическими первичными полями являются экспоненты $e^{a\varphi(x)}$ со значениями $a$ равными
\eq{
a={Q\over2}+\i P,
\qquad
P\in\R.
\label{Pdef}
}
Размерности таких полей $\Delta(P)=Q^2/4+P^2\ge Q^2>0$. При этом $P$ имеет смысл импульса <<частицы>>, налетающей на потенциальный барьер~$e^{b\varphi}$. Теория Лиувилля, таким образом, вообще не содержит вырожденных семейств полей, кроме семейства единичного оператора.

В случае $c<1$ невозможно как раз добиться унитарности представлений, отвечающих невырожденным полям. Среди вырожденных семейств, вообще говоря, тоже имеются неунитарные. Действительно, конформные размерности
$$
\Delta_{mn}=a_{mn}(Q-a_{mn})=\alpha_{mn}(\alpha_{mn}-2\alpha_0),
\qquad
\alpha_{mn}={1-m\over2}\alpha_++{1-n\over2}\alpha_-,
$$
отрицательны, если они попадают в полосу $0<\alpha_{mn}<2\alpha_0=\alpha_++\alpha_-$. Это значит, что отрицательным конформным размерностям отвечает полоса, ограниченная условиями
$$
n-1>\alpha_+^2(m-1),
\qquad
n+1<\alpha_+^2(m+1),
$$
причем $\alpha_-^2>1$. Это наклонная полоса зажатая между двух параллельных линий наклона $\alpha_+^2$, проходящих через точки $(1,1)$ и~$(-1,-1)$. При иррациональных $\alpha_+^2$ в силу теоремы об эргодичности иррациональной намотки тора в эту полосу обязательно попадет бесконечно много целых положительных точек~$(m,n)$. Поэтому в качестве кандидатов на унитарную теорию следует рассмотреть теории с рациональными значениями~$\alpha_+^2$.

Мы уже говорили, что модуль Верма со старшим весом $\Delta_{mn}$ имеет нуль-вектор на уровне~$mn$. А не может ли он иметь еще один нуль-вектор? По теореме Каца должны существовать два других положительных числа $\tilde m$, $\tilde n$, такие что
$$
\Delta_{mn}=\Delta_{\tilde m\tilde n},
$$
то есть
$$
a_{mn}(Q-a_{mn})=a_{\tilde m\tilde n}(Q-a_{\tilde m\tilde n}).
$$
Очевидно, единственная возможность состоит в том, что
$$
a_{mn}=Q-a_{\tilde m\tilde n},
$$
то есть
$$
(m+\tilde m)b^{-1}+(n+\tilde n)b=0.
$$
Очевидно, это уравнение имеет решение только когда $b=\i\alpha_-$ мнимое ($c<1$) и $b^2=-\alpha_-^2$ --- рациональное число. Пусть
\eq{
\alpha_-^2={p\over q},
\qquad
p>q>0\text{ --- взаимно-простые числа,}
\label{alpha-rat}
}
что соответствует центральному заряду алгебры Вирасоро
\eq{
c=1-{6(q-p)^2\over pq}.
\label{cpq}
}
Очевидно, что тогда $pb^{-1}+qb=0$ и
\eq{
\tilde m=p-m,
\qquad
\tilde n=q-n.
\label{mmnnid}
}
Исходя из нашего условия~2, потребуем, чтобы
\eq{
\phi_{mn}(x)=\phi_{p-m,q-n}.
\label{mnphiid}
}
Это очень важное условие. Оно накладывает на правила слияния серьезные ограничения. Именно,
\eq{
\Gathered{
[\phi_{m'n'}][\phi_{mn}]=\sum_{m''n''}[\phi_{m''n''}],
\qquad
{m+m'-m''\over2}\in\Z,
\qquad
{n+n'-n''\over2}\in\Z,
\\
\max(|m-m'|+1,\>m+m'-p+1)\le m\le\min(m+m'-1,\>p-|m-m'|-1),
\\
\max(|n-n'|+1,\>n+n'-q+1)\le n\le\min(n+n'-1,\>q-|n-n'|-1).
}\label{fusionrat}
}
Таким образом, теория замыкается на конечном числе первичных полей (\textit{таблице Каца}):
\eq{
\phi_{mn}(x),
\qquad
1\le m\le p-1,
\qquad
1\le n\le q-1.
\label{finprim}
}
Размерности этих полей можно записать так:
\eq{
\Delta_{mn}={(qm-pn)^2-(q-p)^2\over4pq}.
\label{Deltamnrat}
}
Такие конформные теории поля называют \textit{минимальными рациональными} теориями.

Все размерности минимальной рациональной теории поля положительны тогда и только тогда, когда
\eq{
q=p+1.
\label{unitmin}
}
Такие теории называют \textit{унитарными минимальными} моделями.

Рассмотрим простейший пример унитарной минимальной рациональной модели: $p=3$, $q=4$, что соответствует
$$
c=1/2.
$$
В теории имеется три первичных поля с размерностями
$$
1:\Delta_{11}=\Delta_{23}=0,
\qquad
\epsilon:\Delta_{21}=\Delta_{13}={1\over2},
\qquad
\sigma:\Delta_{12}=\Delta_{22}={1\over16}
$$
и правилами слияния
$$
[\epsilon][\epsilon]=[1],
\qquad
[\epsilon][\sigma]=[\sigma],
\qquad
[\sigma][\sigma]=[1]+[\epsilon].
$$
Операторные разложения можно написать как
\Align{
\epsilon(x')\epsilon(x)
&={1\over|z'-z|^2}+\cdots,
\notag
\\
\epsilon(x')\sigma(x)
&={C^\sigma_{\epsilon\sigma}\sigma(x)\over|z'-z|}+\cdots,
\notag
\\
\sigma(x')\sigma(x)
&={1\over|z'-z|^{1/4}}+C^\epsilon_{\sigma\sigma}\epsilon(x)|z'-z|^{3/4}+\cdots,
\notag
}
где точки обозначают вклад потомков. Мы нормировали операторы $\epsilon$ и $\sigma$ так, чтобы коэффициенты в парных корреляционных функциях равнялись единице:
$$
\langle\epsilon(x')\epsilon(x)\rangle={1\over|z'-z|^2},
\qquad
\langle\sigma(x')\sigma(x)\rangle={1\over|z'-z|^{1/4}}.
$$

Чтобы найти структурные константы $C^\sigma_{\epsilon\sigma}$ и $C^\epsilon_{\sigma\sigma}$, необходимо решить дифференциальные уравнения для корреляционных функций. Прежде всего, заметим, что
$$
C^\sigma_{\epsilon\sigma}=C_{\sigma\epsilon\sigma}=C_{\epsilon\sigma\sigma}=C^\epsilon_{\sigma\sigma}
$$
в силу того, что мы положили $C^{\bf1}_{\sigma\sigma}=C^{\bf1}_{\epsilon\epsilon}=1$. Поэтому достаточно вычислить только одну структурную константу. Рассмотрим корреляционную функцию
$$
G(w,\bw)=\langle\sigma(\infty,\infty)\sigma(1,1)\sigma(w,\bw)\sigma(0,0)\rangle
=\cF^{\sigma\sigma}_{\sigma\sigma}({\bf1};w)\bcF^{\sigma\sigma}_{\sigma\sigma}({\bf1};\bw)
+(C^\epsilon_{\sigma\sigma})^2
\cF^{\sigma\sigma}_{\sigma\sigma}(\epsilon;w)\bcF^{\sigma\sigma}_{\sigma\sigma}(\epsilon;\bw)
$$
В окончательном ответе можно будет заменить произведения $\cF\bcF$ на $|\cF|^2$, но я здесь хочу подчеркнуть, что пока мы рассматриваем $w$ и $\bw$ как независимые переменные. В дальнейшем для простоты мы будем писать
$$
\cF_{\bf1}(w)=\cF^{\sigma\sigma}_{\sigma\sigma}({\bf1};w),
\qquad
\cF_\epsilon(w)=\cF^{\sigma\sigma}_{\sigma\sigma}(\epsilon;w).
$$
В силу размерности $1/16$ поля $\sigma$ корреляционная функция $G(w,\bw)$ удовлетворяет уравнению
$$
\left({4\over3}{d^2\over dw^2}
-{1\over16}\left({1\over w^2}+{1\over(1-w)^2}\right)
-{1\over8w(1-w)}+\left({1\over w}-{1\over1-w}\right){d\over dw}\right)G(w,\bw)=0.
$$
Следовательно, и конформные блоки должны удовлетворять этому уравнению:
$$
\left({4\over3}{d^2\over dw^2}
-{1\over16}\left({1\over w^2}+{1\over(1-w)^2}\right)
-{1\over8w(1-w)}+\left({1\over w}-{1\over1-w}\right){d\over dw}\right)\cF_i(w)=0.
$$
Это уравнение можно упростить подстановкой
$$
\cF_i(w)=w^{-1/8}(1-w)^{-1/8}u_i(w).
$$
Получаем
$$
\left(w(1-w){d^2\over dw^2}+\left({1\over2}-w\right){d\over dw}+{1\over16}\right)u(w)=0.
$$
Это гипергеометрическое уравнение, однако его можно решить, не вдаваясь в теорию гипергеометрических функций. Для этого воспользуемся подстановкой
$$
w=\sin^2\theta.
$$
Тогда уравнение сведется к виду
$$
\left({d^2\over d\theta^2}+{1\over4}\right)u(w)=0.
$$
Это уравнение имеет два решения
$$
u_1(w)=\cos{\theta\over2},
\qquad
u_2(w)=\sin{\theta\over2}.
$$
В пределе $\theta\to0$ имеем $\theta\simeq2w^{1/2}$, поэтому
$$
\cF_1(w)\simeq w^{-1/8},
\qquad
\cF_2(w)\simeq w^{3/8}.
$$
При обходи $w$ вокруг точки 0 параметр $\theta$ меняется на $-\theta$, так что
\eq{
\cF_1(e^{2\pi\i}w)=e^{-\i\pi/4}\cF_1(w),
\qquad
\cF_2(e^{2\pi\i}w)=e^{3\i\pi/4}\cF_2(w).
\label{monodromy0}
}
Вид особенности и свойство монодромии заставляют нас отождествить решения $\cF_1$, $\cF_2$ с конформными блоками
$$
\cF_1(w)=\cF_{\bf1}(w),
\qquad
\cF_2(w)=\cF_\epsilon(w).
$$
Мы получаем
\eq{
G(w,\bw)=(w\bw(1-w)(1-\bw))^{-1/8}\left(\cos{\theta\over2}\cos{\bar\theta\over2}
+(C^\epsilon_{\sigma\sigma})^2\sin{\theta\over2}\sin{\bar\theta\over2}\right).
\label{Gsolution}
}
Из свойства (\ref{monodromy0}) мы немедленно получаем, что функция $G(w,\bw)$ не меняется на эвклидовой плоскости ($\bw=w^*$) при обходе $w$ вокруг нуля. Для однозначности корреляционной функции требуется еще проверить, что она не меняется при обходе $w$ вокруг единицы. Так как $1-w=\cos^2\theta=\sin^2({\pi\over2}-\theta)$, обходу вокруг единицы отвечает замена $\theta\to\pi-\theta$:
$$
G(1+e^{2\pi\i}(w-1),1+e^{2\pi\i}(\bw-1))
=(w\bw(1-w)(1-\bw))^{-1/8}\left(\sin{\theta\over2}\sin{\bar\theta\over2}
+(C^\epsilon_{\sigma\sigma})^2\cos{\theta\over2}\cos{\bar\theta\over2}\right).
$$
Сравнивая с (\ref{Gsolution}), получаем
$$
(C^\epsilon_{\sigma\sigma})^2=1.
$$
Поскольку знак поля $\epsilon(x)$ у нас ничем не фиксирован, мы можем с полным основанием положить
\eq{
C^\epsilon_{\sigma\sigma}=C^\sigma_{\epsilon\sigma}=1.
\label{IsingC}
}

Теория $c=1/2$ замечательна еще и тем, что к ней можно добавить два полулокальных поля $\psi(z)=\phi_{1/2,0}(x)$ и $\bpsi(\bz)=\phi_{0,1/2}(x)$ со спинами $1/2$ и $-1/2$ соответственно. Добавляя такие поля, мы нарушаем условие~1. Тем не менее, мы сейчас получим важный результат. В силу дифференциального уравнения (\ref{phi*phieq}), верного и для $\psi(z)$ в киральном секторе, мы имеем операторные разложения:
\Align{
\psi(z')\bpsi(\bz)
&=C^\epsilon_{\psi\bpsi}\epsilon(x)+\cdots,
\notag
\\
\psi(z')\psi(z)
&={1\over z'-z}+\cdots,
&\bpsi(\bz')\psi(\bz)
&={1\over\bz'-\bz}+\cdots,
\notag
\\
\psi(z')\epsilon(x)
&={C^\bpsi_{\psi\epsilon}\bpsi(\bz)\over z'-z}+\cdots,
&\bpsi(\bz')\epsilon(x)
&={C^\psi_{\bpsi\epsilon}\psi(z)\over\bz'-\bz}+\cdots,
\notag
\\
\psi(z')\sigma(x)
&={C^\mu_{\psi\sigma}\mu(x)\over(z'-z)^{1/2}}+\cdots,
&\bpsi(\bz')\sigma(x)
&={C^\mu_{\bpsi\sigma}\mu(x)\over(\bz'-\bz)^{1/2}}+\cdots,
\notag
}
где $\mu(x)$ --- новое поле размерности $\Delta=\bDelta={1\over16}$, не взаимно-локальное с~$\sigma(x)$. Если мы положим $C^\epsilon_{\psi\bpsi}=1$, то пределом $x'\to x$ получаем
\eq{
\epsilon(x)=\psi(z)\bpsi(\bz).
\label{epsilonpsibpsi}
}
Отсюда немедленно следует, что $C^\bpsi_{\psi\epsilon}=C^\psi_{\bpsi\epsilon}=1$. Легко также получить соотношения
\Align{
\psi(z')\mu(x)
&={C^\sigma_{\psi\mu}\sigma(x)\over(z'-z)^{1/2}}+\cdots,
\qquad
\bpsi(\bz')\mu(x)={C^\sigma_{\bpsi\mu}\sigma(x)\over(\bz'-\bz)^{1/2}}+\cdots.
\notag
\\
\sigma(x')\mu(x)
&=C^\psi_{\sigma\mu}\psi(z){(z'-z)^{3/8}\over(\bz'-\bz)^{1/8}}
+C^\bpsi_{\sigma\mu}\bpsi(\bz){(\bz'-\bz)^{3/8}\over(z'-z)^{1/8}}+\cdots.
\notag
}
Можно вычислить корреляционную функцию
\eq{
\tilde G(w,\bw)
=\langle\sigma(\infty,\infty)\mu(1,1)\sigma(w,\bw)\mu(1,1)\rangle.
\label{tildeGcFbcF}
}
Она удовлетворяет тем же дифференциальным уравнением, так что выражается через те же конформные блоки, но по-другому:
$$
\tilde G(w,\bw)
=\cF_{\bf1}(w)\bcF_\epsilon(\bw)+\cF_\epsilon(w)\bcF_{\bf1}(\bw).
$$
Отсюда следует, что
\eq{
C^\psi_{\sigma\mu}=C^\bpsi_{\sigma\mu}=C^\mu_{\psi\sigma}=C^\mu_{\bpsi\sigma}
=C^\sigma_{\psi\mu}=C^\sigma_{\bpsi\mu}=1.
\label{Cpsisigmamu}
}

В полях $\psi(z)$, $\bpsi(\bz)$ нетрудно узнать компоненты свободного майорановского фермиона с действием
$$
S[\psi]={1\over4\pi}\int d^2x\,(\psi\bd\psi-\bar\psi\d\bar\psi).
$$
Из правил преобразования полей при монодромии (обходе одного поля вокруг другого) нетрудно заключить, что $\sigma(x)$ и $\mu(x)$ представляют собой параметр порядка и беспорядка теории (или наоборот, что в критической точке неважно). Поле $\epsilon(x)$ представляет собой плотность энергии. Таким образом, теория $c=1/2$ описывает модель Изинга в критической точке.

Заметим, что вне критической точки модель Изинга описывается действием
\eq{
S_{\text{Ising}}=S^{\,\text{CFT}}_{c=1/2}+\tau\int d^2x\,\epsilon(x)+h\int d^2x\,\sigma(x),
\label{SIsing}
}
где $\tau$ пропорционально $T-T_c$, а $h$ --- внешнему магнитному полю.

Остальные рациональные минимальные модели соответствуют более сложным критическим точкам и не описываются теориями свободных полей.

Результаты, описанные в последних трех лекциях, принадлежат Белавину, Полякову и А.~Замолодчикову (1983).


\bigbreak
\centerline{\bf Задачи}
\medskip

{\bf1.}~Разложите конформные блоки $\cF_i(w)$ в теории $c=1/2$ по $\cF_i(1-w)$ и покажите, что уравнения ассоциативности приводят к тому же решению для структурной константы.

{\bf2.}~Покажите, что корреляционная функция $\tilde G(w,\bw)$, определенная (\ref{tildeGcFbcF}), монодромно-ин\-ва\-ри\-ант\-на, то есть не меняется при обходе $w$ вокруг точек $0$ и $1$ при условии $\bw=w^*$.


\end{document}
