\input pictex

\tolerance=2000
\def\S{{\cal S}}
\def\d{\partial}
\def\qd{\dot q}
\def\qdd{\ddot q}
\def\vp{\varphi}
\def\vpd{\dot\varphi}
\def\vpb{{\bar\vp}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vpdd{\ddot\varphi}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\tb{{\tilde b}}
\def\x{{\bfm x}}
\def\y{{\bfm y}}
\def\p{{\bfm p}}
\def\half{{1\over2}}
\def\H{{\cal H}}
\def\F{{\cal F}}
\def\O{{\cal O}}
\def\D{{\cal D}}
\def\L{{\cal L}}
\def\M{{\cal M}}
\def\T{{\rm T}}
\def\const{\mathop{\rm const}\nolimits}
\def\lvac{\langle0|}
\def\rvac{|0\rangle}
\def\Sym{\mathop{\rm Sym}\limits}
\newfam\mibfam
\font\tenib=cmmib10
\font\sevenib=cmmib7
\font\fiveib=cmmib5
\textfont\mibfam=\tenib
\scriptfont\mibfam=\sevenib
\scriptscriptfont\mibfam=\fiveib
\def\bfm{\fam\mibfam\tenib}
\mathchardef\alpha="710B
\mathchardef\beta="710C
\mathchardef\gamma="710D
\mathchardef\delta="710E
\mathchardef\epsilon="710F
\mathchardef\zeta="7110
\mathchardef\eta="7111
\mathchardef\theta="7112
\mathchardef\iota="7113
\mathchardef\kappa="7114
\mathchardef\lambda="7115
\mathchardef\mu="7116
\mathchardef\nu="7117
\mathchardef\xi="7118
\mathchardef\pi="7119
\mathchardef\rho="711A
\mathchardef\sigma="711B
\mathchardef\tau="711C
\mathchardef\upsilon="711D
\mathchardef\phi="711E
\mathchardef\chi="711F
\mathchardef\psi="7120
\mathchardef\omega="7121
\mathchardef\varepsilon="7122
\mathchardef\vartheta="7123
\mathchardef\varpi="7124
\mathchardef\varrho="7125
\mathchardef\varsigma="7126
\mathchardef\varphi="7127
\def\evec{{\bfm e}}
\def\jvec{{\bfm j}}
\def\nvec{{\bfm n}}
\def\pvec{{\bfm p}}
\def\svec{{\bfm s}}
\def\vvec{{\bfm v}}
\def\xvec{{\bfm x}}
\def\yvec{{\bfm y}}
\def\alphavec{{\bfm\alpha}}
\def\gammavec{{\bfm\gamma}}
\def\muvec{{\bfm\mu}}
\def\sigmavec{{\bfm\sigma}}
\def\thetavec{{\bfm\theta}}
\def\vpvec{{\bfm\varphi}}
\def\Jvec{{\bfm J}}
\def\Kvec{{\bfm K}}
\def\Avec{{\bfm A}}
\def\Bvec{{\bfm B}}
\def\Sigmavec{{\bf\Sigma}}
%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.2truecm> [0.15,0.4] from #1 #2 to #3 #4 }
%\def\ln#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.01truecm> [0,0] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\centerline{\bf Лекция 4}
\centerline{\bf Матрица рассеяния}
\bigskip
Мы рассматриваем теорию скалярного вещественного бозона $\vp(x)$ со
взаимодействием. Имеется каноническое преобразование
$$
\eqalign{
\vp(\x)
&=\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}\,{1\over\sqrt{2\ve_p}}
(\ta_\p e^{i\p\x}+\ta^+_\p e^{-i\p\x}),
\cr
\vpd(\x)
&=-i\int{d^{D-1}p\over(2\pi)^{D-1}}\,\sqrt{\ve_p\over2}
(\ta_\p e^{i\p\x}-\ta^+_\p e^{-i\p\x}).
}
$$
Обратное преобразование
$$
\eqalign{
\ta_\p
&={i\over\sqrt{2\ve_\p}}\int d^{D-1}x\,e^{-i\p\x}
(\vpd(\x)-i\ve_\p\vp(\x)),
\cr
\ta^+_\p
&=-{i\over\sqrt{2\ve_\p}}\int d^{D-1}x\,e^{i\p\x}
(\vpd(\x)+i\ve_\p\vp(\x)).
}\eqno(1)
$$

Пусть гамильтониан системы имеет вид $H=H_0+V$,
где $H_0$ --- гамильтониан
свободных бозонов, а $V$ --- гамильтониан взаимодействия.
Введем оператор
$$
V(t)=e^{iH_0t}Ve^{-iH_0t}.
$$
Рассмотрим {\it представление взаимодействия}, в котором состояния
эволюционируют по закону
$$
i|\dot X(t)\rangle=V(t)|X(t)\rangle
$$
(т.~е.\ ``представления Гейзенберга по отношению к гамильтониану $H_0$'').
Закон эволюции операторов сложен, так как $H_0$ не коммутирует с $V$.
Решение этого уравнения имеет вид упорядоченной по времени экспоненты
$$
|X(t)\rangle=\T e^{-i\int_0^t ds\,V(s)}|X\rangle
=\lim_{\Delta t=t/N\to0}
\mathop{\overleftarrow{\prod_{n=0}^{N-1}}}e^{-i\Delta t\,V(n\Delta t)}.
$$
Рассмотрим эволюцию состояния за бесконечное время
$$
|X(+\infty)\rangle=\S|X(-\infty)\rangle,
$$
где
$$
\S=\T\exp\left(-i\int_{-\infty}^\infty dt\,V(t)\right)
$$
--- {\it матрица рассеяния}. Обычно рассматривают матричные элементы
$$
\langle Y|\S|X\rangle=\langle Y(-\infty)|X(+\infty)\rangle.
\eqno(2)
$$

Давайте представим матрицу рассеяния в более инвариантном виде.
Легко видеть, что
$$
\eqalign{
T\exp\left(-i\int_a^b dt\,V(t)\right)
&=\mathop{\overleftarrow{\prod_{n=0}^N}}
e^{iH_0(a+n\Delta t)}(1-i\Delta t\,V)e^{-iH_0(a+n\Delta t)}
\cr
&=e^{iH_0b}\cdot
\mathop{\overleftarrow{\prod_{n=0}^N}}
(1-i\Delta t\,H_0)(1-i\Delta t\,V)
\cdot e^{-iH_0a}
\cr
&=e^{iH_0b}\cdot
\mathop{\overleftarrow{\prod_{n=0}^N}}
(1-i\Delta t\,(H_0+V))
\cdot e^{-iH_0a}
=e^{iH_0b}e^{-iH(b-a)}e^{-iH_0a}.
}
$$
Здесь $H$ --- гамильтониан в шрёдингеровском или, что в данном
случае одно и то же, в гейзенберговском представлении.
Отсюда
$$
\S=\lim_{a\to-\infty\atop b\to+\infty}
e^{iH_0b}e^{-iH(b-a)}e^{-iH_0a}.
\eqno(3)
$$

Рассмотрим теперь ``представление Шрёдингера по отношению к $H_0$''
в том смысле, что оператор $f(t)$ в гейзенберговском представлении
запишем в виде
$$
f(t)=Te^{i\int^t_0 ds\,H_0(s)}f_0(t)Te^{-i\int^t_0 ds\,H_0(s)},
$$
где $H_0(t)=e^{iHt}H_0e^{-iHt}$ --- невозмущенный гамильтониан
в представлении Гайзенберга. Легко проверить, что
$$
T\exp\left(-i\int^b_a dt\,H_0(t)\right)
=e^{iHb}e^{-iH_0(b-a)}e^{-iHa}.
$$
В частности операторы $a_\p$, $a^+_\p$, определенные выражениями
$$
\ta_\p(t)=e^{-i\epsilon_\p t}a_\p(t),
\qquad
\ta^+_\p(t)=e^{i\epsilon_\p t}a^+_\p(t).
\eqno(4)
$$
являются операторами ``$f_0$'' для $\ta_\p$, $\ta^+_\p$.

Очевидно
$$
f_0(t)=e^{iH_0t'}e^{iH(t-t')}e^{-iH_0t}
f_0(t')e^{iH_0t}e^{-iH(t-t')}e^{-iH_0t'}.
$$
Отсюда $f_0(+\infty)=\S^+f_0(-\infty)\S$ и, следовательно,
$$
\eqalign{
a_\p(+\infty)&=\S^+a_\p(-\infty)\S,
\cr
a^+_\p(+\infty)&=\S^+a^+_\p(-\infty)\S.
}\eqno(5)
$$
Очевидно,
$$
\S|0\rangle=|0\rangle.
$$

Введем векторы
$$
|\p_1,N_1,\ldots,\p_n,N_n\rangle_t
={1\over\sqrt{\prod_i N_i!}}\prod_i(a^+_{\p_i}(t))^{N_i}|0\rangle.
$$
В более общем виде
$$
|X\rangle_t=e^{iHt}e^{-iH_0t}|X\rangle.
$$
Важно, что $|X\rangle_t$ и $|X(t)\rangle$ не одно и то же.
Векторы $|X\rangle_t$ не описывают никакой эволюции состояний.
Они нам понадобятся лишь в потому, что выражаются через $a(t)$ и $a^+(t)$.

Удобно отождествить
$$
|X\rangle=|X\rangle_{+\infty}.
$$
Тогда из (5) получаем, что
$$
\langle X'|\S|X\rangle={}_{+\infty}\langle X'|X\rangle_{-\infty}
={1\over\sqrt{\prod_fN'_f!\prod_iN_i!}}
\langle0|\prod_f (a_{\p'_f}(+\infty))^{N'_f}
\prod_i(a^+_{\p_i}(-\infty))^{N_i}|0\rangle.
\eqno(6)
$$
Правая часть содержит операторы, выражающиеся через корреляционные
функции локального поля $\vp(x)$ в некотором пределе. Мы опишем рецепт
ее вычисления ниже.

Величину (6) можно интерпретировать как амплитуду рассеяния частиц.
Логика такая. Летело $N$ невзаимодействующих частиц с заданными импульсами.
Затем мы адиабатически включили взаимодействие, подержали долгое (почти
бесконечное) время и адиабатически выключили. Получилось $N'$ новых
частиц. По-другому можно рассуждать так. Рассмотрим стационарное состояние
описываемое волновой функцией с таким асимптотическим поведением. Когда
расстояния между частицами велики, имеется $N$ падающих волн
с заданными импульсами. Выделим слагаемое, содержащее $N'$ уходящих
волн. Отношение произведения амплитуд расходящихся волн к произведению
амплитуд падающих волн и есть матричный элемент $S$-матрицы. Это
{\bf эквивалентное} определение, аналогичное определению в обычной
квантовой механике.

Теперь следует вычислить $a_\p(+\infty)$ и $a^+_\p(-\infty)$ с помощью (1).
Буквально такой предел взять, конечно, нельзя, поэтому следует рассматривать
так называемый слабый предел. Предположим, что
$f(x)=\int{d^Dq\over(2\pi)^D}\,e^{-iqx}f_q$
--- произвольная функция. Вычислим
$$
\eqalign{
\alpha_{\p,{\rm in/out}}
&=\left.{i\over\sqrt{2\ve_\p}}\int d^{D-1}x\,e^{ipx}
(\d_0f(x)-i\ve_\p f(x))\right|_{t\to\mp\infty}
\cr
&=\left.{1\over\sqrt{2\ve_\p}}\int{dq\over2\pi}\,e^{-i(q-\ve_\p)t}
(q+\ve_\p)f_{(q,\p)}\right|_{t\to\mp\infty},
\cr
\alpha^+_{\p,{\rm in/out}}
&=\left.-{i\over\sqrt{2\ve_\p}}\int d^{D-1}x\,e^{-ipx}
(\d_0f(x)+i\ve_\p f(x))\right|_{t\to\mp\infty}
\cr
&=\left.-{1\over\sqrt{2\ve_\p}}\int{dq\over2\pi}\,e^{-i(q+\ve_\p)t}
(q-\ve_\p)f_{(q,\p)}\right|_{t\to\mp\infty},
}
$$
где $p=(\ve_\p,\p)$. В слабом смысле предел выражения интеграла
$\int dq\,e^{-iqt}F(q)$ равен нулю в пределе $t\to\mp\infty$, если
$F(q)$ регулярна, так как $\int dq\,e^{-iqt}\sum a_nq^n=
\sum (-i)^na_n{d^n\over dt^n}\int dq\,e^{-iqt}=\sum(-i)^na_n\delta^{(n)}(t)$.
Однако если имеется особенность ($a_{-1}\ne0\Rightarrow\delta^{(-1)}(t)=
\theta(t)+\const$), то нужно воспользоваться формулой
$$
\lim_{t\to\pm\infty}{i\over x+i0}e^{-ixt}
=\cases{2\pi\delta(x)\cr 0}.
$$
Какие особенности есть у корреляционных функций? Так как на больших
пространственно-временных расстояниях корреляционная функция
$\langle\vp(x_1)\ldots\vp(x_n)\rangle$ распадается на парные
корреляционные функции. Поэтому по каждой переменной $p_i$ имеется
особенность $\sim(p_i^2-m^2+i0)^{-1}$. Положим
$$
f_p={iZ\over p^2-m^2+i0}+\cdots.
$$
Тогда получаем
$$
\matrix{
\displaystyle{
\alpha_{\p,{\rm in}}=0,}
\hfill\quad
&\displaystyle{\alpha_{\p,{\rm out}}={Z\over\sqrt{2\ve_\p}},}
\hfill\cr
\displaystyle{\alpha^+_{\p,{\rm in}}={Z\over\sqrt{2\ve_\p}},}
\hfill\quad
&\displaystyle{\alpha^+_{\p,{\rm out}}=0.}
\hfill
}\eqno(7)
$$

\proclaim Задача 1. Что произойдет в случае заряженного бозона?

Откуда происходит полюс на языке диаграмм? Рассмотрим диаграммы вида:
$$
\vphantom{\vrule height 1.732cm depth 1.732cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
\rl -2.0 0.0 , -1.0 0.0
\setdashes
\circulararc 360 degrees from -1.0 0.0 center at -0.5 0.0
\setsolid
\rl 0.0 0.0 , 1.0 0.0
\setdashes
\circulararc 360 degrees from 1.0 0.0 center at 2.0 0.0
\setsolid
\ln 2.5 0.866 , 3.0 1.732
\ln 2.5 -0.866 , 3.0 -1.732
\setdots
\circulararc -100 degrees from 3.0 1.2 center at 2.0 0.0
\setsolid
\put {$p_1$} [Bc] <0pt,3pt> at -1.5 0.0
\put {$p_1$} [Bc] <0pt,3pt> at 0.5 0.0
\put {$p_2$} [lt] <2pt,-3pt> at 3.0 1.732
\put {$p_n$} [lb] <2pt,3pt> at 3.0 -1.732
\put {$K$} [Bc] <0pt,-2pt> at -0.5 0.0
\endpicture
$$
Все вклады, обозначенные как $K$ не могут изменить полюсной структуры
теории, а лишь могут давать вклад в перенормировку массы $m$ и поля $\vp$
(см.\ следующие лекции). Если мы будем считать, что $m$ --- физическая масса,
а $\vp$ --- физическое поле, то все эти диаграммы дадут вблизи массовой
поверхности свободную функцию Грина $G_0(p)$. Поэтому все хвосты хвосты
типа изображенного на рисунке надо отбросить.

\proclaim Правила для вычисления $S$-матрицы. {%
\hfill\break\indent
1.~Внешним линиям диаграммы
отвечают множители $1/\sqrt{2\ve_{\p_i}}$, а не функции Грина.%
\hfill\break\indent
2.~Вклад в $S$-матрицу дают
только диаграммы в которых разрезанием одной линии нельзя отделить
одну внешнюю линию от остальной части диаграммы.%
\hfill\break\indent
3.~Допускаются также линии с двумя внешними концами. Им соответствуют
множители $(2\pi)^D\delta(p_i+p_j)$.%
\hfill\break\indent
4.~В конце домножить результат на $1\Big/\sqrt{\prod_fN'_f!\prod_iN_i!}$.%
}

\proclaim Задача 2. Вывести правило 3. {\it Указание\/}: Воспользоваться
формулой (16) из лекции~2.

Удобно записать $S$-матрицу в виде
$$
\langle X'|\S|X\rangle
=\langle X'|\left(
1+(2\pi)^D\delta(P'-P){\M\over\sqrt{\prod_f2\ve'_f\prod_i2\ve_i}}
\right)|X\rangle,
$$
где $P=\sum_i N_ip_i$, $P'=\sum_f N'_fp'_f$. У матрицы ${\cal M}$ особенно
простые правила вычисления диаграмм в импульсном представлении. Она
релятивистски-инвариантна и не
нуждается ни в дополнительных множителях $1/\sqrt{2\ve_{\p_i}}$, ни
в общей дельта-функции.

Вероятность процесса в единичном объеме в единицу времени равна
$$
dw=(2\pi)^D\delta(P'-P){|\M_{fi}|^2\over\prod_i2\ve_i}
\prod_f{d^{D-1}p'_f\over(2\pi)^{D-1}2\ve'_f}.
$$

Для процесса рассеяния двух частиц $1+2\to\ldots$ получим сечение
$$
d\sigma
={dw\over j}
=(2\pi)^D\delta(P'-P){|\M_{fi}|^2\over4I}
\prod_f{d^{D-1}p'_f\over(2\pi)^{D-1}2\ve'_f},
\qquad
I=j\ve_1\ve_2=\sqrt{(p_1p_2)^2-m_1^2m_2^2}.
$$

Для рассеяния двух частиц $1+2\to1'+2'$:
$$
d\sigma={|\M_{fi}|^2\over64\pi^2}{|\p'|\over|\p|\ve^2}do'.
$$
В произвольной системе отсчета удобно ввести {\it переменные Мандельстама}:
$$
s=(p_1+p_2)^2,\qquad t=(p_1-p'_1)^2,\qquad u=(p_1-p'_2)^2.
$$
В переменных Мандельстама
$$
d\sigma={|\M_{fi}|^2\over64\pi^2}{dt\over I^2}{d\varphi\over2\pi},
$$
где $\varphi$ --- азимут $\p'_1$ относительно $\p_1$, если за ось $z$
принять направление относительного движения частиц.

Если одна из сталкивающихся частиц тяжелая, то в ее лабораторной системе
$$
d\sigma={|\M_{fi}|^2\over16\pi^2}do'.
$$



\end
