%\input pictex

\tolerance=2000
\def\d{\partial}
\def\qd{\dot q}
\def\qdd{\ddot q}
\def\vp{\varphi}
\def\vpd{\dot\varphi}
\def\vpb{{\bar\vp}}
\def\vpt{{\tilde\vp}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vpdd{\ddot\varphi}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\tb{{\tilde b}}
\def\x{{\bf x}}
\def\y{{\bf y}}
\def\p{{\bf p}}
\def\half{{1\over2}}
\def\H{{\cal H}}
\def\F{{\cal F}}
\def\O{{\cal O}}
\def\D{{\cal D}}
\def\L{{\cal L}}
\def\M{{\cal M}}
\def\C{{\bf C}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\const{\mathop{\rm const}\nolimits}
\def\lvac{\langle0|}
\def\rvac{|0\rangle}
\def\Sym{\mathop{\rm Sym}\limits}
\def\phys{{\rm phys}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\lc{\mathopen{\,:}}
\def\rc{\mathclose{:\,}}
\def\eff{{\rm eff}}
\newfam\mibfam
\font\tenib=cmmib10
\font\sevenib=cmmib7
\font\fiveib=cmmib5
\textfont\mibfam=\tenib
\scriptfont\mibfam=\sevenib
\scriptscriptfont\mibfam=\fiveib
\def\bfm{\fam\mibfam\tenib}
\mathchardef\alpha="710B
\mathchardef\beta="710C
\mathchardef\gamma="710D
\mathchardef\delta="710E
\mathchardef\epsilon="710F
\mathchardef\zeta="7110
\mathchardef\eta="7111
\mathchardef\theta="7112
\mathchardef\iota="7113
\mathchardef\kappa="7114
\mathchardef\lambda="7115
\mathchardef\mu="7116
\mathchardef\nu="7117
\mathchardef\xi="7118
\mathchardef\pi="7119
\mathchardef\rho="711A
\mathchardef\sigma="711B
\mathchardef\tau="711C
\mathchardef\upsilon="711D
\mathchardef\phi="711E
\mathchardef\chi="711F
\mathchardef\psi="7120
\mathchardef\omega="7121
\mathchardef\varepsilon="7122
\mathchardef\vartheta="7123
\mathchardef\varpi="7124
\mathchardef\varrho="7125
\mathchardef\varsigma="7126
\mathchardef\varphi="7127
\def\nvec{{\bfm n}}
\def\vvec{{\bfm v}}
\def\pvec{{\bfm p}}
\def\alphavec{{\bfm\alpha}}
\def\gammavec{{\bfm\gamma}}
\def\sigmavec{{\bfm\sigma}}
\def\thetavec{{\bfm\theta}}
\def\vpvec{{\bfm\varphi}}
\def\Jvec{{\bfm J}}
\def\Kvec{{\bfm K}}
\def\Avec{{\bfm A}}
\def\Bvec{{\bfm B}}
\def\Sigmavec{{\bf\Sigma}}
%%%%%%% For figures: %%%%%%%
\def\ar#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.2truecm> [0.15,0.4] from #1 #2 to #3 #4 }
%\def\ln#1 #2, #3 #4 {\arrow <0.01truecm> [0,0] from #1 #2 to #3 #4 }
\catcode`!=11
\def\ln#1 #2, #3 #4 {\!start(#1,#2)\!ljoin(#3,#4)}
\catcode`!=12
\def\rl#1 #2, #3 #4 {\putrule from #1 #2 to #3 #4 }
\def\trl#1 #2, #3 #4 {\linethickness .8pt
	\putrule from #1 #2 to #3 #4 \linethickness .4pt}
\def\circle #1 #2, #3 #4 {\circulararc 360 degrees from #1 #2 center at #3 #4 }
\def\point#1 #2 {\put{\hbox{\kern -1pt .}} [Bl] at #1 #2 }
\def\bfpoint#1 #2 {%
\put{\hbox{\kern -2pt \raise -2.3pt%
\hbox{$\textstyle\bullet$}}} [Bl] at #1 #2 }
\def\figcap#1#2\par{\medskip{\narrower\eightpoint\noindent
	Fig.~#1. \ignorespaces#2\par}\medskip}
\def\mpicture#1#2\endmpicture{\quad\vcenter{\hbox{%
	\vphantom{\vrule height#1 depth#1}%
	\beginpicture
	\setcoordinatesystem units <1cm,1cm> point at 0 0
	#2
	\endpicture}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf
\centerline{Лекция 10}
\centerline{Спиноры и поля спина $1/2$}
}
\bigskip
{\bf 1.~Спинорное представление группы вращений $SO(3)$}.
Рассмотрим алгебру $M(2,\C)$
всех комплексных матриц $2\times2$. Выберем в ней базис {\it матриц Паули}
$$
1=\pmatrix{1&\cr&1},\quad
\sigma^1=\pmatrix{&1\cr1&},\quad
\sigma^2=\pmatrix{&-i\cr i&},\quad
\sigma^3=\pmatrix{1&\cr&-1}.
\eqno(1)
$$
Имеется соотношение
$$
\sigma^i\sigma^j=\delta^{ij}+i\ve^{ijk}\sigma^k
$$
или
$$
\eqalignno{
\sigma^i\sigma^j-\sigma^j\sigma^i
&=2i\ve^{ijk}\sigma^k,
&(2)
\cr
\sigma^i\sigma^j+\sigma^j\sigma^i
&=2\delta^{ij}.
&(3)}
$$
Матрицы ${i\over2}\sigma^i$ реализуют двумерное представление алгебры
Ли группы $SO(3)$.

Реализуем преобразования группы вращений в $M(2,\C)$, так чтобы
комбинация $x^i\sigma^i$ оставалась инвариантной. Именно, пусть
$$
x^{\prime i}=\lambda^i{}_j x^j,
\qquad
\Lambda=(\lambda^i{}_j)\in O(3).
\eqno(4)
$$
Тогда
$$
\sigma^{\prime i}=\lambda^i{}_j\sigma^j,
\eqno(5)
$$
т.~е.\ $\sigma^i$ преобразуются как компоненты вектора (преобразования
ортогональные --- ковектор и вектор преобразуются одинаково). Оказывается,
соотношения (2), (3) сохраняется при этих преобразованиях при
$\Lambda\in SO(3)$. Преобразование $\Lambda=-1$ сохраняет (3), но
меняет знак в правой части (2). Отсюда следует, что (5) задает автоморфизм
$M(2,\C)$ при $\Lambda\in SO(3)$. Но все автоморфизмы ассоциативной
алгебры $M(n,\C)$ внутренние (см.\ Дубровин--Новиков--Фоменко).
Следовательно, существует такой элемент $g$, что
$$
\sigma^{\prime i}=g^{-1}\sigma^i g
\qquad (\Lambda\in SO(3)).
\eqno(6)
$$
Конечно, элемент $g$ определен с точностью до произвольного множителя.
Эту многозначность можно устранить, потребовав, чтобы $g(\Lambda)$
принадлежал $SL(2,\C)$, т.~е.\ $\det g(\Lambda)=1$. Тогда представление
делается двузначным, так как матрицу $g$ можно домножить на $-1$.

Покажем, что эта двузначность неустранима. Рассмотрим элемент
$$
g=1+{i\over2}\sigma^3\ve
$$
с малым $\ve$. Тогда
$$
\eqalign{
\sigma^{\prime1}
&=\sigma^1-{i\over2}[\sigma^3,\sigma^1]\ve=\sigma^1+\ve\sigma^2,
\cr
\sigma^{\prime2}
&=\sigma^2-{i\over2}[\sigma^3,\sigma^2]\ve=\sigma^2-\ve\sigma^1,
\cr
\sigma^{\prime3}
&=\sigma^3-{i\over2}[\sigma^3,\sigma^3]\ve=\sigma^3.
}
$$
Это отвечает преобразованию координат
$$
\eqalign{
x^{\prime1}
&=x^1+\ve x^2,
\cr
x^{\prime2}
&=x^2-\ve x^1,
\cr
x^{\prime3}
&=x^3,
}
$$
т.~е.\ бесконечно малому повороту на угол $\ve$ вокруг оси $z$.
Для конечного поворота на угол $\vp$ получаем, очевидно,
$$
g(\vp)=\exp\left({i\over2}\sigma^3\vp\right)
=\cos{\vp\over2}+i\sigma^3\sin{\vp\over2}
\eqno\rm(7a)
$$
(так как $(\sigma^3)^2=1$). Очевидно также, что общий поворот на угол
$\vp$ вокруг оси $\nvec$ дается
$$
g(\vp,\nvec)=\exp\left({i\over2}\sigmavec\nvec\,\vp\right)
=\cos{\vp\over2}+i\sigmavec\nvec\sin{\vp\over2}.
\eqno\rm(7b)
$$

Рассмотрим поворот на угол $2\pi$:
$$
g(2\pi)=\exp(i\pi\sigma^3)
=\cos\pi=-1.
$$
Это значит, что непрерывному замкнутому пути из $1$ в $1$ на группе
$SO(3)$ отвечает путь из $g=1$ в $g=-1$ в спинорном представлении.
Это значит, что $SO(3)$ получается факторизацией $SU(2)$ по дискретной
подгруппе $\{\pm1\}$.

Можно ввести {\it спиноры\/} $\xi$ как объекты, компоненты которых
преобразуются по правилу
$$
\xi'=g\xi
\qquad(\hbox{или }\xi^{\prime\alpha}=g^\alpha{}_\beta\xi^\beta).
$$
Если мы введем $\bar\xi=\xi^+=\xi^{*T}$, то понятно, что
$$
\bar\xi'=\bar\xi g^{-1}.
$$
Поэтому величины
$$
\bar\eta\xi,
\quad
\bar\eta\sigma^i\xi,
\quad
\bar\eta\sigma^i\sigma^j\xi,
\ldots
$$
преобразуются как скаляр, вектор, тензор второго ранга и т.~д.\
соответственно. Например,
$$
(\bar\eta\sigma^i\xi)'=\bar\eta'\sigma^i\xi'=\bar\eta g^{-1}\sigma^i g\xi
=\bar\eta\sigma^{\prime i}\xi=\lambda^i{}_j\bar\eta\sigma^j\xi
$$

Величина $\bar\xi\xi=|\xi^1|^2+|\xi^2|^2$ положительно
определена и может рассматриваться как плотность вероятности спинорного
поля $\xi(x)$.

{\bf 2.~Спинорное представление группы Лоренца $O(1,3)$}. Давайте обобщим
спиноры на представления группы Лоренца. Это несвязная группа,
состоящая из четырех компонент, связанных двумя преобразованиями:
$$
\eqalign{
P&=\pmatrix{1&&&\cr&-1&&\cr&&-1&\cr&&&-1}
\qquad\hbox{(пространственная инверсия)},
\cr
T&=\pmatrix{-1&&&\cr&1&&\cr&&1&\cr&&&1}
\qquad\hbox{(обращение времени)}.
}\eqno(8)
$$
Рассмотрим связную компоненту, содержащую единицу. Любой ее элемент
$\Lambda$ представим в виде $\Lambda=e^A$, где $A$ --- матрица
из алгебры $o(1,3)$, т.~е.\ удовлетворяющая условию
$$
g_{\mu\rho}a^\rho{}_\nu=-a^\rho{}_\mu g_{\rho\nu}.
$$
Построим базис в этой алгебре:
$$
\eqalign{
&J_1=\pmatrix{0&&&\cr&0&&\cr&&0&1\cr&&-1&0},
\qquad
J_2=\pmatrix{0&&&\cr&0&&-1\cr&&0&\cr&1&&0},
\qquad
J_3=\pmatrix{0&&&\cr&0&1&\cr&-1&0&\cr&&&0},
\cr
&K_1=\pmatrix{0&-1&&\cr-1&0&&\cr&&0&\cr&&&0},
\qquad
K_2=\pmatrix{0&&-1&\cr&0&&\cr-1&&0&\cr&&&0},
\qquad
K_3=\pmatrix{0&&&-1\cr&0&&\cr&&0&\cr-1&&&0}.
}
$$
Оператор $J_i$ генерирует повороты вокруг оси $i$ (т.~е.\ малый
поворот на угол $\ve$ есть $1+\ve J_i$), а оператор $K_i$ порождает
буст вдоль оси $i$.

Генераторы $J_i$, $K_i$ удовлетворяют коммутационным соотношениям
$$
\eqalign{
[J_i,J_j]&=-\ve_{ijk}J_k,
\cr
[K_i,K_j]&=-\ve_{ijk}J_k,
\cr
[J_i,K_j]&=\ve_{ijk}K_k.
}\eqno(9)
$$
Введем новые генераторы
$$
\eqalign{
\Avec&=\half(\Jvec-i\Kvec),
\cr
\Bvec&=\half(\Jvec+i\Kvec)
}
$$
с соотношениями
$$
\eqalign{
[A_i,A_j]&=-\ve_{ijk}A_k,\cr
[B_i,B_j]&=-\ve_{ijk}B_k,\cr
[A_i,B_j]&=0.
}\eqno(10)
$$
Это значит, что алгебра $o(1,3)_\C$ распадается в прямую сумму
$su(2)_\C\oplus su(2)_\C$, а связная компонента группы $O(1,3)$ представляет
собой некоторое вещественное подмногообразие в группе
$SU(2)_\C\otimes SU(2)_\C$. Мы можем применить теорию представлений
для $su(2)$. Представления $o(1,3)$ нумеруются парами чисел $(j,j')$.
В частности можно рассмотреть два представления:
$$
\eqalign{
(1/2,0)
&:\quad\pi(\Avec)={i\over2}\sigmavec,
\quad\pi(\Bvec)=0
\quad\hbox{или}\quad\pi(\Jvec)=-i\pi(\Kvec)={i\over2}\sigmavec
\cr
(0,1/2)
&:\quad\pi(\Avec)=0,
\quad\pi(\Bvec)={i\over2}\sigma
\quad\hbox{или}\quad\pi(\Jvec)=i\pi(\Kvec)={i\over2}\sigmavec.
}\eqno(11)
$$
Спиноры из первого представления обычно обозначают $\xi=(\xi^\alpha)$,
а спиноры из второго представления --- $\eta=(\eta_{\dot\alpha})$.

Общее преобразование Лоренца (из связной компоненты) с угловыми
переменными $(\vpvec,\thetavec)$ имеет вид
$$
\eqalign{
\xi
&\buildrel(1/2,0)\over\longrightarrow
\exp\left({i\over2}\sigmavec\vpvec\right)
\exp\left(-\half\sigmavec\thetavec\right)
\xi,
\cr
\eta
&\buildrel(0,1/2)\over\longrightarrow
\exp\left({i\over2}\sigmavec\vpvec\right)
\exp\left(\half\sigmavec\thetavec\right)
\eta.
}\eqno(12)
$$
Здесь система $K'$ движется относительно $K$ со скоростью $\th\theta$
в направлении $\thetavec$ и повернута на угол $\vp$ вокруг оси $\vpvec$.
Все векторы записаны в системе $K$.

Рассмотрим теперь пространственную инверсию $P$. Понятно, что она
оставляет неизменным псевдовектор $\Jvec$ и обращает вектор $\Kvec$.
Это значит, что
$$
\Avec
\buildrel P\over\longleftrightarrow\Bvec,
\qquad
(1/2,0)
\buildrel P\over\longleftrightarrow(0,1/2).
$$
Удобно положить
$$
(\xi^P)_{\dot\alpha}=\xi^\alpha.
\eqno(13)
$$
Аналогично при обращении времени
$$
\Jvec
\buildrel T\over\longrightarrow-\Jvec,
\qquad
\Kvec
\buildrel T\over\longrightarrow\Kvec,
\qquad
\Avec
\buildrel T\over\longleftrightarrow-\Bvec.
$$
Это отображение вообще не является автоморфизмом алгебры, и это
логично, так как при обращении времени волновые функции заменяются
на комплексно-сопряженные.

Мы видим, что ``элементарным" представлением $O(1,3)$ является
представление $(1/2,0)\oplus(0,1/2)$, т.~е.\ следует рассмотреть пару
$$
\psi=\pmatrix{\xi\cr\eta},
$$
называемую {\it биспинором}. Компоненты $\xi$ и $\eta$ принято называть
{\it правой\/} и {\it левой\/} соответственно.

Пусть теперь волновая функция $\psi_0$ описывает неподвижную частицу.
Из $P$-инвариантности имеем $\xi_0=\pm\eta_0$. Это соответствует
нерелятивистскому случаю, когда для описания частицы достаточно
одного спинора. Рассмотрим
сначала {\it $P$-четные\/} состояния $\xi_0=\eta_0$.
Перейдем теперь в систему отсчета, движущуюся
со скоростью $-\vvec=-\nvec\th\theta$, в которой
частица имеет энергию $\ve=m\ch\theta$ и импульс
$\pvec=m\nvec\sh\theta$. В этой системе
$$
\eqalign{
\xi_\pvec
&=e^{\half\sigmavec\thetavec}\xi_0
=\left(\ch{\theta\over2}+\sigmavec\nvec\sh{\theta\over2}\right)\xi_0
={\ve+m+\sigmavec\pvec\over\sqrt{2m(\ve+m)}}\xi_0,
\cr
\eta_\pvec
&=e^{-\half\sigmavec\thetavec}\xi_0
=\left(\ch{\theta\over2}-\sigmavec\nvec\sh{\theta\over2}\right)\xi_0
={\ve+m-\sigmavec\pvec\over\sqrt{2m(\ve+m)}}\xi_0,
}\eqno(14)
$$
Легко видеть, что
$$
\xi_\pvec={\ve+\sigmavec\pvec\over m}\eta_\pvec,
\qquad
\eta_\pvec={\ve-\sigmavec\pvec\over m}\xi_\pvec.
$$
Эти соотношения можно записать, введя матрицы $4\times4$
$$
\gamma^0=\pmatrix{&1\cr1&},
\quad
\gamma^i=\pmatrix{&-\sigma^i\cr\sigma^i&},
\eqno(15)
$$
удовлетворяющие соотношениям
$$
\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu},
\qquad
\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0=(\gamma^\mu)^+.
\eqno(16)
$$
Имеем
$$
(\gamma p-m)\psi_\pvec=0.
$$
Заменяя $p_\mu\to i\d_\mu$, получаем {\it уравнение Дирака}
$$
(i\gamma\d-m)\psi(x)=0.
\eqno(17)
$$
Это уравнение описывает свободную частицу спина $1/2$. Ему удовлетворяют
плоские волны ($p^0=\sqrt{\pvec^2+m^2}$)
$$
\psi_p(x)=\psi_p e^{-ipx}
={\gamma p+m\over\sqrt{2m(\ve+m)}}\psi_0e^{-ipx},
\qquad
\psi_0=\pmatrix{\xi_0\cr\xi_0}
\eqno\rm(18a)
$$
и
$$
\psi_{-p}(x)=\psi_{-p}e^{ipx}
=-{\gamma p-m\over\sqrt{2m(\ve+m)}}\psi'_0e^{ipx},
\qquad
\psi'_0=\pmatrix{\xi_0\cr-\xi_0}.
\eqno\rm(18b)
$$
Последнее выражение описывает {\it $P$-нечетные\/} состояния.
Это частный случай общей теоремы, что фермион и антифермион имеют
противоположную четность.

Удобно ввести также матрицу
$$
\gamma^5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3=\pmatrix{1&\cr&-1},
\qquad
\gamma^\mu\gamma^5=-\gamma^5\gamma^\mu,
\qquad
(\gamma^5)^2=-1.
\eqno(19)
$$
которая меняет знак $\eta$, но не меняет $\xi$. Она позволяет
выделять киральные компоненты
$$
\psi_R=\pmatrix{\xi\cr0}={1+\gamma^5\over2}\psi,
\qquad
\psi_L=\pmatrix{0\cr\eta}={1-\gamma^5\over2}\psi.
$$


Явно проверяется, что преобразование Лоренца $(\vpvec,\thetavec)$
дается
$$
\psi\to g\psi=
\exp\left({i\over2}\Sigmavec\vpvec\right)
\exp\left(\half\alphavec\thetavec\right)\psi,
\eqno(20)
$$
где
$$
\Sigmavec=\pmatrix{\sigmavec&\cr&\sigmavec}=\gamma^5\gamma^0\gammavec,
\qquad
\alpha=\pmatrix{\sigmavec&\cr&-\sigmavec}=\gamma^0\gammavec.
$$
Можно явно проверить, что если элемент $g$ имеет вид (20), то
$$
g^{-1}\gamma^\mu g=\lambda^\mu{}_\nu\gamma^\nu.
\eqno(21)
$$

\proclaim Задача. Проверить (достаточно проверить для бесконечно малых
преобразований).

Введем {\it дираковски сопряженный спинор}
$$
\bar\psi=\psi^+\gamma^0.
$$
Легко проверить, что
$$
\bar\psi'\psi,
\quad
\bar\psi'\gamma^\mu\psi,
\quad
\bar\psi'\gamma^\mu\gamma^\nu\psi,
\ldots
$$
являются скаляром, вектором, тензором второго ранга и т.~д.\ соответственно.
Достаточно проверить, что $\bar\psi'\psi$ --- скаляр. Остальное проверяется
так же как для $SO(3)$ и матриц Паули. Действительно, $\bar\psi$
преобразуется в $(g\psi)^+\gamma^0=\psi^+g^+\gamma^0=\psi^+\gamma^0g^{-1}$,
что доказывает утверждение.

Отметим также теорему, что
$$
\gamma^\mu,
\quad \gamma^\mu\gamma^\nu~(\mu<\nu),
\quad \gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho~(\mu<\nu<\rho),
\quad \gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3
$$
образуют полный базис в алгебре $M(4,\C)$. На этой теореме можно
построить всю теорию 4-спиноров по аналогии с теорией 3-спиноров.
Таким же образом получаем (21), где мы можем потребовать, чтобы
$g\in SL(4,\C)$. Тогда $g$ определяется по $\Lambda$ с точностью
до знака. Отсюда следует, что спинорное представление для $O(1,3)$
двузначно. Однозначным представлением обладает группа $SL(2,\C)$,
из которой $O(1,3)$ получается факторизацией по $\{\pm1\}$.



\end
