% !TeX spellcheck = ru_RU % !TeX encoding = UTF-8 \documentclass[8pt,pdf,t]{beamer} \usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,cancel,transparent,hyperref} %\usepackage[cm]{fullpage} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage[shortcuts]{extdash} %\usepackage[notref,notcite]{showkeys} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{arrows,shapes} \usetikzlibrary{arrows.meta} \usetikzlibrary{decorations.markings} \usetikzlibrary{intersections} \tikzset{>={Stealth[length=2mm]}} \tikzstyle{every picture} += [remember picture] \tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex] \usetheme{Warsaw} \usefonttheme{serif} \def\smallskip{\vskip\smallskipamount} \def\medskip{\vskip\medskipamount} \def\bigskip{\vskip\bigskipamount} \let\{=\lbrace \let\}=\rbrace \let\[=\lbracket \let\]=\rbracket \long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}} \long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}} \def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}} \long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}} \def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}} \def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}} \def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}} \def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}} \def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}} \def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}} \def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}} \def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}} \def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}} \def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}} \def\Multline#1$$#2$${\vspace{-\baselineskip}\begin{multline#1}#2\end{multline#1}} \def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}} \def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}} \def\d{\partial} \def\bd{{\bar\d}} \def\bpsi{{\bar\psi}} \def\bvarphi{{\bar\varphi}} \def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits} \def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits} %\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits} %\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits} %\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits} %\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits} \def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits} %\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits} \def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}} \def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\cH{{\cal H}} \def\cN{{\cal N}} \def\cS{{\cal S}} \def\bz{{\bar z}} \def\bw{{\bar w}} \def\bw{{\bar w}} \def\tphi{{\tilde\phi}} \def\vq{{\vec q}} \def\vx{{\vec x}} \def\vy{{\vec y}} \def\vJ{{\vec J}} \def\va{{\vec a}} \def\vb{{\vec b}} \def\ve{\varepsilon} \def\eff{{\rm eff}} \def\const{\mathinner{\rm const}} \def\i{{\mathord{\rm i}}} \def\trho{{\tilde\rho}} \def\ta{{\tilde a}} \def\phys{{\text{phys}}} \def\bn{{\boldsymbol n}} \def\bp{{\boldsymbol p}} \def\br{{\boldsymbol r}} \def\bR{{\boldsymbol R}} \def\bS{{\boldsymbol S}} \def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}} \def\eF{{\epsilon_F}} \def\Ech{{E_{\text{ch}}}} \def\Esp{{E_{\text{sp}}}} \def\Espel{{E_{\text{sp}}^{\text{el}}}} \def\Eim{{E_{\text{im}}}} \def\el{{\text{el}}} \def\im{{\text{im}}} \def\aux{{\tilde1}} \def\lcolon{\mathopen{\,:}} \def\rcolon{\mathclose{:\,}} \def\Xint#1{\mathchoice {\XXint\displaystyle\textstyle{#1}}% {\XXint\textstyle\scriptstyle{#1}}% {\XXint\scriptstyle\scriptscriptstyle{#1}}% {\XXint\scriptscriptstyle\scriptscriptstyle{#1}}% \!\int} \def\XXint#1#2#3{{\setbox0=\hbox{$#1{#2#3}{\int}$} \vcenter{\hbox{$#2#3$}}\kern-.5\wd0}} \def\ddashint{\Xint=} \def\dashint{\Xint-} \makeatletter \let\over\@@over \let\atop\@@atop \let\above\@@above \let\overwithdelims\@@overwithdelims \let\atopwithdelims\@@atopwithdelims \let\abovewithdelims\@@abovewithdelims \makeatother \def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}} \def\emph#1{{\color{blue}#1}} \def\red{\color{red}} \def\blue{\color{blue}} \def\olive{\color{olive}} \def\black{\color{black}} \def\unpause{\onslide<+->\relax} \addtobeamertemplate{frametitle}{}{\vspace{-.5em}} \begin{document} \title[Лекция 2. Бозонизация модели Тирринга]{Лекция 2.\\Бозонизация модели Тирринга} \date{} \author{Михаил Лашкевич} \frame{\titlepage} \begin{frame} \frametitle{Модель Тирринга} \unpause {\it Массивная модель Тирринга\/} в пространстве Минковского: \eq$$ S^{MT}[\psi,\bpsi] =\int d^2x\, \left(\bpsi(i\gamma^\mu\d_\mu-m)\psi-{\pi g\over2}(\bpsi\gamma^\mu\psi)^2\right). \label{MT} $$ \unpause Здесь $\psi(x)$, $\bpsi(x)$ "--- поле дираковского фермиона и его дираковское сопряжение. $\gamma$"=Матрицы удовлетворяют соотношениям $$ \gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu}, \qquad \gamma^{\mu+}=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0. $$ \unpause Их можно выбрать в виде \eq$$ \gamma^0=\pMatrix{&-i\\i&}, \qquad \gamma^1=\pMatrix{&i\\i&}, \qquad \gamma^3=\gamma^0\gamma^1=\pMatrix{1&\\&-1}. \label{gamma-matrices} $$ \unpause Модель содержит сохраняющиеся токи \eq$$ j^\mu=\bpsi\gamma^\mu\psi. \label{MTcurrent} $$ \unpause Если $m=0$, имеется еще один сохраняющийся \eq$$ j_3^\mu=\bpsi\gamma^3\gamma^\mu\psi=-\epsilon^{\mu\nu}j_\nu, \qquad \epsilon^{01}=-\epsilon^{10}=-1. \label{MT3current} $$ \unpause Возбуждения: фермион, антифермион и при $g>0$ нейтральные бозонные связанные состояния. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Модель синус"=Гордона} \unpause Модель синус"=Гордона: \eq$$ S^{SG}[\phi]=\int d^2x\,\left({(\d_\mu\phi)^2\over8\pi}+\mu\cos\beta\phi\right). \label{SG} $$ \unpause В модели есть \emph{топологическое число} \eq$$ q={\beta\over2\pi}(\phi(t,+\infty)-\phi(t,-\infty))\in\Z. \label{topnumber} $$ \unpause Оно сохраняется на решениях, и его можно записать в виде \eq$$ q={\beta\over2\pi}\int^\infty_{-\infty}dx\,\d_1\phi(t,x)=\int^\infty_{-\infty}df_\mu\,j^\mu_\text{top}, $$ где $df_\mu=\epsilon_{\mu\nu}dx^\nu$ "--- одномерный элемент поверхности, \unpause а $j^\mu_\text{top}$ "--- \emph{топологический ток}: \eq$$ j^\mu_\text{top}=-{\beta\over2\pi}\epsilon^{\mu\nu}\d_\nu\phi, \quad \d_\mu j^\mu_{\rm top}=-{\beta\over2\pi}\epsilon^{\mu\nu}\d_\mu\d_\nu\phi=0. \label{topcurrent} $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Отступление. Стационарные решения уравнений поля} \unpause Рассмотрим двумерную модель одного скалярного поля с действием $$ S[\phi]=\int d^2x\,\left({(\d_\mu\phi)^2\over2}-U(\phi)\right). $$ Предположим, что потенциал $U(\phi)$ обладает набором абсолютных минимумов $\phi_i$. Упорядочим минимумы так, чтобы $\phi_i<\phi_{i+1}$. \unpause Можно сказать, что решение $\phi(x)$ с конечной энергией обладает \emph{топологическим зарядом} $q$, если \begin{itemize} \item$\phi(x)\to\phi_i$ as $x^1\to-\infty$, \item$\phi(x)\to\phi_{i+q}$ as $x^1\to+\infty$. \end{itemize} \unpause \begin{block}{Теорема} В этих условиях любое нетривиальное \emph{стационарное} решение $\phi(x)=\varphi(x^1)$ обладает топологическим зарядом $q=\pm1$. \end{block} \unpause \emph{Доказательство.} Стационарное решение удовлетворяет уравнению $$ \d_1^2\varphi=U'(\varphi). $$ \unpause Это уравнение Ньютона с потенциалом $-U(\varphi)$. Точки $\phi_i$ соответствуют \emph{максимумам} этого потенциала. Поле $\varphi$, которое начинает свое «движение» а точке $\phi_i$ может закончить только в точках $\phi_{i\pm1}$. \unpause Если имеется стационарное решение, можно определить семейство решений, движущихся с произвольной скоростью $-1{{}=-{\beta\over2\pi}\epsilon_{\mu\nu}\d^\nu\phi}. \label{Ttphi} $$ \unpause Мы будем считать поле $\tphi$ дуальным к другому полю $\phi$. \unpause Оба поля удовлетворяют уравнению Даламбера: $$ \d_\mu\d^\mu\phi=\d_\mu\d^\mu\tphi=0. $$ \unpause Решение этого уравнения можно представить в виде \eq$$ \phi(x)=\varphi(z)+\bvarphi(\bz), \quad \tphi(x)=\varphi(z)-\bvarphi(\bz), \label{phi-tphi-varphi} $$ \unpause Поэтому имеем \eq$$ j_z=-{\beta\over2\pi}\d\varphi, \quad j_\bz={\beta\over2\pi}\bd\bvarphi. \label{j-varphi} $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Безмассовая модель Тирринга: квантование} \unpause Уравнения движения (\ref{Teqmotion}) имеют решение $$ \psi_1(z,\bz)=F_1(z)e^{-i{g\beta\over2}\bvarphi(\bz)}, \quad \psi_2(z,\bz)=F_2(\bz)e^{i{g\beta\over2}\varphi(z)}, $$ \unpause в то время как уравнение (\ref{j-psipsi}) дает \eq$$ {\beta\over2\pi}\d\varphi=\psi^+_1\psi_1=F_1(z)F_1^*(z), \qquad {\beta\over2\pi}\bd\bvarphi=\psi^+_2\psi_2=F_2(\bz)F_2^*(\bz). \label{Tcureq} $$ \unpause Это позволяет найти классическое решение через две аналитические функции $F_i(z)$. \unpause Что можно сделать в квантовом случае? \unpause Предположим, что поля $\psi_i$ можно представить в виде \eq$$ \psi_i(x)=\eta_i\sqrt{N_i\over2\pi}e^{i\alpha_i\varphi (z)+i\beta_i\bvarphi(\bz)}, \qquad \psi^+_i(x)=\eta_i^{-1}\sqrt{N_i\over2\pi}e^{-i\alpha_i\varphi(z)-i\beta_i\bvarphi(\bz)}, \label{psibpsiansatz} $$ \unpause где $N_i$ "--- константы, \unpause а $\eta_i$ "--- алгебраические элементы с соотношениями \eq$$ \eta_1\eta_2=-\eta_2\eta_1. \label{algfactors} $$ \unpause Как и в классическом случае, имеем \eq$$ \alpha_2=-\beta_1={g\beta\over2}, \label{eq3} $$ \unpause Однако экспоненциальный вид функций $F_i$ кажется странным. Чтобы понять его, рассмотрим операторные произведения операторов $\psi_i$. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Безмассовая модель Тирринга: квантование} \unpause Имеем \Multline$$ \psi_i(x')\psi_j(x) =\eta_i\eta_j{\sqrt{N_iN_j}\over2\pi} (z'-z)^{\alpha_i\alpha_j} (\bz'-\bz)^{\beta_i\beta_j} \\ \times e^{i\alpha_i\varphi(z')+i\beta_i\bvarphi(\bz') +i\alpha_j\varphi(z)+i\beta_j\bvarphi(\bz)}. \label{psipsi} $$ \unpause Тогда $\psi_i(x')\psi_j(x)=-\psi_j(x)\psi_i(x')$, если \eq$$ \alpha_i^2-\beta_i^2\in2\Z+1, \qquad \alpha_1\alpha_2-\beta_1\beta_2\in2\Z. \label{fermion-limitation} $$ \unpause Теперь разложим произведение $\psi^+_1(x')\psi_1(x)$ по степеням $x'-x$: \Multline$$ \psi^+_1(x')\psi_1(x) ={N_1\over2\pi}(z'-z)^{-\alpha_1^2} \left(\bz'-\bz\right)^{-\beta_1^2} \\ \times \alt<+->{\left({\red\alt<.(3)->{\transparent1}{\transparent0}\xcancel{\transparent1\black1}} -i\alpha_1(z'-z){\red\alt<.(5)->{\transparent1}{\transparent0}\boxed{\transparent1\black\d\phi(x)}} -{\red\alt<.(3)->{\transparent1}{\transparent0}\xcancel{\transparent1\black i\beta_1(\bz'-\bz)\,\bd\phi(x)}}+ {\red\alt<.(4)->{\transparent1}{\transparent0}\xcancel{\transparent1\black\cdots{}}} \right)}{e^{-i\alpha_1(\varphi(z')-\varphi(z))-i\beta_1(\bvarphi(\bz')-\bvarphi(\bz))}}. \label{bpsi1psi1} $$ \unpause Определим ток $j_z$ следующим образом: $$ j_z(z,\bz)=-\int^{2\pi}_0{d\theta\over2\pi}\psi_1^+(z+r_0e^{i\theta},\bz+r_0e^{-i\theta})\psi_1(z,\bz) $$ для некоторого малого~$r_0$. \unpause Положим \eq$$ \alpha_1^2-\beta_1^2=1. \label{eq1} $$ \unpause Тогда первый и третий член обратится в нуль в силу угловой зависимости, \unpause а слагаемые, начиная с четвертого пренебрежимо малы. \unpause Только второй член дает вклад в ток. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Безмассовая модель Тирринга: условия на $\alpha_i,\beta_i,N_i$} \unpause Получаем $$ j_z=-N_1r_0^{-2\beta_1^2}\left(-i\alpha_1\d\varphi\over2\pi\right). $$ \unpause Сравнивая с $j_z={\beta\over2\pi}\d\varphi$, находим \eq$$ \beta=-ir_0^{-2\beta_1^2}N_1\alpha_1. \label{betaN1} $$ \unpause Повторив то же самое для $\psi^+_2\psi_2$ и принимая \eq$$ \alpha_2^2-\beta_2^2=-1, \label{eq2} $$ \unpause получим \eq$$ \beta=-ir_0^{-2\alpha_2^2}N_2\beta_2. \label{betaN2} $$ \unpause Нам нужно еще два уравнения. Чтобы получить одно из них, проанализируем массовый член. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Модель Тирринга: массовый член} \unpause Рассмотрим массовый член $-m\bpsi\psi=im(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)$. Оба слагаемых должны быть \emph{хорошо определены} и согласованы с \emph{сохранением фермионного заряда}. \unpause Рассмотрим разложение \Multline$$ \psi^+_2(x')\psi_1(x) =-\eta_1\eta_2^{-1}{\sqrt{N_1N_2}\over2\pi}(z'-z)^{-\alpha_1\alpha_2}(\bz'-\bz)^{-\beta_1\beta_2} \\ \times \left(e^{i(\alpha_1-\alpha_2)\varphi(z)+i(\beta_1-\beta_2)\bvarphi(\bz)}+\cdots\right). $$ \unpause Первый член выживает при усреднении по углам $j_z$, если \eq$$ \alpha_1\alpha_2=\beta_1\beta_2 \quad\Rightarrow\quad \alpha_1=-\beta_2. \label{eq4} $$ \unpause В этом предположении мы можем определить $$ \psi^+_2\psi_1(x)=-\eta_1\eta_2^{-1}{\sqrt{N_1N_2}\over2\pi}r_0^{-2\alpha_1\alpha_2}e^{i(\alpha_1-\alpha_2)\varphi(z)+i(\beta_1-\beta_2)\bvarphi(\bz)}. $$ \unpause Теперь проверим согласованность с фермионным зарядом $Q$. \unpause Рассмотрим коммутатор \Multline*$$ [O(0),Q]=\oint df_\mu\,j^\mu(x)O(0)=\oint dx^\nu\,\epsilon_{\mu\nu}j^\mu(x)O(0) =-{\beta\over2\pi}\oint dx^\nu\,\epsilon_{\mu\nu}\d^\mu\tphi(x)\,O(0) \\ =-{\beta\over2\pi}\oint dx^\nu\,\epsilon_{\mu\nu}\epsilon^{\mu\lambda}\d_\lambda\phi(x)\,O(0) ={\beta\over2\pi}\oint dx^\lambda\,\d_\lambda\phi(x)\,O(0)={\beta\over2\pi}\Delta\phi(x)\,O(0), $$ где $\Delta$ обозначает приращение поля при обходе по замкнутому контуру. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Модель Тирринга: массовый член} \unpause Пусть $O(x)=e^{\alpha\varphi(z)+\alpha'\bvarphi(\bz)}$. Тогда \Multline*$$ [O(0),Q]={\beta\over2\pi}\Delta(\varphi(z)+\bvarphi(\bz))e^{i\alpha\varphi(z)+i\alpha'\bvarphi(\bz)} \\ ={i\beta\over2\pi}\Delta\left(\alpha\log{1\over z}+\alpha'\log{1\over\bz}\right)e^{i\alpha\varphi(0)+i\alpha'\bvarphi(0)} =\beta(\alpha-\alpha')e^{i\alpha\varphi(0)+i\alpha'\bvarphi(0)}. $$ \unpause Следовательно, оператор $Q$ коммутирует с $\psi^+_2\psi_1$, так как $\alpha_1-\alpha_2=\beta_1-\beta_2$. \unpause Теперь зафиксируем параметр $\beta$. Положим $O(x)=\psi_i(x)$. Так как оператор $\psi_i$ имеет фермионный заряд $-1$, имеем $$ \psi_i(0)=[\psi_i(0),Q]=\beta(\alpha_i-\beta_i)\psi_i(0)=\beta(\alpha_1+\alpha_2)\psi_i(0) $$ \unpause Следовательно, $$ \alpha_1+\alpha_2=\beta^{-1} \quad\Rightarrow\quad \alpha_1-\alpha_2=\beta. $$ \unpause Отсюда получаем \eq$$ \Aligned{ \alpha_1=-\beta_2 &={1\over2}\left({1\over\beta}+\beta\right), \\ \alpha_2=-\beta_1 &={1\over2}\left({1\over\beta}-\beta\right). } $$ \unpause Используя $\alpha_2=g\beta/2$, получаем соотношение между константами связи \eq$$ g=\beta^{-2}-1. \tag{\ref{gbeta}} $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Модель Тирринга и модель синус"=Гордона} \unpause Подставляя это, получаем \eq$$ N_1=-N_2=ir_0^{{\beta^2\over2}+{1\over2\beta^2}-1}{2\beta^2\over\beta^2+1}, \label{N12} $$ \unpause Следовательно, $$ \Aligned{ -i\psi_2^+\psi_1 &={1\over\pi}{\beta^2\over\beta^2+1}r_0^{\beta^2-1}\left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)e^{i\beta\phi}, \\ i\psi_1^+\psi_2 &={1\over\pi}{\beta^2\over\beta^2+1}r_0^{\beta^2-1}\left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)^{-1}e^{-i\beta\phi}. } $$ \unpause Рассмотрим массовый вклад $$ im(\psi^+_2\psi_1-\psi^+_1\psi_2)\sim\left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)e^{i\beta\phi}+\left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)^{-1}e^{-i\beta\phi} $$ как возмущение. \unpause В силу «нейтральности» на бесконечной плоскости разность $\#(e^{i\beta\phi})-\#(e^{-i\beta\phi})$ одинакова в каждом члене теории возмущений. \unpause Тогда замена $$ \left(i\eta_1\eta_2^{-1}\right)^{\alpha/\beta}e^{i\alpha\phi}\to e^{i\alpha\phi} $$ позволяет избавиться от алгебраических элементов $\eta_i$. \unpause Итак, имеем \eq$$ i(\psi^+_1\psi_2-\psi^+_2\psi_1)={2\over\pi}{\beta^2\over\beta^2+1}r_0^{\beta^2-1}\cos\beta\phi, \label{psicos} $$ \unpause откуда находим \eq$$ \mu\sim mr_0^{\beta^2-1}, \tag{\ref{mum}} $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Модель Тирринга и модель синус"=Гордона} \unpause Корреляционные функции моделей Тирринга и синус"=Гордона совпадают в каждом порядке по теории возмущений по параметру $m$. Это сильный аргумент в пользу совпадения моделей. \unpause Параметр $\mu$ модели синус"=Гордона конечна и измерима. Она связана с физической массой $m_\text{phys}$ частицы: $$ \mu\sim m_{\rm phys}^{2-\beta^2}. $$ Коэффициент точно известен, но его вычисление выходит за рамки этих лекций. \unpause Таким образом, параметр $m$ расходится: \eq$$ m\sim m_{\rm phys}(m_{\rm phys}r_0)^{1-\beta^2} =m_{\rm phys}(m_{\rm phys}r_0)^{g/\pi\over1+g/\pi}, \label{mphys} $$ \unpause Рассмотрим операторы из лекции~1: \eq$$ e^{iJ\varphi}=e^{{iJ\over2\beta}\tilde\phi}, \qquad J\in\Z. \label{exp-Jvarphi} $$ \unpause Эти операторы изменяют топологический заряд состояния на $J$: $q\to q+J$. \unpause Для $J=\pm1$ они представляют собой \emph{бозонные} операторы рождения"=уничтожения кинков. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Семинар: Сохранение энергии и импульса в возмущенных конформных моделях} \unpause Рассмотрим конформную теорию поля в эвклидовом пространстве с формальным действием $S_0$ и тензором энергии"=импульса $T_{\mu\nu}$ ($T^\mu_\mu=0$). Пусть $\Phi_\Delta(x)$ "--- примарный (первичный) оператор конформной размерности $\Delta$. Рассмотрим возмущенную теорию с действием $$ S=S_0+S_1=S_0+\lambda\int d^2x\,\Phi_\Delta(x). $$ \unpause Разложим корреляторы по теории возмущений: $$ \langle X\rangle={\langle Xe^{-S_1}\rangle_0\over\langle e^{-S_1}\rangle_0} =\langle X\rangle_0-\langle XS_1\rangle_0+\langle X\rangle_0\langle S_1\rangle_0+\cdots. $$ \unpause Рассмотрим компоненту $T=-2\pi T_{zz}$ тензора энергии"=импульса. В конформной теории поля она удовлетворяет соотношению $$ \bd T(x)=0 $$ \unpause Значит $$ \langle\bd T(x)\Phi_1(x_1)\cdots\Phi_N(x_N)\rangle_0=0, \quad\text{если $x\ne x_1,\ldots,x_N$.} $$ \unpause \emph{Вопрос:} Значит ли это, что это равенство сохраняется в возмущенной теории? \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Семинар: Сохранение энергии и импульса в возмущенных конформных моделях} \unpause Рассмотрим операторное разложение $$ \Aligned{ T(x)\Phi_\Delta(x') &={\Delta\Phi_\Delta(x')\over(z-z')^2}+{\d'\Phi_\Delta(x')\over z-z'}+O(1) \\ &=\Delta\Phi_\Delta(x')\,\d{1\over z-z'}+{\d'\Phi_\Delta(x')\over z'-z}+O(1). } $$ \unpause \emph{Задача:} найти интеграл $\int d^2x'\,\Phi_\Delta(x')\bd T(x)$. Использовать тождество $\bd(z^{-1})=\pi\delta(x)$. \unpause \emph{Ответ:} $$ \int d^2x'\,\Phi_\Delta(x')\bd T(x)=\pi(1-\Delta)\d\Phi_\Delta(x). $$ \unpause Отсюда получаем в первом порядке по теории возмущений $$ \bd T(x)=\d\Theta(x), \quad \Theta(x)=2\pi T_{z\bz}(x)=-\pi(1-\Delta)\lambda\Phi(x)+O(\lambda^2). $$ \unpause Точен ли этот результат, не нарушается ли он в высших порядках? \unpause Точен, если $$ (z'-z)\Phi(x')\left(\int d^2y\,\Phi(y)\right)^kT(x)=o(1). $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Семинар: Сохранение энергии и импульса в возмущенных конформных моделях} \unpause Для модели синус"=Гордона мы можем принять $$ S_0=\int d^2x\,{(\d_\mu\phi)^2\over8\pi}, \qquad \Phi_\Delta=-\cos\beta\phi, \qquad \lambda=\mu, \qquad \Delta={\beta^2\over2}. $$ \unpause Тогда \eq$$ T(x)=-{1\over2}(\d\phi)^2, \qquad \bar T(x)=-{1\over2}(\bd\phi)^2, \qquad \Theta(x)=\pi(1-\beta^2/2)\mu\cos\beta\phi+O(\mu^2). \label{T-Theta-quantum} $$ \unpause Буквально так этот результат не точен. Но можно модифицировать тензор энергии"=импульса так, чтобы получить точный ответ в первом порядке. \end{frame} \end{document}