% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf,t]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,cancel,transparent,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\usetikzlibrary{decorations.markings}
\usetikzlibrary{intersections}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\vspace{-\baselineskip}\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\spanop{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cM{{\cal M}}
\def\cN{{\cal N}}
\def\cS{{\cal S}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\i{{\mathord{\rm i}}}

\def\trho{{\tilde\rho}}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\phys{{\text{phys}}}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bp{{\boldsymbol p}}
\def\br{{\boldsymbol r}}
\def\bR{{\boldsymbol R}}
\def\bS{{\boldsymbol S}}
\def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}}
\def\eF{{\epsilon_F}}
\def\Ech{{E_{\text{ch}}}}
\def\Esp{{E_{\text{sp}}}}
\def\Espel{{E_{\text{sp}}^{\text{el}}}}
\def\Eim{{E_{\text{im}}}}
\def\el{{\text{el}}}
\def\im{{\text{im}}}

\def\aux{{\tilde1}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}

\def\Xint#1{\mathchoice
   {\XXint\displaystyle\textstyle{#1}}%
   {\XXint\textstyle\scriptstyle{#1}}%
   {\XXint\scriptstyle\scriptscriptstyle{#1}}%
   {\XXint\scriptscriptstyle\scriptscriptstyle{#1}}%
   \!\int}
\def\XXint#1#2#3{{\setbox0=\hbox{$#1{#2#3}{\int}$}
     \vcenter{\hbox{$#2#3$}}\kern-.5\wd0}}
\def\ddashint{\Xint=}
\def\dashint{\Xint-}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\def\unpause{\onslide<+->\relax}
\addtobeamertemplate{frametitle}{}{\vspace{-.5em}}

\begin{document}

\title[Лекция 2. Двухчастичные $S$"=матрицы. Теория возмущений]{Лекция 2.\\Двухчастичные $S$"=матрицы. Теория возмущений}
\date{}
\author{Михаил Лашкевич}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Матрица упругого рассеяния для двух частиц}
\unpause
Рассмотрим процесс рассеяния двух частиц масс $m_1$ и $m_2$ в себя: $1+2\to1+2$. Введем быстроты
$$
\red\boxed{\black
\ve_i=m_i\ch\theta_i,
\qquad
p_i=m_i\sh\theta_i.
}
$$
\unpause
Закон сохранения энергии"=импульса
$$
\Aligned{
m_1\ch\theta'_1+m_2\ch\theta'_2
&=m_1\ch\theta_1+m_2\ch\theta_2,
\\
m_1\sh\theta'_1+m_2\sh\theta'_2
&=m_1\sh\theta_1+m_2\sh\theta_2
}
$$
имеет два решения.
\unpause
\begin{enumerate}
\item {\color<+(2)->{red}$\theta'_i=\theta_i$ "--- рассеяние без изменения импульсов;}
\unpause
\item $\theta'_1=2\theta_0-\theta_1$, $\theta'_2=2\theta_0-\theta_2$, где $m_1\sh(\theta_1-\theta_0)+m_2\sh(\theta_2-\theta_0)=0$ "--- отражение.
\end{enumerate}
\unpause
Мы будем рассматривать только первый случай, потому что именно он реализуется в интегрируемых моделях.
\unpause
Матрицу рассеяния можно записать в виде
$$
S(\theta_1,\theta_2;\theta'_1,\theta'_2)
=(2\pi)^2\delta(p'_1-p_1)\delta(p'_2-p_2)S(\theta_1-\theta_2),
\quad
S(\theta):V_1\otimes V_2\to V_1\otimes V_2.
$$
\unpause
Оператор $S(\theta)$ действует на внутренние состояния частиц.

\unpause
\emph{Важно.} Все частицы одинаковой массы мы будем считать разными внутренними состояниями одной частицы. Таким образом, если $m_1=m_2$, матрица рассеяния является матрицей рассеяния тождественных частиц. Все формулы остаются теми же самыми. Возникает только требование (анти)симметрии волновых функций.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Матрица упругого рассеяния для двух частиц}
\unpause
С другой стороны, матрицу рассеяния можно записать так:
$$
S(\vec\theta;\vec\theta')
=\hat1+(2\pi)^2\delta(P'-P){\cM(\vec\theta;\vec\theta')\over\sqrt{\prod^n_{i=1}2\ve_i\prod^{n'}_{j=1}2\ve'_j}}.
$$
Здесь $P=(\ve_1+\ve_2,p_1+p_2)$, $P'=(\ve'_1+\ve'_2,p'_1,p_2)$,\\
$\hat1$ "--- проекция единичного оператора,\\
$\cM$ "--- амплитуда рассеяния, вычисляемая по стандартным правилам диаграммной техники.
\unpause

В случае $n=n'=2$ сделаем замену переменных $(p_1,p_2,p'_1,p'_2)\to(P^0,P^1,P^{\prime0},P^{\prime1})$:
\Multline*$$
\delta(p'_1-p_1)\delta(p'_2-p_2)=\left|{\d(P^0,P^1)\over\d(p_1,p_2)}\right|\delta(P'-P)
\\
={p_1\ve_2-p_2\ve_1\over\ve_1\ve_2}\delta(P'-P)={m_1m_2\sh(\theta_1-\theta_2)\over\ve_1\ve_2}\delta(P'-P).
$$
\unpause
Получаем
$$
\red\boxed{\black
S(\theta_1-\theta_2)=1+{\cM(\theta_1,\theta_2;\theta_1,\theta_2)\over4m_1m_2\sh(\theta_1-\theta_2)}.
}
$$
Здесь $1$ "--- единичный оператор на $V_1\otimes V_2$.


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Тирринга. Диаграммная техника}
\unpause
Запишем действие модели Тирринга в виде
$$
S^{\text{MT}}[\psi,\bar\psi,A^\mu]=\int d^2x\,\left(\bar\psi(i\hat\d-\hat A-m)\psi+{1\over2\pi g}A^\mu A_\mu\right).
$$
\unpause
Для внутренних линий имеем
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-.5,0) -- (2pt,0) node[anchor=south] {$p$}; \draw[-] (2pt,0) -- (.5,0);
}
={i\over\hat p-m+i0},
\qquad
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[dashed] (-.5,0) node[anchor=east] {$\mu$} -- (.5,0) node[anchor=west] {$\nu$};
}
=i\pi gg_{\mu\nu},
\qquad
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-] (-.5,0) -- (0,0) node[anchor=north] {$\mu$} -- (.5,0);
\draw[dashed] (0,0) -- (0,.5);
}
=-i\gamma^\mu.
$$
\unpause
Для внешних линий имеем
$$
\Aligned{
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-.5,0) node[anchor=east] {$p$} -- (2pt,0); \draw[-] (2pt,0) -- (.5,0);
}
&=u_p\quad\text{для входящего фермиона,}
\\
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[->] (-.5,0) node[anchor=east] {$-p$} -- (2pt,0); \draw[-] (2pt,0) -- (.5,0);
}
&=u_{-p}\quad\text{для выходящего антифермиона,}
\\
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-] (-.5,0) node[anchor=east] {$p$} -- (-2pt,0); \draw[<-] (-2pt,0) -- (.5,0);
}
&=\bar u_p\quad\text{для выходящего фермиона,}
\\
\tikz[baseline=-2pt]{
\draw[-] (-.5,0) node[anchor=east] {$-p$} -- (-2pt,0); \draw[<-] (-2pt,0) -- (.5,0);
}
&=\bar u_{-p}\quad\text{для входящего антифермиона.}
}
$$
\unpause
Кроме того, каждая фермионная петля дает множитель $(-1)$, каждая пара внешних антифермионных линий дает $(-1)$, и каждая перестановка двух букв $u$ от стандартного порядка (справа налево для входящих частиц и слева направо "--- для выходящих) дает~$(-1)$. Эти знаки мы будем ставить явно перед диаграммами.


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Тирринга. Диаграммная техника}
\unpause
Буквы $u_p$ для внешних линий должны удовлетворять уравнениям
$$
\bar u_pu_p=2m,
\qquad
(\hat p-m)u_p=0.
$$
\unpause
Решение:
$$
u_p=\sqrt m\pMatrix{e^{\theta/2}\\ie^{-\theta/2}},
\qquad
u_{-p}=[u_p]_{\theta\to\theta-i\pi}=-\sqrt m\pMatrix{ie^{\theta/2}\\e^{-\theta/2}}.
$$
\unpause
Нам понадобятся произведения, отвечающие четырехфермионному взаимодействию:
$$
\tikz[baseline=-2pt]{
  \draw[->] (-1,.5) node[anchor=east] {$p_1$} -- ([xshift=2pt]-.5,.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,.5) -- ([xshift=2pt].5,.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,.5) --(1,.5) node[anchor=west] {$p'_1$};
  \draw[->] (-1,-.5) node[anchor=east] {$p_2$} -- ([xshift=2pt]-.5,-.5); \draw[->] ([xshift=2pt]-.5,-.5) -- ([xshift=2pt].5,-.5);
    \draw[-] ([xshift=2pt].5,-.5) --(1,-.5) node[anchor=west] {$p'_2$};
  \draw[dashed] (0,-.5) -- (0,.5);
}
=-i\pi g(\bar u_{p'_1}\gamma^\mu u_{p_1})(\bar u_{p'_2}\gamma_\mu u_{p_2})
=-4\pi igm^2\ch{\theta_1+\theta'_1-\theta_2-\theta'_2\over2}.
$$


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Тирринга. Общий вид $S$"=матрицы фермионов}
\unpause
Фермион и антифермион будем рассматривать как одну частицу массы $m$ с пространством внутренних состояний
$$
V=\C^2=\spanop(e_+,e_-)
$$
\unpause



\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар: Сохранение энергии и импульса в модели синус"=Гордона (продолжение)}
\unpause


\end{frame}


\end{document}