% !TeX spellcheck = ru_RU % !TeX encoding = UTF-8 \documentclass[8pt,pdf,t]{beamer} \usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,cancel,transparent,hyperref} %\usepackage[cm]{fullpage} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage[shortcuts]{extdash} %\usepackage[notref,notcite]{showkeys} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{arrows,shapes} \usetikzlibrary{arrows.meta} \usetikzlibrary{decorations.markings} \usetikzlibrary{intersections} \tikzset{>={Stealth[length=2mm]}} \tikzstyle{every picture} += [remember picture] \tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex] \usetheme{Warsaw} \usefonttheme{serif} \def\smallskip{\vskip\smallskipamount} \def\medskip{\vskip\medskipamount} \def\bigskip{\vskip\bigskipamount} \let\{=\lbrace \let\}=\rbrace \let\[=\lbracket \let\]=\rbracket \long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}} \long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}} \def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}} \long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}} \def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}} \def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}} \def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}} \def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}} \def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}} \def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}} \def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}} \def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}} \def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}} \def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}} \def\Multline#1$$#2$${\vspace{-\baselineskip}\begin{multline#1}#2\end{multline#1}} \def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}} \def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}} \def\d{\partial} \def\bd{{\bar\d}} \def\bpsi{{\bar\psi}} \def\bvarphi{{\bar\varphi}} \def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits} \def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits} %\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits} %\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits} %\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits} %\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits} \def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits} %\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits} \def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}} \def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\cH{{\cal H}} \def\cN{{\cal N}} \def\cS{{\cal S}} \def\bz{{\bar z}} \def\bw{{\bar w}} \def\bw{{\bar w}} \def\tphi{{\tilde\phi}} \def\vq{{\vec q}} \def\vx{{\vec x}} \def\vy{{\vec y}} \def\vJ{{\vec J}} \def\va{{\vec a}} \def\vb{{\vec b}} \def\ve{\varepsilon} \def\eff{{\rm eff}} \def\const{\mathinner{\rm const}} \def\id{\mathinner{\rm id}} \def\i{{\mathord{\rm i}}} \def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits} \def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits} \def\Res{\mathop{\rm Res}\limits} \def\trho{{\tilde\rho}} \def\ta{{\tilde a}} \def\phys{{\text{phys}}} \def\bn{{\boldsymbol n}} \def\bp{{\boldsymbol p}} \def\br{{\boldsymbol r}} \def\bR{{\boldsymbol R}} \def\bS{{\boldsymbol S}} \def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}} \def\eF{{\epsilon_F}} \def\Ech{{E_{\text{ch}}}} \def\Esp{{E_{\text{sp}}}} \def\Espel{{E_{\text{sp}}^{\text{el}}}} \def\Eim{{E_{\text{im}}}} \def\el{{\text{el}}} \def\im{{\text{im}}} \def\aux{{\tilde1}} \def\lcolon{\mathopen{\,:}} \def\rcolon{\mathclose{:\,}} \def\Xint#1{\mathchoice {\XXint\displaystyle\textstyle{#1}}% {\XXint\textstyle\scriptstyle{#1}}% {\XXint\scriptstyle\scriptscriptstyle{#1}}% {\XXint\scriptscriptstyle\scriptscriptstyle{#1}}% \!\int} \def\XXint#1#2#3{{\setbox0=\hbox{$#1{#2#3}{\int}$} \vcenter{\hbox{$#2#3$}}\kern-.5\wd0}} \def\ddashint{\Xint=} \def\dashint{\Xint-} \makeatletter \let\over\@@over \let\atop\@@atop \let\above\@@above \let\overwithdelims\@@overwithdelims \let\atopwithdelims\@@atopwithdelims \let\abovewithdelims\@@abovewithdelims \makeatother \def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}} \def\emph#1{{\color{blue}#1}} \def\red{\color{red}} \def\blue{\color{blue}} \def\olive{\color{olive}} \def\black{\color{black}} \def\unpause{\onslide<+->\relax} \addtobeamertemplate{frametitle}{}{\vspace{-.5em}} \begin{document} \title[Лекция 5. $O(N)$"=модель: интегрируемость]{Лекция 5.\\$O(N)$"=модель: интегрируемость и точная $S$"=матрица} \date{} \author{Михаил Лашкевич} \frame{\titlepage} \begin{frame} \frametitle{Конформная инвариантность действия} \unpause Напомним действие $O(N)$"=модели $$ S[\bn,\omega]={1\over2g}\int d^2x\,((\d_\mu\bn)^2-\omega(\bn^2-1)). $$ \unpause Уравнение движения имеет вид $$ \d^\mu\d_\mu\bn+\omega\bn=0, \qquad \bn^2=1. $$ \unpause В координатах светового конуса $z$, $\bz$ имеем \eq$$ S[\bn,\omega] =-{1\over g}\int dz\,d\bz\, \left(\d\bn\bd\bn+{\omega\over4}(\bn^2-1)\right), \label{ONaction} $$ \unpause и \eq$$ 4\d\bd\bn=\omega\bn, \qquad \bn^2=1. \label{ONeqmotion} $$ \unpause Действие инвариантно относительно \emph{(псевдо)конформных} преобразований \eq$$ z\to f_1(z), \qquad \bz\to f_2(\bz), \qquad \omega\to{\omega\over f'_1(z)f'_2(\bz)}. \label{pseudoconformal} $$ \unpause Эти преобразования включают, в частности, сдвиги $$ f_1(z)=z+c, \qquad f_2(\bz)=\bz+\bar c, $$ \unpause масштабные преобразования и преобразования Лоренца, для которых $$ f_1(z)=\lambda z, \qquad f_2(\bz)=\bar\lambda\bz, $$ \unpause и преобразование инверсии $$ f_1(z)=1/z, \qquad f_2(\bz)=1/\bz. $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Классические законы сохранения} \unpause Тензор энергии"=импульса: $$ T_{zz}={1\over g}(\d\bn)^2, \qquad T_{\bz\bz}={1\over g}(\bd\bn)^2, \qquad T_{z\bz}=T_{\bz z}=-{\omega\over4g}(\bn^2-1). $$ \unpause На уравнения движения имеем $T^\mu_\mu=-4T_{z\bz}=0$, что выражает конформную инвариантность. \unpause Сохранение энергии и импульса: \eq$$ \bd(\d\bn)^2=0, \qquad \d(\bd\bn)^2=0. \label{im1classical} $$ \unpause В $O(N)$"=модели имеются законы сохранения с токами более высоких спинов. \unpause В самом деле, легко проверить, что \eq$$ 4\bd(\d^2\bn)^2=\d(\omega(\d\bn)^2)-3\d\omega(\d\bn)^2, \quad 4\d(\bd^2\bn)^2=\bd(\omega(\bd\bn)^2)-3\bd\omega(\bd\bn)^2. \label{im2classical} $$ \unpause Выполним псевдоконформное преобразование $$ dz'=\left|\d\bn\over\d z\right|dz, $$ \unpause В новых координатах $(\d\bn)^2=1$. \unpause Итак, получаем уравнение непрерывности $$ \bd(\d\d\bn)^2=\d(2\d\bn\bd\bn). $$ \unpause Аналогично, $$ \d(\bd\bd\bn)^2=\bd(2\bd\bn\d\bn). $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Квантовые законы сохранения: эвристический вывод} \unpause На квантовом уровне появляются аномалии, которые формально сохраняют лоренцеву и масштабную инвариантность: $z\to\lambda z$, $\bz\to\bar\lambda\bz$. \unpause Из-за этого правая часть уравнения непрерывности становится отлична от нуля, но она должна быть $\d$"=производной. \unpause Поэтому единственное обобщение имеет вид \eq$$ \bd(\d\bn)^2=-\beta\d\omega, \label{im1anomaly} $$ где $\beta$ "--- постоянная. \unpause На самом деле уже это нарушает масштабную инвариантность, так как теперь $T^\mu_\mu\ne0$. \unpause Получаем интеграл движения \eq$$ I_1=\int dz\,{1\over2}(\d\bn)^2+\int d\bz\,(-\beta\omega)\sim P_z. \label{ims1} $$ \unpause Аналогично, заменой $z\leftrightarrow\bz$ получаем интеграл движения \eq$$ I_{-1}=\int d\bz\,{1\over2}(\bd\bn)^2+\int dz\,(-\beta\omega)\sim P_\bz. \label{imsm1} $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Квантовые законы сохранения: эвристический вывод} \unpause Рассмотрим $T_{zz}^2\sim(\d\bn)^4$. На классическом уровне $\bd T_{zz}=0$. \unpause На квантовом уровне опять возникает аномалия: \eq$$ \bd(\d\bn)^4=-(2\beta+\alpha')(\d\bn)^2\d\omega+\d(\ldots). \label{im12anomaly} $$ \unpause Аналогично, вместо (\ref{im2classical}) имеем \eq$$ \bd(\d^2\bn)^2=-(3+\alpha)(\d\bn)^2\d\omega+\d(\ldots). \label{im2anomaly} $$ \unpause Следовательно, \eq$$ \bd\left( (\d^2\bn)^2-{3+\alpha\over2\beta+\alpha'}(\d\bn)^4 \right)=\d(\ldots). \label{im2quantum} $$ \unpause Получаем интеграл движения спина 3: \eq$$ I_3=\int dz\left( {1\over2}(\d^2\bn)^2-{3+\alpha\over2(2\beta+\alpha')}(\d\bn)^4 \right)+\int d\bz\,(\cdots). \label{ims3} $$ \unpause Аналогично, имеется оператор $I_{-3}$, получаемый заменой $z\leftrightarrow\bz$. \unpause Итак, имеем 4 интеграла движения: $$ \dot I_s=0, \quad s=-3,-1,1,3. $$ Можно показать, что эти интегралы движения коммутируют друг с другом. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Интегралы движения и упругость рассеяния} \unpause Пусть $|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle$ "--- общее собственное состояния интегралов движения, описывающее систему $n$ частиц с быстротами $\theta_i$, то есть $p_{iz}=-{m\over2}e^{\theta_i}$, $p_{i\bz}={m\over2}e^{-\theta_i}$. \unpause Собственное значение оператора $I_s$ должно быть лорановским полиномом от переменных $e^{\theta_i}$ степени $s$. \unpause \emph{Локальность}. Локальные интегралы движения являются интегралами по пространству. Поэтому, если частицы находятся далеко друг от друга, собственное значение должно быть суммой собственных значений одночастичных состояний. \unpause Следовательно $$ I_s|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle=\const\sum^n_{i=1}e^{s\theta_i}|\theta_1,\ldots,\theta_n\rangle. $$ \unpause Рассмотрим рассеяние $2\to n$. В силу законов сохранения имеем $$ e^{s\theta_1}+e^{s\theta_2} =\sum^n_{i=1}e^{s\theta'_i} \qquad(s=-3,-1,1,3). $$ \unpause Зафиксируем быстроты $\theta'_1,\ldots,\theta'_n$. У нас есть \emph{четыре уравнения} для \emph{двух переменных} $\theta_1,\theta_2$, которые зависят от \emph{$n$ параметров}. \unpause Если $n\ge3$, эти уравнения имеют решения только при специальных значениях параметров $\theta'_i$. \unpause Но амплитуды должны быть аналитичны по $\theta'_i$. \unpause $\Rightarrow$ Амплитуды этих процессов \emph{тождественно равны нулю}. \unpause $\Rightarrow$ Разрешены только процессы с $n=2$ и \emph{$\theta'_i=\theta_i$} (с точностью до несущественной перестановки). \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Факторизованное рассеяние} \unpause На самом деле в модели имеются интегралы движения для всех $s\in2\Z+1$. \unpause Поэтому разрешены только процессы \emph{$n\to n$} с \emph{$\theta'_i=\theta_i$}. Такое \emph{идеально упругое рассеяние} характерно для \emph{интегрируемых моделей}. \unpause Для интегрируемых моделей имеется \begin{block}{Гипотеза факторизованного рассеяния} Амплитуда рассеяния $n$ частиц в $n$ частиц распадается в произведение всех попарных амплитуд рассеяния в любом допустимом расположением частиц порядке с суммированием по всем внутренним состояниям промежуточных частиц. \end{block} \unpause Графически это можно изобразить так: \eq$$ \tikz[baseline=-2pt]{ \draw[->] (-1.333,-1.5) node[below left] {$p_1\!\!\!$} -- (1.619,1.5) node[above right] {$\!\!p_1$}; \draw[->] (-0.572,-1.5) node[below] {$p_2$} -- (1.048,1.5) node[above] {$p_2$}; \draw[->] (0.095,-1.5) node[below] {$p_3$} -- (-0.667,1.5) node[above] {$p_3$}; \draw[->] (1.429,-1.5) node[below right] {$\!\!p_4$} -- (-1.619,1.5) node[above left] {$p_4\!\!\!$}; \draw[-,fill=white] (0,0) circle (.9); } \quad=\quad \tikz[baseline=-2pt]{ \draw[->] (-1.333,-1.5) node[below left] {$p_1\!\!\!$} -- (1.619,1.5) node[above right] {$\!\!p_1$}; \draw[->] (-0.572,-1.5) node[below] {$p_2$} -- (1.048,1.5) node[above] {$p_2$}; \draw[->] (0.095,-1.5) node[below] {$p_3$} -- (-0.667,1.5) node[above] {$p_3$}; \draw[->] (1.429,-1.5) node[below right] {$\!\!p_4$} -- (-1.619,1.5) node[above left] {$p_4\!\!\!$}; } \label{factscat} $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Асимптотическая $n$"=частичная волновая функция} \unpause Предположим, что есть какое"=то характерное расстояние $R$, за пределами которого виртуальные частицы не рождаются. Тогда на больших расстояниях $|x_i-x_j|\gg R$ волновая функция не отличима от $n$"=частичной волновой функции. \unpause В силу бесконечного количества интегралов движения все частицы имеют постоянный импульс $p_i$ с точностью до перестановки, и волновая функция представляет собой комбинацию плоских волн для любого порядка $x_i$: \Multline$$ \psi_{\beta_1p_1,\ldots,\beta_np_n}(\alpha_1x_1,\ldots,\alpha_nx_n) =\sum_{\tau\in S_n} A^{\alpha_{\sigma_1}\ldots\alpha_{\sigma_n}} _{\beta_{1\,\hphantom\sigma}\ldots\beta_n}[\tau] e^{i\sum^n_{i=1}p_{\tau_i}x_{\sigma_i}} \\ \text{for}\quad x_{\sigma_1}p_2>\cdots>p_n$ параметры $\beta_i$ естественным образом описывают внутренние состояния \emph{входящих} частиц. \unpause Перестановка двух соседних частиц означает их рассеяние: \eq$$ A^{\alpha_1\ldots\alpha_{i+1}\alpha_i\ldots\alpha_n} _{\beta_1\ldots\beta_i\,\beta_{i+1}\ldots\beta_n}[\tau s^i] =\sum_{\alpha'_i\alpha'_{i+1}} S^{\alpha_i\alpha_{i+1}}_{\alpha'_i\alpha'_{i+1}}(p_{\tau_i},p_{\tau_{i+1}}) A^{\alpha_1\ldots\alpha'_i\alpha'_{i+1}\ldots\alpha_n} _{\beta_1\ldots\beta_i\,\beta_{i+1}\ldots\beta_n}[\tau]. \label{Arelation} $$ \vskip -.7em Здесь $s^i$ "--- перестановка чисел $i$ и $i+1$. Матрица $S(p_1,p_2)$ "--- это \emph{двухчастичная $S$"=матрица}. \unpause Это определяет коэффициенты $A$ и доказывает (на «физическом уровне строгости») гипотезу факторизации. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Условия самосогласованности: перестановка трех частиц} \unpause Из-за факторизации двухчастичная $S$"=матрица удовлетворяет некоторой системе уравнений. \unpause Давайте перевернем порядок трех соседних частиц, скажем $1,2,3$. Мы можем сделать это двумя способами: $$ \Matrix{ & &132&\to&312& &\\ &\nearrow& & & &\searrow&\\ 123& & & & & &321.\\ &\searrow& & & &\nearrow&\\ & &213&\to&231& & } $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Условия самосогласованности: перестановка трех частиц} \unpause Первый способ $123\to132\to312\to321$ ведет к соотношению \Multline*$$ A^{\alpha_3\alpha_2\alpha_1\ldots}_{\cdots}[321\ldots] \\ =\sum_{\beta_1,\beta_2,\beta_3}\left(\sum_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3} S^{\alpha_1\alpha_2}_{\gamma_1\gamma_2}(p_1,p_2) S^{\gamma_1\alpha_3}_{\beta_1\gamma_3}(p_1,p_3) S^{\gamma_2\gamma_3}_{\beta_2\beta_3}(p_2,p_3)\right) A^{\beta_1\beta_2\beta_3\ldots}_{\cdots}[123\ldots] $$ \unpause или графически $$ \sum_{\text{внутренние линии}} \quad \tikz[baseline=-2pt,yscale=1.2]{ \draw[->] (1,-1) node[below right] {$\!\!p_3$} -- node[pos=.1, above right=-3pt] {$\beta_3$} node[pos=.35, below left=-3pt] {$\gamma_3$} node[pos=.7, below left=-3pt] {$\alpha_3$} (-1,1); \draw[->] (.5,-1) node[below] {$p_2$} -- node[pos=.1, left=-2pt] {$\beta_2$} node[pos=.5, right=-2pt] {$\gamma_2$} node[pos=.9, left=-1pt] {$\alpha_2$} (.5,1); \draw[->] (-1,-1) node[below left] {$p_1\!\!\!$} -- node[pos=.25, above left=-3pt] {$\beta_1$} node[pos=.65, above left=-3pt] {$\gamma_1$} node[pos=.9, below right=-3pt] {$\alpha_1$} (1,1); } $$ \unpause Мы запишем это в виде $$ A_{321\ldots} =S_{12}(p_1,p_2)S_{13}(p_1,p_3)S_{23}(p_2,p_3) A_{123\ldots}. $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Условия самосогласованности: перестановка трех частиц} \unpause Второй способ $123\to213\to231\to321$ ведет к соотношению \Multline*$$ A^{\alpha_3\alpha_2\alpha_1\ldots}_{\cdots}[321\ldots] \\ =\sum_{\beta_1,\beta_2,\beta_3}\left(\sum_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3} S^{\alpha_2\alpha_3}_{\gamma_2\gamma_3}(p_2,p_3) S^{\alpha_1\gamma_3}_{\gamma_1\beta_3}(p_1,p_3) S^{\gamma_1\gamma_2}_{\beta_1\beta_2}(p_1,p_2)\right) A^{\beta_1\beta_2\beta_3\ldots}_{\cdots}[123\ldots], $$ %\unpause или графически $$ \sum_{\text{внутренние линии}} \quad \tikz[baseline=-2pt,yscale=1.2]{ \draw[->] (1,-1) node[below right] {$\!\!p_3$} -- node[pos=.25, above right=-3pt] {$\beta_3$} node[pos=.65, above right=-3pt] {$\gamma_3$} node[pos=.85, below left=-3pt] {$\alpha_3$} (-1,1); \draw[->] (-.5,-1) node[below] {$p_2$} -- node[pos=.1, right=-1pt] {$\beta_2$} node[pos=.5, left=-2pt] {$\gamma_2$} node[pos=.9, right=1pt] {$\alpha_2$} (-.5,1); \draw[->] (-1,-1) node[below left] {$p_1\!\!\!$} -- node[pos=.15, above left=-2pt] {$\beta_1$} node[pos=.35, below right=-2pt] {$\gamma_1$} node[pos=.75, below right=-2pt] {$\alpha_1$} (1,1); } $$ %\unpause Мы запишем это в виде $$ A_{321\ldots} =S_{23}(p_2,p_3)S_{13}(p_1,p_3)S_{12}(p_1,p_2) A_{123\ldots}, $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Условия самосогласованности: перестановка трех частиц} \unpause Результат этих двух способов переставить три частицы должен быть одинаковы. Поэтому имеем \begin{block}{Уравнение Янга"--~Бакстера (Yang\--Baxter equation)} \Multline$$ \sum_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3} S^{\alpha_1\alpha_2}_{\gamma_1\gamma_2}(p_1,p_2) S^{\gamma_1\alpha_3}_{\beta_1\gamma_3}(p_1,p_3) S^{\gamma_2\gamma_3}_{\beta_2\beta_3}(p_2,p_3) \\ = \sum_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3} S^{\alpha_2\alpha_3}_{\gamma_2\gamma_3}(p_2,p_3) S^{\alpha_1\gamma_3}_{\gamma_1\beta_3}(p_1,p_3) S^{\gamma_1\gamma_2}_{\beta_1\beta_2}(p_1,p_2), \label{YBlong} $$ \unpause или короче \eq$$ S_{12}(p_1,p_2)S_{13}(p_1,p_3)S_{23}(p_2,p_3) =S_{23}(p_2,p_3)S_{13}(p_1,p_3)S_{12}(p_1,p_2), \label{YB} $$ \unpause или графически \eq$$ \tikz[baseline=-2pt,yscale=1.2]{ \draw[->] (1,-1) node[below right] {$\!\!p_3$} -- node[pos=.1, above right=-3pt] {$\beta_3$} node[pos=.7, below left=-3pt] {$\alpha_3$} (-1,1); \draw[->] (.5,-1) node[below] {$p_2$} -- node[pos=.1, left=-2pt] {$\beta_2$} node[pos=.9, left=-1pt] {$\alpha_2$} (.5,1); \draw[->] (-1,-1) node[below left] {$p_1\!\!\!$} -- node[pos=.25, above left=-3pt] {$\beta_1$} node[pos=.9, below right=-3pt] {$\alpha_1$} (1,1); } \quad=\quad \tikz[baseline=-2pt,yscale=1.2]{ \draw[->] (1,-1) node[below right] {$\!\!p_3$} -- node[pos=.25, above right=-3pt] {$\beta_3$} node[pos=.85, below left=-3pt] {$\alpha_3$} (-1,1); \draw[->] (-.5,-1) node[below] {$p_2$} -- node[pos=.1, right=-1pt] {$\beta_2$} node[pos=.9, right=1pt] {$\alpha_2$} (-.5,1); \draw[->] (-1,-1) node[below left] {$p_1\!\!\!$} -- node[pos=.15, above left=-2pt] {$\beta_1$} node[pos=.75, below right=-2pt] {$\alpha_1$} (1,1); } \label{YBgraph} $$ \end{block} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Условия самосогласованности: обратимость} \unpause Теперь потребуем, чтобы две последовательные перестановки двух частиц приводили бы к тождественному отображению: $12\to21\to12$. Это предполагает \begin{block}{Условие унитарности} \eq$$ \sum_{\gamma_1,\gamma_2}S^{\alpha_1\alpha_2}_{\gamma_1\gamma_2}(p_1,p_2) S^{\gamma_2\gamma_1}_{\beta_2\beta_1}(p_2,p_1) =\delta^{\alpha_1}_{\beta_1}\delta^{\alpha_2}_{\beta_2}, \label{unitarity-long} $$ \unpause или \eq$$ S_{12}(p_1,p_2)S_{21}(p_2,p_1)=1, \label{unitarity} $$ \unpause или \eq$$ \tikz[baseline=-2pt]{ \draw[->] (.5,-1) node[below] {$\beta_2$} to[out=150,in=-150,looseness=1.5] (.5,1) node[above] {$\alpha_2$}; \draw[->] (-.5,-1) node[below] {$\beta_1$} to[out=30,in=-30,looseness=1.5] (-.5,1) node[above] {$\alpha_1$}; } \quad=\quad \tikz[baseline=-2pt]{ \draw[->] (.5,-1) node[below] {$\beta_2$} -- (.5,1) node[above] {$\alpha_2$}; \draw[->] (-.5,-1) node[below] {$\beta_1$} -- (-.5,1) node[above] {$\alpha_1$}; } \label{unitarity-graph} $$ \end{block} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Релятивистское условие: кроссинг"=симметрия (перекрестная симметрия)} \unpause Последнее условие связано верно для релятивистских теорий. \begin{block}{Кроссинг"=симметрия} \eq$$ S^{\alpha_1\alpha_2}_{\beta_1\beta_2}(p_1,p_2) =\sum_{\alpha'_1\beta'_1}C_{\beta_1\beta'_1}S^{\alpha_2\beta'_1}_{\beta_2\alpha'_1}(p_2,-p_1)C_{\alpha'_1\alpha_1}. $$ Импульсы $p_1$, $p_2$ тут понимаются как пространственно"=временные (двумерные), а $C$ "--- матрица зарядового (точнее, CPT) сопряжения. \unpause Более кратко $$ S_{12}(p_1,p_2)=C_1S_{2\tilde1}(p_2,-p_1)C_1, $$ где $\tilde1$ означает транспозицию по этому пространству. \unpause Графически \eq$$ \tikz[baseline=-2pt,scale=.7]{ \draw[->] (1,-1) node[below right=-1pt] {$p_2$} -- node[pos=.15,above right=-3pt] {$\beta_2$} node[pos=.85,below left=-3pt] {$\alpha_2$} (-1,1); \draw[->] (-1,-1) node[below left=-1pt] {$p_1\!$} -- node[pos=.15,above left=-3pt] {$\beta_1$} node[pos=.85,below right=-3pt] {$\alpha_1$} (1,1); } \quad=\quad \tikz[baseline=-2pt,scale=.7]{ \draw[->] (1,-1) node[below right=-2pt] {$p_2$} -- node[pos=.15,above right=-3pt] {$\beta_2$} node[pos=.85,below left=-3pt] {$\alpha_2$} (-1,1); \draw[<-] (-1,-1) -- node[pos=.15,above left=-3pt] {$\bar\beta_1$} node[pos=.85,below right=-3pt] {$\bar\alpha_1$} (1,1) node[above right=-3pt] {$\!\!-p_1$}; } \label{cross-graph} $$ \end{block} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Уравнения бутстрапа для $S$"=матрицы} \unpause Итак, мы получили набор уравнений, называемых \emph{уравнениями бутстрапа} для $S$"=матриц. Запишем их, используя быстроты вместо импульсов: \begin{block}{Уравнения бутстрапа} \begin{enumerate} \item<+->{\it Уравнение Янга"--~Бакстера} \eq$$ S_{12}(\theta_1-\theta_2)S_{13}(\theta_1-\theta_3)S_{23}(\theta_2-\theta_3) =S_{23}(\theta_2-\theta_3)S_{13}(\theta_1-\theta_3)S_{12}(\theta_1-\theta_2). \label{YBtheta} $$ \item<+->{\it Унитарность} \vspace{-.7em} \eq$$ S_{12}(\theta)S_{21}(-\theta)=1. \label{unitarity-theta} $$ \item<+->{\it Кроссинг"=симметрия} \vspace{-.7em} \eq$$ S_{12}(\theta)=C_1S_{2\tilde1}(i\pi-\theta)C_1. \label{cross-theta} $$ \vskip -2.5em \end{enumerate} \end{block} \unpause Физический лист: \eq$$ 0\le\Im\theta<\pi, \label{physsheet} $$ \unpause Переменная Мандельстама: $$ s=(p_1^\mu+p_2^\mu)^2=m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\ch\theta. $$ \unpause Прямая $\Im\theta=0$ соответствует разрезу $[(m_1+m_2)^2,+\infty)$. \unpause Прямая $\Im\theta=\pi$ соответствует разрезу $(-\infty,(m_1-m_2)^2]$. \unpause $S$"=матрица вещественная на мнимой оси: $S(iu)\in\R\qquad\text{for}\quad u\in\R$. На физическом листе все полюсы лежат на мнимой оси. \unpause Полюс $iu_0\in[0,i\pi]$ соответствует связанному состоянию, если $\Res_{u=u_0}S^{\alpha\beta}_{\alpha\beta}(iu)>0$ (для бозонов). \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Уравнения бутстрапа для $S$"=матриц $O(N)$"=модели} \unpause Напомним, что для $O(N)$"=модели ($N\ge3$) $S$"=матрица имеет вид \eq$$ S^{\alpha'\beta'}_{\alpha\hphantom{'}\beta}(\theta) =\delta^{\alpha'\beta'}\delta_{\alpha\beta} \uncover<.>{\tikz[overlay,yshift=-.7cm] {\draw[red,-] (-.5,-.5) -- (0,0) -- (.5,-.5); \draw[blue,<->] (-.5,.5) -- (0,0) -- (.5,.5);}} S_1(\theta) +\delta^{\alpha'}_\alpha\delta^{\beta'}_\beta \uncover<.>{\tikz[overlay,yshift=-.7cm] {\draw[red,->] (-.5,-.5) -- (.5,.5); \draw[blue,->] (.5,-.5) -- (0,0) -- (-.5,.5);}} S_2(\theta) +\delta^{\beta'}_\alpha\delta^{\alpha'}_\beta \uncover<.>{\tikz[overlay,yshift=-.7cm] {\draw[red,->] (-.5,-.5) -- (0,0) -- (-.5,.5); \draw[blue,->] (.5,-.5) -- (0,0) -- (.5,.5);}} S_3(\theta). \label{S1S2S3} $$ \unpause Уравнение Янга"--~Бакстера имеет вид \Align$$ &\uncover<.(1)->{S_2(\theta)S_3(\theta+\theta')S_3(\theta')} +\uncover<.(1)->{S_3(\theta)S_3(\theta+\theta')S_2(\theta')} \notag \\ &\uncover<.-.(1)>{\tikz[overlay,yshift=-1cm,scale=.7]{ \draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1); \alt<.(1)->{\draw[blue,->] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (0,0) -- (1,1);}{\draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5); \draw[blue,->] (.5,.5) -- (1,1);} \alt<.(1)->{\draw[green,->] (1,-1) -- (.5,-.5) -- (.5,1);}{\draw[green,-] (1,-1) -- (.5,-.5); \draw[green,->] (.5,.5) -- (.5,1);} \draw (1.5,0) node {$+$}; \begin{scope}[xshift=3cm] \draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1); \alt<.(1)->{\draw[blue,->] (.5,-1) -- (.5,.5) -- (1,1);}{\draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5); \draw[blue,->] (.5,.5) -- (1,1);} \alt<.(1)->{ \draw[green,->] (1,-1) -- (0,0) -- (.5,.5) -- (.5,1);}{\draw[green,-] (1,-1) -- (.5,-.5); \draw[green,->] (.5,.5) -- (.5,1);} \draw (2,0) node {$=$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=7cm] \alt<.(1)->{\draw[red,->] (-1,-1) -- (-.5,-.5) -- (-.5,.5) -- (-1,1);} {\draw[red,-] (-1,-1) -- (-.5,-.5); \draw[red,->] (-.5,.5) -- (-1,1);} \alt<.(1)->{\draw[blue,->] (-.5,-1) -- (-.5,-.5) -- (1,1);}{\draw[blue,-] (-.5,-1) -- (-.5,-.5); \draw[blue,->] (0,0) -- (1,1);} \alt<.(1)->{\draw[green,->] (1,-1) -- (-.5,.5) -- (-.5,1);}{\draw[green,-] (1,-1) -- (0,0); \draw[green,->] (-.5,.5) -- (-.5,1);} \end{scope} }} \qquad=\uncover<+->{S_3(\theta)S_2(\theta+\theta')S_3(\theta')}, \label{yb1} \\ &\uncover<+(1)->{S_2(\theta)S_1(\theta+\theta')S_1(\theta')} \uncover<.->{{}+{}}\uncover<.(1)->{S_3(\theta)S_2(\theta+\theta')S_1(\theta')} \notag \\ &\uncover<.-.(1)>{\tikz[overlay,yshift=-1cm,scale=.7]{ \alt<.(1)->{\draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (.5,-.5) -- (.5,1);}{\draw[red,-] (-1,-1) -- (0,0); \draw[red,->] (.5,.5) -- (.5,1);} \draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1); \alt<.(1)->{\draw[green,<->] (-1,1) -- (0,0) -- (1,1);}{\draw[green,<-] (-1,1) -- (0,0); \draw[green,->] (.5,.5) -- (1,1);} \draw (1.5,0) node {$+$}; \begin{scope}[xshift=3cm] \alt<.(1)->{\draw[red,->] (-1,-1) -- (.5,.5) -- (.5,1);}{\draw[red,-] (-1,-1) -- (0,0); \draw[red,->] (.5,.5) -- (.5,1);} \draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1); \alt<.(1)->{\draw[green,<->] (-1,1) -- (.5,-.5) -- (.5,.5) -- (1,1);}{\draw[green,<-] (-1,1) -- (0,0); \draw[green,->] (.5,.5) -- (1,1);} \draw (2,0) node {$=$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=7cm] \alt<.(1)->{\draw[red,->] (-1,-1) -- (-.5,-.5) -- (-.5,1);}{\draw[red,-] (-1,-1) -- (-.5,-.5); \draw[red,->] (-.5,.5) -- (-.5,1);} \alt<.(1)->{\draw[blue,-] (-.5,-1) -- (-.5,-.5) -- (0,0) -- (1,-1);}{\draw[blue,-] (-.5,-1) -- (-.5,-.5); \draw[blue,-] (0,0) -- (1,-1);} \alt<.(1)->{\draw[green,<->] (-1,1) -- (-.5,.5) -- (0,0) -- (1,1);}{\draw[green,<-] (-1,1) -- (-.5,.5); \draw[green,->] (0,0) -- (1,1);} \end{scope} }} \qquad \uncover<.->{{}={}}\uncover<+->{S_3(\theta)S_1(\theta+\theta')S_2(\theta'),} \label{yb2} \\ &\uncover<+(1)->{NS_1(\theta)S_3(\theta+\theta')S_1(\theta')} \uncover<.->{{}+{}}\uncover<.(1)->{S_1(\theta)S_3(\theta+\theta')(S_2(\theta')+S_3(\theta'))} \notag \\ &\qquad\quad \uncover<.->{{}+{}}\uncover<.(1)->{(S_2(\theta)+S_3(\theta))S_3(\theta+\theta')S_1(\theta')} \notag \\ &\qquad\quad \uncover<.->{{}+{}}\uncover<.(1)->{S_1(\theta)(S_1(\theta+\theta')+S_2(\theta+\theta'))S_1(\theta')} \notag \\ &\uncover<.-.(1)>{\tikz[overlay,xshift=-1cm,yshift=-1cm,scale=.7]{ \draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1); \draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1); \draw[green,<->] (.5,1) -- (.5,.5) -- (1,1); \alt<.(1)->{\draw[yellow,-] (0,0) -- (.5,-.5) -- (.5,.5) -- cycle;}{} \draw (1.5,0) node {$+$}; \begin{scope}[xshift=3cm] \alt<.(1)->{\draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1);}{\draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1);} \alt<.(1)->{\draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,.5) -- (0,0) -- (1,-1); \draw[blue] (.5,-.5) node[right] {\tiny$S_2+S_3$};} {\draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1);} \alt<.(1)->{\draw[green,<->] (.5,1) -- (.5,.5) -- (1,1);}{\draw[green,<->] (.5,1) -- (.5,.5) -- (1,1);} \draw (1.5,0) node {$+$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=6cm] \alt<.(1)->{\draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1);}{\draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1);} \alt<.(1)->{\draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1);}{\draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1);} \alt<.(1)->{\draw[green,<->] (.5,1) -- (.5,-.5) -- (0,0) -- (1,1); \draw[green] (.5,.5) node[right] {\tiny$S_2+S_3$};} {\draw[green,<->] (.5,1) -- (.5,.5) -- (1,1);} \draw (1.5,0) node {$+$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=9cm] \alt<.(1)->{\draw[red,->] (-1,-1) -- (.5,.5) -- (.5,-.5) -- (-1,1); \draw[red] (0,0) node[left] {\tiny$S_1+S_2$};} {\draw[red,->] (-1,-1) -- (0,0) -- (-1,1);} \alt<.(1)->{\draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1);}{\draw[blue,-] (.5,-1) -- (.5,-.5) -- (1,-1);} \alt<.(1)->{\draw[green,<->] (.5,1) -- (.5,.5) -- (1,1);}{\draw[green,<->] (.5,1) -- (.5,.5) -- (1,1);} \draw (2,0) node {$=$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=13cm] \alt<.(1)->{\draw[red,->] (-1,-1) -- (-.5,-.5) -- (-.5,.5) -- (-1,1);} {\draw[red,-] (-1,-1) -- (-.5,-.5); \draw[red,->] (-.5,.5) -- (-1,1);} \alt<.(1)->{\draw[blue,-] (-.5,-1) -- (-.5,-.5) -- (0,0) -- (1,-1);}{\draw[blue,-] (-.5,-1) -- (-.5,-.5); \draw[blue,-] (0,0) -- (1,-1);} \alt<.(1)->{\draw[green,<->] (-.5,1) -- (-.5,.5) -- (0,0) -- (1,1);}{\draw[green,<-] (-.5,1) -- (-.5,.5); \draw[green,->] (0,0) -- (1,1);} \end{scope} }} \qquad \uncover<.->{{}={}}\uncover<+->{S_3(\theta)S_1(\theta+\theta')S_3(\theta').} \label{yb3} $$ \unpause Давайте решим эти уравнения. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Уравнения бутстрапа для $S$"=матриц $O(N)$"=модели} \unpause Решим первое уравнение \eq$$ S_2(\theta)S_3(\theta+\theta')S_3(\theta') +S_3(\theta)S_3(\theta+\theta')S_2(\theta') =S_3(\theta)S_2(\theta+\theta')S_3(\theta'). \tag{\ref{yb1}} $$ \unpause Пусть $h(\theta)=S_2(\theta)/S_3(\theta)$. Тогда уравнение примет вид $$ h(\theta)+h(\theta')=h(\theta+\theta'). $$ \unpause Следовательно, $h(\theta)\sim\theta$ и \eq$$ S_3(\theta)=-i{\lambda\over\theta}S_2(\theta). \label{S32ratio} $$ \unpause Решим второе уравнение \eq$$ S_2(\theta)S_1(\theta+\theta')S_1(\theta') +S_3(\theta)S_2(\theta+\theta')S_1(\theta') =S_3(\theta)S_1(\theta+\theta')S_2(\theta'). \tag{\ref{yb2}} $$ \unpause Пусть $g(\theta)=S_2(\theta)/S_1(\theta)$. Тогда $$ g(\theta+\theta')-g(\theta') ={\theta\over i\lambda}. $$ \unpause Решение этого уравнения имеет вид $$ g(\theta)={\theta-i\kappa\over i\lambda}. $$ \unpause Подставляя его в третье уравнение (\ref{yb3}), получаем $$ \kappa={N-2\over2}\lambda. $$ \unpause Значит, \vspace{-.5em} \eq$$ S_1(\theta)=-{i\lambda\over i(N-2)\lambda/2-\theta}S_2(\theta). \label{S12ratio} $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Уравнения бутстрапа для $S$"=матриц $O(N)$"=модели} \unpause Теперь подставим это в уравнение кроссинг"=симметрии \Align$$ S_2(\theta) &=S_2(i\pi-\theta), \label{cross22} \\ S_1(\theta) &=S_3(i\pi-\theta). \label{cross13} $$ \unpause Получаем \eq$$ \lambda={2\pi\over N-2}. \label{lambdavalue} $$ \unpause Наложим условие унитарности: \Gather$$ \uncover<.>{ \tikz[overlay,yshift=-1cm,scale=.5]{ \draw[red,->] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=50,in=-50] (0,.75) to[out=180-50,in=-30] (-.3,1) -- +(180-30:.2); \draw[blue,->] (.3,-1) to[out=180-30,in=-50] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2); \draw (1,0) node {$+$}; \begin{scope}[xshift=2cm] \draw[red,->] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] (0,.75) to[out=180-50,in=-30] (-.3,1) -- +(180-30:.2); \draw[blue,->] (.3,-1) to[out=180-30,in=-50] (0,-.75) to[out=50,in=-50] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2); \draw (1.5,0) node {$=$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=5cm] \draw[red,->] (-.3,-1) -- (-.3,1); \draw[blue,->] (.3,-1) -- (.3,1); \end{scope} }} S_2(\theta)S_2(-\theta)+S_3(\theta)S_3(-\theta)=1, \label{unit1} \\ \uncover<+->{ \uncover<.>{ \tikz[overlay,yshift=-1cm,scale=.5]{ \draw[red,->] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2); \draw[blue,->] (.3,-1) to[out=180-30,in=-50] (0,-.75) to[out=50,in=-50] (0,.75) to[out=180-50,in=-30] (-.3,1) -- +(180-30:.2); \draw (1,0) node {$+$}; \begin{scope}[xshift=2cm] \draw[red,->] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=50,in=-50] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2); \draw[blue,->] (.3,-1) to[out=180-30,in=-50] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] (0,.75) to[out=180-50,in=-30] (-.3,1) -- +(180-30:.2); \draw (1.5,0) node {$=$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=5cm] \draw (0,0) node {$0$}; \end{scope} }} S_2(\theta)S_3(-\theta)+S_3(\theta)S_2(-\theta)=0,} \label{unit2} \\ \uncover<+->{ NS_1(\theta)S_1(-\theta) \uncover<.>{ \tikz[overlay,xshift=1cm,yshift=-1cm,scale=.5]{ \draw[red,-] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=-50,in=180-30] (.3,-1); \draw[blue,->] (-.3,1) to[out=-30,in=180-50] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2); \draw[blue,->] (-.3,1) -- +(180-30:.2); \draw[yellow,-] (0,.75) to[out=-50,in=50] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] cycle; \draw (1,0) node {$+$}; \begin{scope}[xshift=2cm] \draw[red,-] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=-50,in=180-30] (.3,-1); \draw[blue,->] (-.3,1) to[out=-30,in=180-50] (0,.75) to[out=-50,in=50] (0,-.75) to[out=180-50,in=50-180] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2); \draw[blue,->] (-.3,1) -- +(180-30:.2); \draw[blue] (0,.75) node[right=2pt] {\tiny$S_2+S_3$}; \draw (1.5,0) node {$+$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=5cm] \draw[red,-] (-.3,-1) to[out=30,in=50-180] (0,-.75) to[out=50,in=-50] (0,.75) to[out=50-180,in=180-50] (0,-.75) to[out=-50,in=180-30] (.3,-1); \draw[red] (0,-.75) node[right] {\tiny$S_2+S_3$}; \draw[blue,->] (-.3,1) to[out=-30,in=180-50] (0,.75) to[out=50,in=30-180] (.3,1) -- +(30:.2); \draw[blue,->] (-.3,1) -- +(180-30:.2); \draw (2,0) node {$=$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=8.5cm] \draw (0,0) node {$0$}; \end{scope} }} +S_1(\theta)(S_2(-\theta)+S_3(-\theta)) +(S_2(\theta)+S_3(\theta))S_1(-\theta) =0} \label{unit3} $$ \unpause Подставляя решение уравнения Янга"--~Бакстера в уравнения кроссинг"=симметрии и унитарности, получаем \eq$$ S_2(\theta)=S_2(i\pi-\theta), \qquad S_2(\theta)S_2(-\theta)={\theta^2\over\theta^2+\lambda^2}. \label{unit22} $$ \unpause Эти уравнения имеют бесконечно много решений (\emph{неоднозначность Кастиллехо"--~Далица"--~Дайсона} "--- CDD). Если мы умножим любое решение на функцию $$ {\sh\theta+i\sin\alpha\over\sh\theta-i\sin\alpha}, $$ мы опять получим решение. \unpause Мы будем искать «минимальное» решение, которое имеет наименьшее количество нулей и полюсов на физическом листе. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Уравнения бутстрапа для $S$"=матриц $O(N)$"=модели} \unpause Имеем систему разностных уравнений \eq$$ S_2(\theta)=S_2(i\pi-\theta), \qquad S_2(\theta)S_2(-\theta)={\theta^2\over\theta^2+\lambda^2}. \tag{\ref{unit22}} $$ \unpause Условие унитарности $\Rightarrow$ Простой нуль $\theta=0$ \unpause $\stackrel{\text{\red кроссинг}}\Rightarrow$ Простой нуль $\theta=i\pi$ \unpause $\stackrel{\text{\blue унитарность}}\Rightarrow$ Простой полюс $\theta=-i\pi$ \unpause $\stackrel{\text{\red кроссинг}}\Rightarrow$ Простой полюс $\theta=2i\pi$ $\stackrel{\text{\blue унитарность}}\Rightarrow$ \dots \unpause Имеем серии нулей и полюсов: \eq$$ \Aligned{{} &\text{Нули:}\quad &&\theta=-2\pi in,i\pi+2\pi in, \quad&& \\ &\text{Полюсы:}\quad &&\theta=-i\pi-2\pi in,2\pi i+2\pi in,\quad&&n=0,1,2,\ldots }\label{zp1} $$ \unpause Условие унитарности $\Rightarrow$ Простой полюс или при $\theta=-i\lambda$ (решение $S^{(+)}$) или при $\theta=i\lambda$ (решение $S^{(-)}$). \unpause Аналогично предыдущему получаем для $S^{(\pm)}$: \eq$$ \Aligned{{} &\text{Нули:}\quad &&\theta=\mp i\lambda-i\pi-2\pi in,\pm i\lambda+2\pi i+2\pi in, \quad&& \\ &\text{Полюсы:}\quad &&\theta=\mp i\lambda-2\pi in,\pm i\lambda+i\pi+2\pi in,\quad &&n=0,1,2,\ldots }\label{zp2} $$ \unpause Строим функцию, которая имеет нули и полюсы в точках (\ref{zp1}) и (\ref{zp2}): \eq$$ S^{(\pm)}_2(\theta) =Q^{(\pm)}(\theta)Q^{(\pm)}(i\pi-\theta), \quad Q^{(\pm)}(\theta) ={\Gamma\left(\pm{\lambda\over2\pi}-i{\theta\over2\pi}\right) \Gamma\left({1\over2}-i{\theta\over2\pi}\right) \over \Gamma\left({1\over2}\pm{\lambda\over2\pi}-i{\theta\over2\pi}\right) \Gamma\left(-i{\theta\over2\pi}\right)}. \label{S2pm} $$ \end{frame} \begin{frame} \frametitle{$S$"=матрица: предел $N\to\infty$ и окончательный выбор} \unpause Возьмем предел $N\to\infty$. Получаем \Align$$ S^{(\pm)}_1(\theta) &=-{2\pi i\over N(i\pi-\theta)}, \label{S1expand} \\ S^{(\pm)}_2(\theta) &=1\mp{2\pi i\over N\sh\theta}, \label{S2expand} \\ S^{(\pm)}_3(\theta) &=-{2\pi i\over N\theta}. \label{S3expand} $$ \unpause Сравнивая с $1/N$"=разложеним, заключаем, что решение $S^{(+)}(\theta)$ дает $S$"=матрицу $O(N)$"=модели. \unpause Решение $S^{(-)}(\theta)$ дает $S$"=матрицу $N$"=компонентной фермионной модели Невё"--~Шварца (см.\ задачу к прошлой лекции). \unpause Заметим, что \eq$$ S^{(\pm)}_{12}(0)=\mp P_{12}, \label{S0sign} $$ где $P_{12}:a\times b\mapsto b\times a$ "--- матрица перестановки пространств 1 и~2. \unpause Это значит, что, хотя частицы в $O(N)$"=модели являются бозонам, для них действует сильный принцип Паули: две частицы не могут иметь одинаковый импульс. \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Семинар} \unpause Построение уравнения Янга"--~Бакстера для $O(N)$"=модели (в течение лекции). \end{frame} \end{document}