% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX encoding = UTF-8
\documentclass[8pt,pdf,t]{beamer}
\usepackage{amsmath,amssymb,theorem,mathtools,cancel,transparent,hyperref}
%\usepackage[cm]{fullpage}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[shortcuts]{extdash}

%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\usetikzlibrary{decorations.markings}
\usetikzlibrary{intersections}
\tikzset{>={Stealth[length=2mm]}}
\tikzstyle{every picture} += [remember picture]
\tikzstyle{na} = [baseline=-.5ex]

\usetheme{Warsaw}
\usefonttheme{serif}


\def\smallskip{\vskip\smallskipamount}
\def\medskip{\vskip\medskipamount}
\def\bigskip{\vskip\bigskipamount}

\let\{=\lbrace
\let\}=\rbrace
\let\[=\lbracket
\let\]=\rbracket

\long\def\items#1{\begin{itemize}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{itemize}}
\long\def\enum#1{\begin{enumerate}\parsep=0pt\itemsep=0pt#1\end{enumerate}}

\def\eq#1$$#2$${\begin{equation#1}#2\end{equation#1}}
\long\def\subeq#1{\begin{subequations}#1\end{subequations}}
\def\Split$$#1$${\begin{split}#1\end{split}}
\def\Align#1$$#2$${\begin{align#1}#2\end{align#1}}
\def\AlignAt#1$$#2$${\begin{alignat}{#1}#2\end{alignat}}
\def\Aligned#1{\begin{aligned}{}#1\end{aligned}}
\def\Alignedb#1{\begin{aligned}[b]#1\end{aligned}}
\def\Alignedt#1{\begin{aligned}[t]#1\end{aligned}}
\def\Gather#1$$#2$${\begin{gather#1}#2\end{gather#1}}
\def\Gathered#1{\begin{gathered}{}#1\end{gathered}}
\def\Gatheredb#1{\begin{gathered}[b]#1\end{gathered}}
\def\Gatheredt#1{\begin{gathered}[t]#1\end{gathered}}
\def\Multline#1$$#2$${\vspace{-\baselineskip}\begin{multline#1}#2\end{multline#1}}
\def\Matrix#1{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
\def\pMatrix#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\def\Cases#1{\begin{cases}#1\end{cases}}

\def\d{\partial}
\def\bd{{\bar\d}}
\def\bpsi{{\bar\psi}}
\def\bvarphi{{\bar\varphi}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
%\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
%\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\bn{{\text{\bfseries\itshape n}}}
\def\bJ{{\text{\bfseries\itshape J}}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\cH{{\cal H}}
\def\cI{{\cal I}}
\def\cN{{\cal N}}
\def\cS{{\cal S}}
\def\bz{{\bar z}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\bw{{\bar w}}
\def\tphi{{\tilde\phi}}
\def\vq{{\vec q}}
\def\vx{{\vec x}}
\def\vy{{\vec y}}
\def\vJ{{\vec J}}
\def\va{{\vec a}}
\def\vb{{\vec b}}
\def\ve{\varepsilon}
\def\eff{{\rm eff}}
\def\const{\mathinner{\rm const}}
\def\id{\mathinner{\rm id}}
\def\i{{\mathord{\rm i}}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\Res{\mathop{\rm Res}\limits}

\def\trho{{\tilde\rho}}
\def\ta{{\tilde a}}
\def\phys{{\text{phys}}}
\def\bn{{\boldsymbol n}}
\def\bp{{\boldsymbol p}}
\def\br{{\boldsymbol r}}
\def\bR{{\boldsymbol R}}
\def\bS{{\boldsymbol S}}
\def\bsigma{{\boldsymbol\sigma}}
\def\eF{{\epsilon_F}}
\def\Ech{{E_{\text{ch}}}}
\def\Esp{{E_{\text{sp}}}}
\def\Espel{{E_{\text{sp}}^{\text{el}}}}
\def\Eim{{E_{\text{im}}}}
\def\el{{\text{el}}}
\def\im{{\text{im}}}

\def\aux{{\tilde1}}

\def\lcolon{\mathopen{\,:}}
\def\rcolon{\mathclose{:\,}}

\def\Xint#1{\mathchoice
   {\XXint\displaystyle\textstyle{#1}}%
   {\XXint\textstyle\scriptstyle{#1}}%
   {\XXint\scriptstyle\scriptscriptstyle{#1}}%
   {\XXint\scriptscriptstyle\scriptscriptstyle{#1}}%
   \!\int}
\def\XXint#1#2#3{{\setbox0=\hbox{$#1{#2#3}{\int}$}
     \vcenter{\hbox{$#2#3$}}\kern-.5\wd0}}
\def\ddashint{\Xint=}
\def\dashint{\Xint-}

\makeatletter
\let\over\@@over
\let\atop\@@atop
\let\above\@@above
\let\overwithdelims\@@overwithdelims
\let\atopwithdelims\@@atopwithdelims
\let\abovewithdelims\@@abovewithdelims
\makeatother

\def\Maketitle{{\def\newpage{}\maketitle}}
\def\emph#1{{\color{blue}#1}}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
\def\olive{\color{olive}}
\def\black{\color{black}}

\def\unpause{\onslide<+->\relax}
\addtobeamertemplate{frametitle}{}{\vspace{-.5em}}

\begin{document}

\title[Лекция 6. Частицы с контактным взаимодействием]{Лекция 6\\Бозоны и фермионы с контактным взаимодействием}
\date{}
\author{Михаил Лашкевич}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Либа"--~Линихера}
\unpause

Пусть $\varphi(t,x)$, $\varphi^+(t,x)$ "--- бозонный оператор и эрмитово сопряженный ему оператор с коммутационными соотношениями
$$
[\varphi(x),\varphi^+(x')]=\delta(x-x'),
\quad
[\varphi(x),\varphi(x')]=[\varphi^+(x),\varphi^+(x')]=0.
$$
\unpause
Рассмотрим систему с гамильтонианом
$$
H=\int dx\,\left({\d_x\varphi^+\,\d_x\varphi\over2m}+{c\over2}(\varphi^+)^2\varphi^2\right).
$$
\unpause
Уравнение Гайзенберга для поля $\varphi$ имеет вид
$$
\i\,\d_t\varphi=-{1\over2m}\d_x^2\varphi-c\varphi^+\varphi^2.
$$
\unpause
Если сделать замену $\varphi\to\hbar^{-1/2}\varphi$, $c\to\hbar c$, в классическом пределе $\hbar\to0$. получим нелинейное уравнение Шрёдингера.
\unpause

Два оператора
\eq$$
Q=\int dx\,\varphi^+\varphi,
\quad
P=-\i\int dx\,\varphi^+\,\d_x\varphi
\label{QP-LL}
$$
коммутируют с гамильтонианом: $[H,Q]=[H,P]=0$.
\unpause

$Q$ "--- оператор числа частиц;\\
$P$ "--- оператор импульса.


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Либа"--~Линихера}
\unpause

Введем вакуум:
$$
\varphi(x)|0\rangle=0,
\quad
\langle0|\varphi^+(x)=0.
$$
\unpause
Определим $N$"=частичные состояния:
$$
|\chi_N\rangle=\int d^Nx\,\chi(x_1,\ldots,x_N)\varphi^+(x_N)\cdots\varphi^+(x_1)|0\rangle,
\quad
Q|\chi_N\rangle=N|\chi_N\rangle,
$$
\unpause
Определим действие гамильтониана на волновые функции $\chi$:
$$
H|\chi_N\rangle=\int d^Nx\,(\hat H_N\chi)(x_1,\ldots,x_N)\varphi^+(x_N)\cdots\varphi^+(x_1)|0\rangle.
$$
\unpause
Первично"=квантованный гамильтониан $\hat H_N$ имеет вид
$$
\hat H_N=-{1\over2m}\sum^N_{i=1}\d_{x_i}^2+c\sum_{1\le i<j\le N}\delta(x_i-x_j).
$$
\unpause
Такую систему бозонов с дельтаобразным взаимодействием называют \emph{моделью Либа"--~Линихера}. Она допускает точное решение.
\unpause

В случае $N=1$ система представляет собой один свободный бозон:
$$
\chi(x)=e^{\i px},
\quad
E={p^2\over2m}.
$$


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Либа"--~Линихера. Двухчастичная волновая функция}
\unpause

Рассмотрим случай $N=2$. При $x_1\ne x_2$ взаимодействия нет, поэтому волновая функция будет линейной комбинацией плоских волн:
$$
\chi(x_1,x_2)=\Cases{A_{12}e^{\i p_1x_1+\i p_2x_2}+A_{21}e^{\i p_2x_1+\i p_1x_2},&\text{при $x_1<x_2$;}\\
  A_{21}e^{\i p_1x_1+\i p_2x_2}+A_{12}e^{\i p_2x_1+\i p_1x_2},&\text{при $x_1>x_2$.}}
$$
Здесь использована симметрия: $\chi(x_1,x_2)=\chi(x_2,x_1)$.
\unpause
Энергия равна сумме энергий частиц:
$$
E={p_1^2+p_2^2\over2m},
$$
\unpause
Найдем отношение коэффициентов $A_{21}/A_{12}$, используя взаимодействие.
\unpause
Перейдем в систему центра масс. Положим $X={1\over2}(x_1+x_2)$, $x=x_1-x_2$. Гамильтониан
$$
\hat H_2=-{1\over4m}\d_X^2-{1\over m}\d_x^2+c\delta(x),
$$
\unpause
а волновая функция
$$
\chi(X+{\textstyle{x\over2}},X-{\textstyle{x\over2}})=e^{\i PX}\times\Cases{A_{12}e^{\i px/2}+A_{21}e^{-\i px/2}&\text{при $x<0$;}\\
  A_{21}e^{\i px/2}+A_{12}e^{-\i px/2}&\text{при $x>0$;}}
\quad
\Aligned{
P
&=p_1+p_2,
\\
p
&=p_1-p_2.}
$$


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Либа"--~Линихера. Двухчастичная волновая функция}
\unpause

Проинтегрируем уравнение $\hat H_2\chi=E\chi$ по небольшому интервалу $[-\epsilon,\epsilon]$. Получим
$$
\Aligned{
0
&=-\left.{1\over m}\d_x\chi(X+{\textstyle{x\over2}},X-{\textstyle{x\over2}})\right|^{x=+0}_{x=-0}+c\chi(X,X)
\\
&=\left.{1\over2m}(\d_{x_2}\chi(x_1,x_2)-\d_{x_1}\chi(x_1,x_2))\right|^{x_1=x_2+0}_{x_1=x_2-0}+c\chi(x_2,x_2).
}
$$
\unpause
Отсюда имеем
$$
{A_{21}\over A_{12}}=S(p_1-p_2),
\quad
S(p)\equiv-e^{\i\Phi(p)}={p-\i mc\over p+\i mc}.
$$
\unpause
Функция $S(p)$ представляет собой матрицу рассеяния двух частиц, а функция $\Phi(p)$, такая что
$$
\Phi(-p)=-\Phi(p)
$$
представляет собой фазу рассеяния, сдвинутую на $\pi$.


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Либа"--~Линихера. Анзац Бете}
\unpause

Волновая функция должна
\begin{enumerate}
\item<.-> быть линейной комбинацией плоских волн при $x_i\ne x_j$ ($\forall i\ne j$);
\item<+-> быть симметричной по отношению к перестановкам $x_i\leftrightarrow x_j$;
\item<+-> при $x_i=x_j$ удовлетворять уравнению
$$
\left.{1\over2m}(\d_{x_j}\chi(\{x_k\}^N_{k=1})-\d_{x_i}\chi(\{x_k\}^N_{k=1}))\right|^{x_i=x_j+0}_{x_i=x_j-0}
+\left.c\chi(\{x_k\}^N_{k=1})\right|_{x_i=x_j}=0.
$$
\end{enumerate}
\unpause
Будем искать волновые функции в виде \emph{анзаца (подстановки) Б\'{е}те}
$$
\chi(x_1,\ldots,x_N)=\sum_{\tau\in S^N}A_\tau\exp\left(\i\sum^N_{i=1}p_{\tau_i}x_{\sigma_i}\right),
\quad
x_{\sigma_1}<x_{\sigma_2}<\cdots<x_{\sigma_N}.
$$
\unpause
Условие 3 накладывает соотношение на коэффициенты
$$
{A_{\ldots ji\ldots}\over A_{\ldots ij\ldots}}=S(p_i-p_j),
\quad
S(p)\equiv-e^{\i\Phi(p)}={p-\i mc\over p+\i mc}.
$$
\unpause
Импульс и энергия состояния складываются из импульсов и энергий отдельных частиц:
$$
P=\sum^N_{i=1}p_i,
\quad
E=\sum^N_{i=1}{p_i^2\over2m}.
$$


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Либа"--~Линихера. Уравнения Бете}
\unpause

Наложим периодические граничные условия
$$
\chi(x_1+L,x_2,\ldots,x_N)=\chi(x_1,x_2,\ldots,x_N).
$$
\unpause
Удобно положить $x_1<x_2<x_3<\cdots<x_N<x_1+L$ и сравнить выражения почленно.
\unpause
Получим систему \emph{уравнений Бете}
$$
e^{\i p_iL}\prod^N_{\substack{j=1\\j\ne i}}S(p_i-p_j)=1,
\quad
i=1,\ldots,N.
$$
Это $N$ уравнений для $N$ неизвестных. Наборы $\{p_i\}$, удовлетворяющие уравнениям Бете, называются \emph{решениями} уравнений Бете, а отдельные значения $p_i$ "--- \emph{корнями} уравнений Бете.
\unpause
Хотя энергия системы складывается из энергий частиц, сами импульсы $p_i$ в для разных решений расположены по"=разному и не образуют эквидистантной лестницы, как в случае свободных частиц.
\unpause

Величины
$$
I_n=\sum^N_{i=1}p_i^n
$$
сохраняются и представляют собой собственные значения некоторых коммутирующих интегралов движения
$$
\cI_n=(-\i)^n\int dx\,(\varphi^+\,\d_x^n\varphi+\cdots),
\quad
[\cI_n,H]=0,
\quad
[\cI_m,\cI_n]=0.
$$


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Либа"--~Линихера. Логарифмическая форма уравнений Бете}
\unpause

Прологарифмируем уравнения Бете:
$$
p_iL+\sum^N_{j=1}\Phi(p_i-p_j)=2\pi n_i,
\quad
n_i-{N-1\over2}\in\Z.
$$
\unpause
Все числа $n_i$ должны быть различны. Каждому набору различных чисел $\{n_i\}$ отвечает единственное решение $\{p_i\}$.
\unpause
Этим случай $c\ne0$ отличается от случая $c=0$, где все $n_i$ целые и могут совпадать. Тем не менее, есть предельный переход $c\to+0$, который снимает противоречие (см.\ задачу 6.3).
\unpause

Зафиксируем какое"=то решение $\{p_i\}$ уравнений Бете. Рассмотрим уравнение
$$
pL+\sum^N_{j=1}\Phi(p-p_j)=2\pi n,
$$
как уравнение, задающее функцию $p(n)$.
\unpause
Очевидно $p(n_i)=p_i$. Мы будем говорить о числах $n_i$ как о \emph{заполненных состояниях},
\unpause
а о числах $n\ne n_i$ ($\forall i$) как о \emph{вакантных состояниях}.


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Либа"--~Линихера. Основное состояние. Качественные соображения}
\unpause

В пределе $c\to+\infty$ имеем $\Phi(p)=0$. Уравнения Бете принимают вид
$$
p_iL=2\pi n_i,
\quad
n_i-{N-1\over2}\in\Z.
$$
Все импульсы независимы с тем ограничением, что все значения $n_i$ по"=прежнему различны.
\unpause

В основном состоянии есть некоторое значение импульса $p_\text{max}$, такое что все состояния с $|p|\le p_\text{max}$ заполнены, а все состояния с $|p|>p_\text{max}$ вакантны.
\unpause
Очевидно, $p_\text{max}={\pi\over L}(N-1)$, то есть $n_i$ пробегают значения от $-{N-1\over2}$ до ${N-1\over2}$.
\unpause
Следовательно, энергия основного состояния равна
$$
E^{(0)}_N(+\infty)={\pi^2\over2mL^2}\sum^{N-1}_{k=0}\left(N-1-2k\over2\right)^2={\pi^2N(N-1)(2N-1)\over48mL^2}\simeq{\pi^2N^3\over24mL^2}.
$$
Последнее приближенное равенство верно в термодинамическом пределе $L\to\infty$, ${N\over L}=\const$.

При конечных $c>0$ для положительных импульсов $\sum_j\Phi(p_i-p_j)>0$, а для отрицательных импульсов ${}<0$. Поэтому
$$
p_\text{max}(c)<p_\text{max}(+\infty),
\quad
E^{(0)}_N(c)<E^{(0)}_N(+\infty).
$$
Более того, функции $p_\text{max}(c)$ и $E^{(0)}_N(c)$ монотонно растущие при $c>0$
\unpause
и $p_\text{max}(0)=0$, $E^{(0)}_N(0)=0$ (см.\ задачу 6.3).


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Либа"--~Линихера. Термодинамический предел}
\unpause

Рассмотрим термодинамический предел $L\to\infty$, $N/L=\const$.
\unpause

Расположим $n_i$ в возрастающем порядке: $n_{i+1}>n_i$. В термодинамическом пределе $p_{i+1}-p_i\sim L^{-1}\to0$. Также $p(n+1)-p(n)\sim L^{-1}\to0$. Поэтому мы можем ввести спектральные плотности состояний и частиц.
\unpause

\emph{Спектральную плотность состояний} определим как
$$
\rho(p)={2\pi\,dn\over L\,dp(n)}=\left\langle2\pi\over L(p(n+1)-p(n))\right\rangle.
$$
Усреднение производится по небольшому интервалу.
\unpause

Аналогично введем \emph{спектральную плотность частиц}:
$$
\rho^\bullet(p)={2\pi\,di\over L\,dp_i}=\left\langle2\pi\over L(p_{i+1}-p_i)\right\rangle.
$$
\unpause
Вернемся к уравнению
$$
pL+\sum^N_{j=1}\Phi(p-p_j)=2\pi n.
$$
\unpause
Возьмем разность двух таких уравнения с последовательными значениями $n$ и поделим на $L(p(n+1)-p(n))$:
$$
1+{1\over L}\sum^N_{j=1}{\Phi(p(n+1)-p_j)-\Phi(p(n)-p_j)\over p(n+1)-p(n)}={2\pi\over L(p(n+1)-p(n))}.
$$


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Либа"--~Линихера. Термодинамический предел}
\unpause

Перепишем уравнение так:
\Multline*$$
1+\sum^N_{j=1}{p_{j+1}-p_j\over2\pi}{\Phi(p(n+1)-p_j)-\Phi(p(n)-p_j)\over p(n+1)-p(n)}
\uncover<.(2)->{\tikz[overlay,baseline=-1pt]{\draw[-,blue,thick] (-.05,0) -- (-.05,.4) --
                  (1.9,.4) node[right,rotate=20] {${}=\rho^\bullet(p)$} -- (1.9,-.4) -- (-.05,-.4) -- cycle;}}{2\pi\over L(p_{j+1}-p_j)}
\\
=\uncover<.(1)->{\tikz[overlay,baseline=-1pt]{\draw[-,red,thick] (-.05,0) -- (-.05,.4) --
                  (2.55,.4) node[right,rotate=20] {${}=\rho(p)$} -- (2.55,-.4) -- (-.05,-.4) -- cycle;}}{2\pi\over L(p(n+1)-p(n))}.
$$
\unpause
В правой части мы видим плотность состояний,
\unpause
а в левой "--- плотность частиц.
\unpause
Теперь сумму превращаем в интеграл
$$
1+\int^\infty_{-\infty}{dp'\over2\pi}\,\Phi'(p-p')\rho^\bullet(p')=\rho(p).
$$
\unpause
Мы получили линейное интегральное уравнение, связывающее плотность частиц и плотность состояний.
\unpause
Дополним эту систему условием на количество частиц
$$
\int^\infty_{-\infty}{dp\over2\pi}\,\rho^\bullet(p)={N\over L}.
$$
\unpause
Разумеется, спектральная плотность частиц не может превышать спектральную плотность состояний. Поэтому накладываем ограничение
$$
0\le\rho^\bullet(p)\le\rho(p).
$$
\unpause
Импульс и энергия системы равны
$$
P=L\int{dp\over2\pi}\,\rho^\bullet(p)p,
\quad
E=L\int{dp\over2\pi}\,\rho^\bullet(p){p^2\over2m}.
$$


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель Либа"--~Линихера. Основное состояние}
\unpause

В случае основного состояния все состояния с $p\le p_\text{max}$ заполнены, а все состояния с $p>p_\text{max}$ вакантны. Поэтому
$$
\rho^\bullet(p)=\Cases{\rho(p),&|p|\le p_\text{max};\\0,&|p|>p_\text{max}.}
$$
\unpause
Получаем систему уравнений
$$
1+\int^{p_\text{max}}_{-p_\text{max}}{dp'\over2\pi}\,\Phi'(p-p')\rho(p')=\rho(p),
\quad
\int^{p_\text{max}}_{-p_\text{max}}{dp\over2\pi}\,\rho(p)={N\over L}.
$$
\unpause
Импульс такой системы равен нулю, а плотность энергии равна
$$
{E\over L}=\int^{p_\text{max}}_{-p_\text{max}}{dp\over2\pi}\,\rho(p){p^2\over2m}.
$$
\unpause
Уравнения Бете в интегральной форме можно решать численно или аналитически в каких-то предельных случаях.


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Модель фермионов с дельтаобразным взаимодействием}
\unpause

Модель Либа"--~Линихера является простейшим случаем интегрируемых моделей с дельтаобразным взаимодействием "--- моделей Янга"--~Год\'{е}на. Рассмотрим простейшую фермионную модель из этого класса.
\unpause

Пусть $\psi_\pm(x)$, $\psi^+_\pm(x)$ "--- фермионные поля с коммутационными соотношениями
$$
\{\psi_\ve(x),\psi_{\ve'}^+(x')\}=\delta_{\ve\ve'}\delta(x-x'),
\quad
\{\psi_\ve(x),\psi_{\ve'}(x')\}=\{\psi_\ve^+(x),\psi_{\ve'}^+(x')\}=0.
$$
\unpause
Введем систему с гамильтонианом
$$
H=\int dx\,\left(\sum_{\ve=\pm}{\d_x\psi_\ve^+\,\d_x\psi_\ve\over2m}+c\psi_+^+\psi_-^+\psi_-\psi_+\right).
$$
Обратим внимание, что здесь взаимодействуют только частицы с \emph{разными спинами}.
\unpause

Числа частиц каждого спина и импульс
$$
Q_\ve=\int dx\,\psi_\ve^+\psi_\ve,
\qquad
P=-\i\sum_{\ve=\pm}\int dx\,\psi_\ve^+\,\d_x\psi_\ve
$$
сохраняются: $[H,Q_\ve]=[H,P]=0$.


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Фермионная модель}
\unpause
Введем вакуум условиями
$$
\psi_\ve(x)|0\rangle=0,
\qquad
\langle0|\psi_\ve^+(x)=0
$$
\unpause
и состояния с фиксированным числом частиц
$$
|\chi_N\rangle=\int d^Nx\,\chi^{\ve_1\ldots\ve_N}(x_1,\ldots,x_N)\psi_{\ve_N}^+(x_N)\cdots\psi_{\ve_1}^+(x_1)|0\rangle.
$$
\unpause
Гамильтониан $\hat H_N$, действующий на волновые функции определяется уравнением
$$
H|\chi_N\rangle=\int d^Nx\,(\hat H_N\chi)^{\ve_1\ldots\ve_N}(x_1,\ldots,x_N)\psi_{\ve_N}^+(x_N)\cdots\psi_{\ve_1}^+(x_1)|0\rangle
$$
\unpause
и равен
$$
\hat H_N=-{1\over2m}\sum^N_{i=1}\d_{x_i}^2+{c\over2}\sum_{i<j}(1-\sigma^3_i\sigma^3_j)\delta(x_i-x_j),
$$
Оператор $\sigma^\alpha_i$ действует на $i$"=й спин $\ve_i$.
\unpause
Оператор ${1\over2}(1-\sigma^3_i\sigma^3_j)$ действует единицей на пару противоположных спинов и нулем на пару одинаковых спинов.


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Семинар}
\unpause





\end{frame}



\end{document}